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专题十五
坐标系与参数方程
第四十一讲
坐标系与参数方程
答案部分
2019
年
1．解析
．解析
．解析
．解析
．解析（）因为
1
2
2
1
1
1
1
t
t
−
−
+
，且
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
1
2
1
1
y
t
t
x
t
t
−
+
=
+
=
+
+
，所以的直角
C
坐标方程为
2
2
1(
1)
4
y
x
x
+
=
−
.
l 的直角坐标方程为
2
3
11
0
x
y
+
+
=
.
（）由（
2
1）可设C的参数方程为
cos ,
2sin
x
y
=
=
（为参数，
π
π
−
）.
C上的点到l的距离为
π
4cos
11
| 2cos
2 3sin
11|
3
7
7
−
+
+
+
=
.
当
2π
3
= −
时，
π
4cos
11
3
−
+
取得最小值，故
7
C上的点到l 距离的最小值为
7 .
2
1
．
（
解析
解析
解析
解析
解析
）因为
(
)
0
0
,
M
在上，当
C
0
3
=
时，
0
4sin
2 3
3
=
=
.
由已知得
|
| |
| cos
2
3
OP
OA
=
=
.
设
( , )
Q 为
的任意一点在
l上除P
.
Rt
OPQ
△
中
cos
|
| 2
3
OP
−
=
=
，
经检验，点
(2,
)
3
P
在曲线
cos
2
3
−
=
上.
所以，的极坐标方程为
l
cos
2
3
−
=
.
（2）设
( , )
P ，在
Rt
OAP
△
中，
|
| |
| cos
4cos ,
OP
OA
=
=
即
4cos
=
.
因为在线段
P
OM上，且
AP
OM
⊥
，故的取值范围是
,
4 2
.
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所以，P点轨迹的极坐标方程为
4cos ,
,
4 2
=
.
3. 解析
解析
解析
解析
解析（1）由题设可得，弧
,
,
AB BC CD 所在圆的极坐标方程分别为
2cos
=
，
2sin
=
，
2cos
= −
.
所以
1
M
的极坐标方程为
π
2cos
0
4
=
剟
，
2
M
的极坐标方程为
π
3π
2sin
4
4
=
剟
，
3
M 的极坐标方程为
3π
2cos
π
4
= −
剟
.
（2）设
( , )
P ，由题设及（1）知
若
π
0
4
剟
，则
2cos
3
=
，解得
π
6
=
；
若
π
π
3
4
4
剟
，则
2sin
3
=
，解得
π
3
=
或
2π
3
=
；
若3π
π
4
剟
，则
2cos
3
−
=
，解得
5π
6
=
.
综上，P的极坐标为
π
3, 6
或
π
3, 3
或
2π
3, 3
或
5π
3, 6
.
4.
解析
解析
解析
解析
解析由圆的参数方程，可得圆的普通方程为
(
)
(
)
2
2
2
1
4
x
y
−
+
−
=
，
因为直线
2
0
ax
y
−
+
=
和圆相切，
所以圆心 (
)
2,1 到直线
2
0
ax
y
−
+
=
的距离
2
2
1 2
2
1
a
d
r
a
−+
=
=
=
+
，
解得
3
4
a =
．
2010-2018
年
1．1
2
+
【解析】利用
cos
x
=
，
sin
y
=
，可得直线的方程为
0
x
y
a
+
−
=
，圆
的方程为
2
2
(
1)
1
x
y
−
+
= ，所以圆心(1,0) ，半径
1
r =
，由于直线与圆相切，故圆心
到直线的距离等于半径，即
|1
|
1
2
a
−
=
，∴
1
2
a = +
或1
2
−
，
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又
0
a
，∴
1
2
a = +
．
2．1【解析】圆的普通方程为
2
2
2
4
4
0
x
y
x
y
+
−
−
+
=
，即
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
−
+
−
=
．
设圆心为(1,2)
C
，所以
min
|
|
|
|
2 1 1
AP
PC
r
=
−=
−= ．
3
2
．【解析】直线的普通方程为
2 3
2
1
0
x
y
+
+ =
，
圆的普通方程为
2
2
(
1)
1
x
y
+
−
= ，
因为圆心到直线的距离
3
1
4
d =
，所以有两个交点．
4．2【解析】将
cos
3 sin
1
0
−
−=
化为直角坐标方程为
3
1
0
x
y
−
−=
，将ρ=2cos
θ 化为直角坐标方程为
2
2
(
1)
1
x
y
−
+
=
，圆心坐标为(1,0)，半径r=1，又(1，0)在直线
3
1
0
x
y
−
−=
上，所以|AB|
r
=2 =2．
5．5 2
2
【解析】由
2 sin(
)
2
4
-
=
得
2
2
(sin
cos )
2
2
?
