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专题19 排列组合与二项式定理常考小题
【目录】
...........................................................................................................................................2
.............................................................................................................................................3
...........................................................................................................................................3
...........................................................................................................................................5
...........................................................................................................................................6
考点一：二项式定理之特定项、三项式问题........................................................................................................6
考点二：二项式定理之系数和问题.......................................................................................................................6
考点三：二项式定理之系数最值问题...................................................................................................................7
考点四：特殊优先与正难则反策略.......................................................................................................................7
考点五：相邻问题与不相邻问题..........................................................................................................................8
考点六：列举法.................................................................................................................................................... 8
考点七：定序问题（先选后排）..........................................................................................................................9
考点八：多面手问题...........................................................................................................................................10
考点九：错位排列问题....................................................................................................................................... 10
考点十：涂色问题...............................................................................................................................................10
考点十一：分组与分配问题................................................................................................................................12
考点十二：隔板法...............................................................................................................................................13
考点十三：查字典问题....................................................................................................................................... 13
考点十四：分解法模型与最短路径问题.............................................................................................................13
考点十五：构造法模型和递推模型.....................................................................................................................15
考点十六：环排与多排问题................................................................................................................................16
考点十七：配对型模型....................................................................................................................................... 16
考点十八：电路图模型....................................................................................................................................... 17
考点十九：机器人跳动模型................................................................................................................................17
考点二十：波浪数模型....................................................................................................................................... 18
排列组合与二项式定理是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然以选择或者填空为主，
以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相当．本节内容与生活实际联系紧密，考生可适
当留意常见的排列组合现象，如体育赛事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．
考点要求
考题统计
考情分析
二项式定理
2023 年北京卷第5 题，4 分
2023 年天津卷第11 题，5 分
2022 年I 卷第13 题，5 分
2021 年浙江卷第13 题，6 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以小题形
式出现，也有可能会将其渗透在
解答题的表达之中，相对独立．
具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式出
现，考查数学抽象、数学建模、
逻辑推理与数学运算四大核心素
养．
（2）热点是利用二项式定理求
系数和问题以及利用排列组合解
决生活问题.
排列组合
2023 年乙卷第7 题，5 分
2023 年II 卷第3 题，5 分
2023 年I 卷第13 题，5 分
2022 年II 卷第5 题，5 分
2021 年乙卷第6 题，5 分
1、如图，在圆中，将圆分
等份得到
个区域
，
，
，
，
，现取
种颜色
对这
个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有
种．
...
...
Mn
...
Mn-1
M1
M2
M3
2、错位排列公式
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主
要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优
先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数
时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，
被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元
素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位
置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻
位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其
他元素一起排列，共有
种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有
种排法．
根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有
种．
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将
个不同元素排成一排，其中某
个元素互不相
邻（
），求不同排法种数的方法是：先将（
）个元素排成一排，共有
种排法；然后
把
个元素插入
个空隙中，共有
种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有
·
种．
7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：
（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或
分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考
虑其他情形．
（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”．
（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．
8、求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项
的特点，一般需要建立方程求
，再将
的值代回通项求解，注意
的取值范围
．
（1）第
项：此时
，直接代入通项；
（2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为
建立方程；
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
9、赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如
，
的式
子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令
即可；对形如
的式子求其展
开式各项系数之和，只需令
即可．
10、二项式系数最大项的确定方法
（1）若
是偶数，则中间一项（第
项）的二项式系数最大；
（2）若
是奇数，则中间两项（第
项与第
项）的二项式系数相等数最大．
1．（2023•北京）
的展开式中，
的系数是
A．
B．40
C．
D．80
2．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物中恰有1 种相
同的选法共有
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
3．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名学生，
则不同的抽样结果共有
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
4．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
5．（2021•乙卷）将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，
每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
6．（2023•天津）在
的展开式中，
项的系数为 ．
7．（2022•新高考Ⅰ）
的展开式中
的系数为 （用数字作答）．
8 ．（2021• 浙江）已知多项式
，则
；
．
9．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门课中选修2
门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
考点一：二项式定理之特定项、三项式问题
【例1】（2024·陕西宝鸡·统考一模）
展开式中的第四项为（ ）
A．
B．
C．240
D．
【变式1-1】（2023·上海奉贤·统考一模）若
的展开式中存在常数项，
则下列选项中
的取值不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2024·河南·高三河南省实验中学校考）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．200
B．40
C．120
D．80
【变式1-3】（2024·全国·校联考模拟预测）在
的展开式中常数项为（ ）
A．721
B．-61
C．181
D．-59
考点二：二项式定理之系数和问题
【例2】（多选题）（2024·广西·模拟预测）已知
，则（ ）
A．展开式中所有二项式的系数和为
B．展开式中二项式系数最大项为第1012 项
C．
D．
【变式2-1】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（多选题）（2024·河北石家庄·高三河北新乐市第一中学校考阶段练习）若
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-3】（多选题）（2024·重庆·高三校联考开学考试）已知
，则（ ）
A．展开式中二项式系数最大项为第1012 项
B．展开式中所有项的系数和为1
C．
D．
考点三：二项式定理之系数最值问题
【例3】（2024·山东日照·高三山东省五莲县第一中学校考）
的展开式中第3 项与第7 项的二项
式系数相等，则
的展开式中系数最大的项的系数为 .
