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让更多的孩子得到更好的教育
实际问题与二次函数—知识讲解（基础）
责编:康红梅
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模
型．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，
表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量
关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的
模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关
系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存
在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际
问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值
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1. （2016•成都）某果园有100 颗橙子树，平均每颗树结600 个橙子，现准备多种一些橙子树以提高
果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多
种一棵树，平均每棵树就会少结5 个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树．
（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x 之间的关系；
（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
【思路点拨】
（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5 个橙子列式即可；
（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【答案与解析】
解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x 之间的关系为：y=600
5x
﹣
（0≤x＜120）；
（2）设果园多种x 棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，
则w=（600
5x
﹣
）（100+x）
=
5x
﹣
2+100x+60000
=
5
﹣（x
10
﹣
）2+60500，
则果园多种10 棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500 个．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式、熟练运用配方法、掌握二次函
数的性质是解题的关键．
举一反三：
【高清课程名称：实际问题与二次函数
高清ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：练习讲解】
【变式】
（2015•营口）某服装店购进单价为15 元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25 元时平
均每天能售出8 件，而当销售价每降低2 元，平均每天能多售出4 件，当每件的定价为
元时，该服装
店平均每天的销售利润最大．
【答案】22.
【解析】
解：设定价为x 元，
根据题意得：y=（x
15
﹣
）[8+2（25
x
﹣）] =
2x
﹣
2+88x
870
﹣
y=
2x
∴
﹣
2+88x
870
﹣
，
=
2
﹣（x
22
﹣
）2+98
a=
2
∵
﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22 时，y 最大值=98．
故答案为：22．
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
2．如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 米，底部宽度OM 为12 米．现以O 点
为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；
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(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB，使C、D 点在抛物线上，A、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总
长的最大值是多少?
【答案与解析】
(1)M(12，0)，P(6，6)．
(2)设抛物线解析式为：
．
∵ 抛物线
经过点(0，0)，
∴
，即
．
∴ 抛物线解析式为：
，即
．
(3)设A(m，0)，则B(12-m，0)，C
，D
．
∴ 支撑架总长
．
∵ 此二次函数的图象开口向下．
∴ 当m＝3 时，。AD+DC+CB 有最大值为15 米．
【点评】根据题意设抛物线解析式为顶点式，又抛物线经过原点，不难求出其解析式，设A(m，0)，
用含m 的式子表示支撑架总长AD+DC+CB，根据函数性质求解．
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
3．某跳水运动员进行10 m 跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系
下经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员
在空中最高处距水面
m，入水处距池边的距离为4 m，同时，运动员在距离水面高度为5m 以前，必须
完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这条抛物线的关系式；
(2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势
时，距池边的水平距离为
m，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．
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【答案与解析】
(1)在给定的直角坐标系下，设最高点为A，入水点为B，抛物线的关系式为
．
由题意知，O、B 两点的坐标依次为(0，0)，(2，-10)，且顶点的纵坐标为
．
∴
解得
或
∵ 抛物线对称轴在y 轴右侧，∴
，
又∵ 抛物线开口向下，
∴ a＜0，b＞0，∴
，
，c＝0．
∴ 抛物线关系式为
．
(2)当运动员在空中距池边的水平距离为
m 时，即
时，
．
∴ 此时运动员距水面的高为
(m)．
因此，此次跳水会出现失误．
【点评】(1)由图中所示直角坐标系，可知抛物线经过O、A、B 三点，O、B 两点的坐标由分析可知
O(0，0)、B(2，-10)，且点A 的纵坐标为
，故可设抛物线
，求得a、b、c 的值．
(2)会不会产生失误即运动员完成动作时到水面的距离是否小于5 米，换句话说就是完成动作
时所对应的抛物线上的点的纵坐标绝对值是否小于5 米．
举一反三：
【高清课程名称： 实际问题与二次函数
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高清ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：例2】
【变式】一位运动员在距篮下水平距离4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为
2.5 米时，达到最大高度3.5 米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 米. 若
该运动员身高1.8 米，球在头顶上方0.25 米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【答案】如图建立直角坐标系.
∵点(2.5，3.5)是这段抛物线的顶点
∴设解析式为：
(a≠0)（0≤x≤4），带入点（4,3.05），可求得：a=-0.2
∴
（0≤x≤4），
即
,
当x=0 时，y=2.25，∴距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.2 米.
类型四、利用二次函数求图形面积问题
4．在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示．已知砖墙在地面上占地总长度
160 m，问分隔墙在地面上的长度x 为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积?
【思路点拨】
利用矩形的面积公式建立所围场地总面积与分隔墙在地面上的长度x 的函数关系式，写成顶点
式即可求出面积的最大值．
【答案与解析】
设所围场地总面积是y m2，根据题意得
．
所以分隔墙在地面上的长度x 为20m 时所围场地总面积最大，这个最大面积是1600 m2．
【点评】此类问题一般是先运用几何图形的面积公式写出图形的面积y 与边长x 之间的二次函数关系，再
求出这个函数关系式的顶点坐标，即为最大面积。
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