=
，所以
1
y
x
-
= ，
故直线l 的直角坐标方程为
1
0
x
y
-
+ = ，而点
7
(2 2,
)
4
A
对应的直角坐标为
(2, 2)
A
-
，所以点
(2, 2)
A
-
到直线l ：
1
0
x
y
-
+ = 的距离为
| 2 2 1|
5 2
2
2
+ +
=
．
6
6
．【解析】圆
8sin
=
即
2
8 sin
=
，化为直角坐标方程为
2
2
(
4)
16
x
y
+
-
=
，
直线
3
=
，则
tan
3
=
，化为直角坐标方程为3
0
x
y
-
=
，圆心(0,4) 到直线
的距离为
| 4 |
2
4
-
=
，所以圆上的点到直线距离的最大值为．
6
7．【解析】(1)由
cos
x
=
，
sin
y
=
得
2
C 的直角坐标方程为
2
2
(
1)
4
x
y
+
+
=
．
(2)由(1)知
2
C 是圆心为
( 1,0)
A −
，半径为2 的圆．
由题设知，
1
C 是过点
(0,2)
B
且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y
轴左边的射线为2l ．由于B 在圆
2
C 的外面，故
1
C 与
2
C 有且仅有三个公共点等价于1l 与
2
C 只有一个公共点且
2l 与
2
C 有两个公共点，或2l 与
2
C 只有一个公共点且1l 与
2
C 有两
个公共点．
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当1l 与
2
C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2 ，所以
2
|
2|
2
1
k
k
−+
=
+
，故
4
3
k = −
或
0
k =
．
经检验，当
0
k =
时，1l 与
2
C 没有公共点；当
4
3
k = −
时，1l 与
2
C 只有一个公共点，2l
与
2
C 有两个公共点．
当2l 与
2
C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2 ，所以
2
|
2|
2
1
k
k
+
=
+
，故
0
k =
或
4
3
k =
．
经检验，当
0
k =
时，1l 与
2
C 没有公共点；当
4
3
k =
时，2l 与
2
C 没有公共点．
综上，所求
1
C 的方程为
4
|
| 2
3
y
x
= −
+ ．
8．【解析】
曲线
(1)
C 的直角坐标方程为
2
2
1
4
16
+
=
x
y
．
当
cos
0
时，l 的直角坐标方程为
tan
2
tan
=
+
−
y
x
，
当
cos
0
=
时，l 的直角坐标方程为
1
=
x
．
(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t的方程
2
2
(1 3cos
)
4(2cos
sin
)
8
0
+
+
+
−
=
t
t
．①
因为曲线C 截直线l所得线段的中点(1,2) 在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则
1
2
0
+
=
t
t
．
又由①得
1
2
2
4(2cos
sin
)
1 3cos
+
+
= −
+
t
t
，故
2cos
sin
0
+
=
，于是直线l
的斜率
tan
2
=
= −
k
．
9．【解析】(1)
O 的直角坐标方程为
2
2
1
x
y
+
=
．
当
2
=
时，l 与
O交于两点．
当
2
时，记
tan
k
=
，则l 的方程为
2
y
kx
=
−
．l 与O 交于两点当且仅当
2
2
|
| 1
1
k
+
，解得
1
k −或
1
k ，即
( , )
4 2
或
( ,
)
2
4
．
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综上，的取值范围是
(
,
)
4
4
．
(2) l 的参数方程为
cos ,
(
2
sin
x
t
t
y
t
=
= −
+
为参数，4
4
) ．
设A，B ，P 对应的参数分别为At ，Bt ，Pt ，则
2
A
B
P
t
t
t
+
=
，
且At ，Bt 满足2
2 2 sin
1
0
t
t
−
+ =
．
于是
2 2sin
A
B
t
t
+
=
，
2 sin
Pt
=
．又点P 的坐标
( , )
x y 满足
cos ,
2
sin .