【变式3-1】（2024·海南海口·海南华侨中学校考一模）在
的展开式中，系数最大的项为
.
【变式3-2】（2024·山东青岛·统考三模）若
展开式的所有项的二项式系数和为256，则展开式
中系数最大的项的二项式系数为 ．（用数字作答）
考点四：特殊优先与正难则反策略
【例4】（2024·浙江·高三慈溪中学校联考）从2 位男生，4 位女生中安排3 人到三个场馆做志愿者，每个
场馆各1 人，且至少有1 位男生入选，则不同安排方法有（ ）种.
A．16
B．20
C．96
D．120
【变式4-1】（2024·甘肃兰州·高二兰州一中校考）4 张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；
6，7．将这4 张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为（ ）
A．288
B．336
C．368
D．412
【变式4-2】（2024·全国·高三专题练习）将7 个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3 人中至多有2 人相
邻，且甲不站在最右端，则不同的站法有（ ）．
A．1860 种
B．3696 种
C．3600 种
D．3648 种
【变式4-3】某高中从3 名男教师和2 名女教师中选出3 名教师，派到3 个不同的乡村支教，要求这3 名教
师中男女都有，则不同的选派方案共有（ ）种
A．9
B．36
C．54
D．108
考点五：相邻问题与不相邻问题
【例5】（2024·江苏连云港·高三校考阶段练习）2023 年11 月12 日，连云港市赣马高级中学高品质特色发
展暨百年校庆大会隆重举行，赣马高中建校100 周年文艺演出中有四个节目：《腰鼓：千年回响》、《歌
伴舞：领航》、《器乐：兰亭序》、《情景剧：我们陪你向前走》四个节目，若要对这四个节目进行排序，
要求《腰鼓：千年回响》与《歌伴舞：领航》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
【变式5-1】（2024·江西九江·高三校考阶段练习）由1，2，3，4，5，6 组成的没有重复数字的六位数，
要求奇数1，3，5 两两不相邻，但1 和2 必须相邻，这样的六位数共有 个．
【变式5-2】（2024·全国·高三统考竞赛）某班一天上午有语文、数学、政治、英语、历史5 节课，现要安
排该班上午的课程表，要求历史课不排在第一节，语文课和数学课相邻，不同的排法总数是 ．
考点六：列举法
【例6】（2024·全国·高三专题练习）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形
（边长为2 个单位）的顶点
处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走了几
个单位，如果掷出的点数为
，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛
掷三次骰子后棋子恰好又回到起点
处的所有不同走法共有（ ）
A．21 种
B．22 种
C．25 种
D．27 种
【变式6-1】（2024·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从
这100 个自然数中随机抽取三个
不同的数,这三个数成等差数列的取法数为
,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为
,
则
的后两位数字为（ ）
A．89
B．51
C．49
D．13
【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）定义：“各位数字之和为7 的四位数叫幸运
数”，比如“1006，2023”，则所有“幸运数”的个数为（ ）
A．20
B．56
C．84
D．120
考点七：定序问题（先选后排）
【例7】（2024·全国·高三专题练习）满足
，且
的有序数组
共有（ ）个.
