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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题18 计数原理
计数原理作为高考知识点主要考查题型文小题。主要考查题型为：
考点01 分类加法与分步乘法计数原理、排列组合
考点02 二项式定理
考点01 分类加法与分步乘法计数原理、排列组合
1 （2020•上海）已知
，
，
，0，1，2，
，
、
，则
的情况有 种．
【解析】当
，0 种，
当
，2 种，
当
，4 种；
当
，6 种，
当
，4 种；
当
，2 种，
当
，0 种，
故共有：
．
故答案为：18．
2．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门课中选修2
门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【解析】若选2 门，则只能各选1 门，有
种，
如选3 门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有
，
综上共有
种不同的方案．
3．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名学生，
则不同的抽样结果共有
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【解析】
初中部和高中部分别有400 和200 名学生，
人数比例为
，
则需要从初中部抽取40 人，高中部取20 人即可，
则有
种．
故选：
．
4．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【解析】把丙和丁捆绑在一起，4 个人任意排列，有
种情况，
甲站在两端的情况有
种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有
种，
故选：
．
5．（2020•海南）要安排3 名学生到2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一
名志愿者，则不同的安排方法共有
A．2 种
B．3 种
C．6 种
D．8 种
【解析】要安排3 名学生到2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有：
．
故选：
．
6．（2020•山东）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，
乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的安排方法共有
A．120 种
B．90 种
C．60 种
D．30 种
【解析】因为每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，
甲场馆从6 人中挑一人有：
种结果；
乙场馆从余下的5 人中挑2 人有：
种结果；
余下的3 人去丙场馆；
故共有：
种安排方法；
故选：
．
故答案为：64．
7．（2020•上海）从6 个人挑选4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排1 个人，第二天安排1 个人，
第三天安排2 个人，则共有 种安排情况．
【解析】根据题意，可得排法共有
种．
故答案为：180．
8．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4 人参加连续5 天的志愿者活动，其
中甲连续参加2 天，其他人各参加1 天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
【解析】在五天里，连续的2 天，一共有4 种，剩下的3 人排列，故有
种，
故答案为：24．
考点02 二项式定理
1．（2022•新高考Ⅰ）
的展开式中
的系数为 （用数字作答）．
【解析】
的通项公式为
，
当
时，
，当
时，
，
的展开式中
的系数为
．
故答案为：
．
5（2021•浙江）已知多项式
，则
；
．
【解析】
即为展开式中
的系数，
所以
；
令
，则有
，
所以
．
故答案为：5；10．
2．（2021•上海）已知二项式
展开式中，
的系数为80，则
．
【解析】
的展开式的通项公式为
，
所以
的系数为
，解得
．
故答案为：2．
3．(2020 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第14 题)4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1
个小区，每个小区至少安排1 名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
解析：
4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安排1
名同学
先取2 名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3 组同学分配到3 个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法
种
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查
了分析能力和计算能力，属于中档题．
【题目栏目】计数原理\两个计数原理的综合应用
【题目来源】2020 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第14 题
4．(2020 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14 题)
的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
解析：
其二项式展开通项：
当
，解得
的展开式中常数项是：
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握
的
展开通项公式
，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
【题目栏目】计数原理\二项式定理\二项展开式通项公式的应用
【题目来源】2020 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第14 题
5（2020•浙江）二项展开式
，则
，
．
【解析】
，则
．
．
故答案为：80；122．
6．（2020•上海）已知二项式
，则展开式中
的系数为 ．
【解析】
，所以展开式中
的系数为10．
故答案为：10．
7．（2019•上海）已知二项式
，则展开式中含
项的系数为 ．
【解析】二项式
的展开式的通项公式为
，
令
，求得
，可得展开式中含
项的系数值为
，
故答案为：40．
8．（2019•浙江）在二项式
展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．
【解析】二项式
的展开式的通项为
．
由
，得常数项是
；
当
，3，5，7，9 时，系数为有理数，
系数为有理数的项的个数是5 个．
故答案为：
，5．
9．（2019•上海）在
的展开式中，常数项等于 ．
【解析】
展开式的通项为
，
，得
，
故展开式的常数项为第5 项：
．
故答案为：15．
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