P
P
x
t
y
t
=
= −
+
所以点P的轨迹的参数方程是
2
sin2 ,
2
2
2 cos2
2
2
x
y
=
= −
−
(为参数，4
4
)．
10．C．【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos
，
所以曲线C 的圆心为(2,0)
，直径为
的圆．
4
因为直线l 的极坐标方程为
π
sin(
)
2
6
−
=
，
则直线l 过
(4,0)
A
，倾斜角为π
6 ，
所以
为直线
A
l 与圆C 的一个交点．
设另一个交点为B，则∠OAB=π
6 ．
连结
，因为
为直径，从而∠
OB
OA
OBA= π
2 ，
x
B
O
A
l
所以
π
4cos
2 3
6
AB =
=
．
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3 ．
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11．【解析】（）曲线
1
C 的普通方程为
2
2
1
9
x
y
+
= ．
当
1
a = −时，直线l的普通方程为
4
3
0
x
y
+
−=
．
由
2
2
4
3
0
1
9
x
y
x
y
+
−
=
+
=
解得
3
0
x
y
=
=
或
21
25
24
25
x
y
= −
=
．
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，
21 24
(
,
)
25 25
−
．
（）直线
2
l的普通方程为
4
4
0
x
y
a
+
−
−
=
，故C上的点
(3cos ,sin )
到l的距离为
| 3cos
4sin
4 |
17
a
d
+
−
−
=
．
当
4
a
−
≥
时，d 的最大值为
9
17
a +
．由题设得
9
17
17
a +
=
，所以
8
a =
；
当
4
a −时，d 的最大值为
1
17
a
−+
．由题设得
1
17
17
a
−+ =
，所以
16
a = −
．
综上，
8
a =
或
16
a = −
．
12．【解析】（1）设P 的极坐标为
( , )
(
0)
，M 的极坐标为
1
(
, )
1
(
0)
．
由椭圆知
|
|
OP
=
，
1
4
|
|
cos
OM
=
=
．
由
|
| |
| 16
OM
OP
=
得
2
C 的极坐标方程
4cos
=
(
0)
．
因此
2
C 的直角坐标方程为
2
2
(
2)
4(
0)
x
y
x
−
+
=
．
（）设点
2
B 的极坐标为
(
,
)
B
(
0)
B
．由题设知
|
| 2
OA =
，
4cos
B
=
，于是
OAB
面积
1
|
|
sin
2
B
S
OA
AOB
=
4cos
| sin(
) |
3
=
−
3
2|sin(2
)
|
3
2
=
−
−
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2
3
+
≤
．
当
12
= −
时，S 取得最大值2
3
+
．
所以OAB
面积的最大值为2
3
+
．
13．【解析】（）消去参数
1
t 得1l 的普通方程
(
)
:
l
y
k x
=
−
1
2 ；
消去参数m 得2l 的普通方程
(
)
:
l
y
x
k
=
+
2
1
2 ．
设
( , )
P x y ，由题设得
(
)
(
)
y
k x
y
x
k
=
−
=
+
2
1
2
，消去k 得
(
)
x
y
y
−
=
2
2
4
0 ．
所以C 的普通方程为
(
)
x
y
y
−
=
2
2
4
0
（）
2
C 的极坐标方程为
(
)
cos
sin
−
=
2
2
2
4 (
)
,
0＜＜2
联立
(
)
(
)
cos
sin
cos
sin
−
=
2
2
2
4
+
- 2=0
得
(
)
cos
sin
cos
sin
−
=2
+
．
故tan= −1
3
，从而
cos
sin
2
2
9
1
=
=
，
10
10
代入
(
)
cos
sin
2
2
2
-
=4得
2=5，所以交点M 的极径为5 ．
14．【解析】直线l 的普通方程为
2
8
0
x
y
−
+
=
.
因为点P 在曲线C上，设
2
(2 ,2 2 )
P
s
s ，
从而点P 到直线l的的距离
2
2
2
2
| 2
4 2
8 |
2(
2)
4
5
( 1)
( 2)
s
s
s
d
−
+
−
+
=
=
−
+ −
，
当
2
s =
时，
min
4 5
5
d
=
.
因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值4 5
5
.