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】（2024·高二课时练习）已知
，则满足
的有序数组
共有（ ）个
A．
B．
C．
D．
【变式7-2】（2024·全国·高三专题练习）DNA 是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为
碱基的化学成分组成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在
DNA 中只有4 种类型的碱基，分别用A、C、G 和T 表示，DNA 中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间
能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链
上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA 单链模型示意图，现在
某同学想在碱基T 和碱基C 之间插入3 个碱基A，2 个碱基C 和1 个碱基T，则不同的插入方式的种数为（
）
A．20
B．40
C．60
D．120
【变式7-3】（2024·全国·高三专题练习）花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，
兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8 盏不同的花灯需要取下，每次取1 盏，则不同取法总数为
（ ）
A．2520
B．5040
C．7560
D．10080
考点八：多面手问题
【例8】（2024·全国·高三专题练习）某龙舟队有9 名队员，其中3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人
既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3 人、右舷的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有
（ ）
A．56 种
B．68 种
C．74 种
D．92 种
【变式8-1】（2023·湖北十堰·高二统考期末）某龙舟队有8 名队员，其中3 人只会划左桨，3 人只会划右
桨，2 人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3 人、划右桨的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派
方法共有（ ）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
【变式8-2】（2024·河南南阳·高三校考阶段练习）我校去年11 月份，高二年级有9 人参加了赴日本交流
访问团，其中3 人只会唱歌，2 人只会跳舞，其余4 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人
唱歌，3 人跳舞，有______种不同的选法
考点九：错位排列问题
【例9】（2024·全国·高三专题练习）编号为1、2、3、4、5 的5 个人分别去坐编号为1、2、3、4、5
的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10 种
B．20 种
C．30 种
D．60 种
【变式9-1】（2024·全国·高三专题练习）将编号为、、、、、
的小球放入编号为、
、、
、
、
的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放
法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式9-2】（2023·吉林延边·高二校考期中）同室4 人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿
一张别人送出的贺卡，则4 张贺卡不同分配方式有
A．8 种
B．9 种
C．10 种
D．12 种
考点十：涂色问题
【例10】（2024·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是
中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，
，，
，
现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能
相同，对称的两个区域如区域与区域
所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂
色方案有
（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【变式10-1】（2024·全国·高三专题练习）用6 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不
同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240
B．360
C．480
D．600
【变式10-2】（2024·全国·高三期末）如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模
型，图中正方形
内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给
、
、
、
这个三角形和“赵爽弦图”
涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区
域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式10-3】（2024·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想.多用于哲学、中
医学和占卜方面.五行学说是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是
金、木、水、火、土，彼此之间存在相生相克的关系.五行是指木、火、土、金、水五种物质的运动变化.
所以，在中国，“五行”有悠久的历史渊源.下图是五行图，现有
种颜色可供选择给五“行”涂色，要求
五行相生不能用同一种颜色（例如木生火，木与火不能同色，水生木，水与木不能同色），五行相克可以
用同一种颜色（例如火与水相克可以用同一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．
B．
C．
D．
考点十一：分组与分配问题
【例11】（2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到
四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在
社区
的不同安排方法数为（ ）
A．24
B．36
C．60
D．96
【变式11-1】（2024·山西忻州·高三校联考阶段练习）2023 年杭州亚运会已圆满落幕，志愿者“小青荷”
们让世界看到了新时代中国青年的风采.早在2021 年5 月，杭州A 公司便响应号召，在全公司范围内组织
亚运会志愿者的报名与培训，经过选拔，最终有3 名党员和3 名团员共6 人脱颖而出.在彩排环节，需从这
6 人中选派2 人去游泳馆，2 人去篮球馆，且要求每个场馆均至少有一位党员，则不同的选派结果有（
）
A．54 种
B．45 种
C．36 种
D．18 种
【变式11-2】（2023·重庆·统考一模）2023 年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南
忆，最忆是杭州”，名为“踪琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器
人为了宣传杭州亚运会，某校决定派5 名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装
一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装
方案种数为（ ）
A．50
B．36
C．26
D．14
考点十二：隔板法
【例12】（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）将9 个志愿者名额全部分配给3 个学校，则
每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A．16
B．18
C．27
D．28
【变式12-1】（2024·全国·高三专题练习）7 个相同的小球放入
，
，
三个盒子，每个盒子至少放一球，
共有（ ）种不同的放法．
A．60 种
B．36 种
C．30 种
D．15 种
【变式12-2】（2024·河北衡水·统考模拟预测）将10 本完全相同的科普知识书，全部分给甲乙丙
､
､
3 人，
每人至少得2 本，则不同的分法数为（ ）
A．720 种
B．420 种
C．120 种
D．15 种
考点十三：查字典问题
【例13】（2024·全国·高二专题练习）用、、、、、六个数字组成无重复数字的四位数，比
大的四位数的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式13-1】（2024·北京·高二汇文中学校考）用
四个数字组成无重复数字的四位数， 其中比