15．【解析】(1)
cos
1
sin
x
a
t
y
a
t
=
= +
（t 均为参数）
∴
(
)
2
2
2
1
x
y
a
+
−
=
①
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∴
1
C 为以 (
)
0
1
，为圆心，a为半径的圆．方程为
2
2
2
2
1
0
x
y
y
a
+
−
+ −
=
∵
2
2
2
sin
x
y
y
+
=
=
，
∴
2
2
2 sin
1
0
a
−
+ −
=
即为
1
C 的极坐标方程
(2)
2
4cos
C
=
：
两边同乘得
2
2
2
2
4 cos
cos
x
y
x
=
=
+
=
，
2
2
4
x
y
x
+
=
即 (
)
2
2
2
4
x
y
−
+
=
②
3
C ：化为普通方程为
2
y
x
=
，由题意：
1
C 和
2
C 的公共方程所在直线即为
3
C
①—②得：
2
4
2
1
0
x
y
a
−
+ −
=
，即为
3
C
∴
2
1
0
a
−
=
，∴
1
a =
16．【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得
2
2
12
11
0
x
y
+
+
+
=
，
由
2
2
2
cos
sin
x
y
x
y
=
+
=
=
可知圆C 的极坐标方程为
2
12 cos
11
0
+
+
=
．
(
)
Ⅱ记直线的斜率为k ，则直线的方程为
0
kx
y
−
= ，
由垂径定理及点到直线距离公式知：
2
2
6
10
25
2
1
k
k
−
=
−
+
，
即
2
2
36
90
1
4
k
k
=
+
，整理得
2
5
3
k =
，则
15
3
k =
．
17．【解析】（Ⅰ）
1
C 的普通方程为
2
2
1
3
x
y
+
= ，
2
C 的直角坐标方程为
4
0
x
y
+
−
=
.
（Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为
( 3cos ,sin )
，因为
2
C 是直线，
所以|
|
PQ 的最小值，即为P 到
2
C 的距离( )
d 的最小值，
| 3cos
sin
4|
( )
2 |sin(
)
2|
3
2
d
+
−
=
=
+
−
．
当且仅当
2
(
)
6
k
k
Z
=
+
时，( )
d
取得最小值，最小值为2 ，
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此时P 的直角坐标为3 1
( , )
2 2
．
18．【解析】椭圆C 的普通方程为
2
2
1
4
y
x +
=
，将直线l 的参数方程
1
1
2
3
2
x
t
y
t
= +
=
，
代入
2
2
1
4
y
x +
=
，得
2
2
3
(
)
1
2
(1
)
1
2
4
t
t
+
+
=
，即
2
7
16
0
t
t
+
=
，
解得1
0
t =
，2
16
7
t = −
.
所以
1
2
16
|
|
7
AB
t
t
=
−
=
.
19．【解析】（）因为
Ⅰ
cos ,
sin
x
y
=
=
，
∴
1
C 的极坐标方程为
cos
2
= −，
2
C 的极坐标方程为
2
2 cos
4 sin
4
0
−
−
+
=
．
（Ⅱ）将=
4
代入
2
2 cos
4 sin
4
0
−
−
+
=
，得
2
3 2
4
0
−
+
=
，
解得
1
= 2 2 ，
2
=
2 ，|MN|=
1
－
2
= 2 ，
因为
2
C
的半径为1，则
2 C MN 的面积
o
1
2 1 sin45
2
= 1
2
．
20．【解析】（Ⅰ）曲线
2
C 的直角坐标方程为
2
2
2
0
x
y
y
+
−
=
，曲线
3
C 的直角坐标方程为
2
2
2 3
0
x
y
x
+
−
=
．联立
2
2
2
2
2
0,
2 3
0,
x
y
y
x
y
x
+
−
=
+
−
=
解得
0,
0,
x
y
=
=
或
3 ,
2
3 ,
2
x
y
=
=
所以
2
C 与
1
C 交点的直角坐标为(0,0) 和
3 3
(
, )
2
2
．
（Ⅱ）曲线
1
C 的极坐标方程为
(
,
0)
R
=
，其中0
．
因此A 得到极坐标为
(2sin , )
，B 的极坐标为
(2 3cos , )
．
所以
2sin
2 3 cos
AB
=
−
4 in(
)
3
s
=
−
，
关注微信公众号：加油高三
当
5
6
=
时，AB 取得最大值，最大值为4 ．
21．【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点
，以极轴为x 轴的正半轴，建
立直角坐标系xoy．
圆C 的极坐标方程为
2
2
2
2 2
sin
cos
4
0
2
2
+
−
−
=
，
化简，得
2
2 sin
2
cos
4
0
+
−
−
=
．
则圆C 的直角坐标方程为
2
2
2
2
4
0
x
y
x
y
+
−
+
−
=
，
即
(
)
(
)
2
2
1
1
6
x
y
−
+
+
=
，所以圆C 的半径为6 ．
22．【解析】（Ⅰ）由
2
2 3sin ,
2 3 sin
=
=
得
，
从而有
(
)
2
2
2
2
+
2 3 ,
+
3
3
x
y
y
x
y
=
−
=
所以
．
（Ⅱ）设
1
3
(3
t,
t),
C(0, 3)
2
2
P
+
又
，
则
2
2
2
1
3
| PC|
3
3
12
2
2
t
t
t
=
+
+
−
=
+
，
故当t=0 时，|PC |取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0).
23．【解析】
2cos . (
).
3sin .
x
y
=
=
（I）曲线C的参数方程为
为参数
6
0.
l
x
y
+
−
=
直线的普通方程为2
…… 分
5
（Ⅱ）
cos
sin
l
曲线C上任意一点P(2
.3
)到的距离为
5
4cos
3sin
6 .
5
d
=
+
−
2 5
4
5sin(
)
6 ,
tan
.
sin30
5
3
d
PA
=
=
+
−
=
则
其中为锐角，且
22 5
sin
.
5
PA
当
( + )=-1时， 取得最大值，最大值为
关注微信公众号：加油高三
2 5
sin(
)
1
.
5
PA
+
=
当
时，
取得最小值，最小值为
24．【解析】（）
的普通方程为
I
C
2
2
(
1)
1(0
1)
x
y
y
−
+
=
．
可得
的参数方程为
C
1 cos ,
sin ,
x
t
y
t
= +
=
（为参数，
t
0
t
x
）
（Ⅱ）设D
(1 cos ,sin )
t
t
+
.
I
C
G
由（）知
是以
（
）为圆心，为半径的上半圆。
1,0
1
因为
处的切线与垂直，所以直线
与的斜率相同，
C 在点D
t
GD
t
tan
3,
3
t
t
=
=
．
故
的直角坐标为
D
(1 cos
,sin
)
3
3
+
，即3
3
( ,
)
2
2
．
25．【解析】将
4
5cos
5
5sin
x
t
y
t
=
+
=
+
消去参数t，化为普通方程
2
2
(
4)
(
5)
25
x
y
−
+
−
=
，
即
1
C ：
2
2
8
10
16
0
x
y
x
y
+
−
−
+
=
，将
cos
sin
x
y
=
=
代入
2
2
8
10
16
0
x
y
x
y
+
−
−
+
=
得，
2
8 cos
10 sin
16
0
−
−
+
=
，
∴
1
C 的极坐标方程为
2
8 cos
10 sin
16
0
−
−
+
=
；
（Ⅱ）
2
C 的普通方程为
2
2
2
0
x
y
y
+
−
=
，
由
2
2
2
2
8
10
16
0
2
0
x
y
x
y
x
y
y
+
−
−
+
=
+
−
=
解得
1
1
x
y
=
=
或
0
2
x
y
=
=
，
∴
1
C 与
2
C 的交点的极坐标分别为( 2, 4
)，
(2,
)
2
．
26．【解析】（Ⅰ）由题意有
(
)
(
)
2cos ,2sin
,
2cos2 ,2sin2
,
P
Q
因此
(
)
cos
cos2 ,sin
sin2
M
+
+
M 的轨迹的参数方程为
cos
cos2 ,
sin
sin2 ,
x
y
=
+
=
+
（0
2
）
（）
Ⅱ
M 点到坐标原点的距离
2
2
2
2cos
d
x
y
=
+
=
+
（0
2
）
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当
=
时，
0
d =
，故M 的轨迹过坐标原点．
27．【解析】（）点
1
, , ,
A B C D的极坐标为
5
4
11
(2,
),(2,
),(2,
),(2,
)
3
6
3
6
点
, , ,
A B C D 的直角坐标为
(1, 3),(
3,1),( 1,
3),( 3, 1)
−
−−
−
（）设
2
0
0
(
,
)
P x
y
；则
0
0
2cos (
)
3sin
x
y
=
=
为参数
2
2
2
2
2
2
0
0
4
4
16
t
PA
PB
PC
PD
x
y
=
+
+
+
=
+
+
2
32
20sin
[32,52]
=
+
28．【解析】（I）设
( , )
P x y
，则由条件知M(
,
2 2
x y
).由于
点在
M
1
C 上，所以
2cos
2
2
2sin
2
x
y
=
=
+
，即
4cos
4
4sin
x
y
=
=
+
．
从而
2
C 的参数方程为
4cos
4
4sin
x
y
=
=
+
（为参数），
（Ⅱ）曲线
1
C 的极坐标方程为
4sin
=
，曲线
2
C 的极坐标方程为
8sin
=
．
射线
3
=
与
1
C 的交点A 的极径为
1
4sin 3
=
，
射线
3
=
与
2
C 的交点B 的极径为
2
8sin 3
=
．
所以
2
1
|
| |
| 2 3
AB
−
=
=
．