大的偶数共有（ ）
A．
个
B．
个
C． 个
D． 个
【变式13-2】（2024·山西晋中·高二校考阶段练习）由数字0、1、2、3 组成的无重复数字的4 位数字中，
比2020 大的数的个数为（ ）
A．11
B．12
C．13
D．14
考点十四：分解法模型与最短路径问题
【例14】（2024·全国·高三专题练习）有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个
方格，走过的方格不能重复，只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能
穿过，则从入口走到出口共有多少种不同走法？
A．6
B．8
C．10
D．12
【变式14-1】（2024·全国·高三专题练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者
浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开
那段维修的路，如图，假设夏老师家在
处，学校在
处，
段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校
的最短路径有（ ）条．
A．23
B．24
C．25
D．26
【变式14-2】（2024·广东惠州·高三校考期末）如图，某城市的街区由12 个全等的矩形组成（实线表示马
路），CD 段马路由于正在维修，暂时不通，则从A 到B 的最短路径有（ ）
A．23 条
B．24 条
C．25 条
D．26 条
【变式14-3】（2024·全国·高三专题练习）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化
中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，
用大小相同的竹棍构造一个大正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从
点出发，沿着
竹棍到达
点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
考点十五：构造法模型和递推模型
【例15】（2024·北京海淀·高二北大附中校考期末）几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．
已知
（）甲在下落的过程中依次撞击到树枝
，
，
；
（
）乙在下落的过程中依次撞击到树枝
，
，
；
（）丙在下落的过程中依次撞击到树枝
，
，
；
（
）丁在下落的过程中依次撞击到树枝
，
，
；
（）戊在下落的过程中依次撞击到树枝
，
，
．
倒霉的李华在下落的过程中撞到了从
到的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这根
树枝不同的撞击次序有（ ）种．
A．
B．
C．
D．
【变式15-1】（2024·全国·高三专题练习）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：
（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；
（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；
（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A．23
B．24
C．32
D．33
【变式15-2】（2024·天津河东·高二统考期末）九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆
环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦
也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1 个圆环最少
需要移动圆环1 次，解下2 个圆环最少需要移动圆环 2 次，记
为解下个圆环需要移
动圆环的最少次数，且
，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最 少次数为（ ）
A．30
B．90
C．170
D．341
考点十六：环排与多排问题
【例16】（2024·全国·高三专题练习）21 个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1 到3
循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过
节目的时候，共报数的次数为（ ）
A．19
B．38
C．51
D．57
【变式16-1】（2024·全国·高三专题练习）A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议
的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，
则不同的座次有（ ）
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
【变式16-2】（2024·全国·高三专题练习）现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、
丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则
所有选座方法有（ ）．
A．6 种
B．8 种
C．12 种
D．16 种
考点十七：配对型模型
【例17】（2024·浙江·模拟预测）新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE 上
送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（
）
A．
B．
C．
D．
【变式17-1】（2024·黑龙江哈尔滨·高三开学考试）柜子里有3 双不同的鞋，随机地取出2 只，则取出的
鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式17-2】（2024·重庆·高三重庆一中阶段练习）鞋柜里有4 双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，
一只右脚的，恰好成双的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点十八：电路图模型
【例18】（2024·福建·高二统考期末）如图，电路中共有个电阻与一个电灯A，若灯A 不亮，则因电阻
断路的可能性的种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式18-1】（2024·高二课时练习）如图，电路中共有3 个电阻与1 个灯泡，若灯泡不亮，则因电阻断路
的情况共有 种.
【变式18-2】（2024·高二课时练习）如图所示，在A，B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电
路不通，今发现A，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有 种．
考点十九：机器人跳动模型
【例19】（2024·福建龙岩·高二校联考）一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只
向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5 次跳动后，停在数
轴上实数2 位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有（ ）种.
A．105
B．95
C．85
D．75
【变式19-1】（2024·云南保山·统考二模）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或
只向右飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过5 次飞行后，停在
数轴上实数3 位于的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有多少种？
A．5
B．25
C．55
D．75
考点二十：波浪数模型
【例20】（2024·江西抚州·高二临川一中校考）几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，
已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，
E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，
D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A．23
B．24
C．32
D．33
【变式20-1】（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）形如45132 的数称为“波浪数”，即十位数字，
千位数字均比它们各自相邻的数字大，由1，2，3，4，5 构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（
）
A．13
B．16
C．20
D．25
