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十字相乘法及分组分解法（提高）
【学习目标】
1. 熟练掌握首项系数为1 的形如
型的二次三项式的因式分解.
2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1 的简单的整系数二次三项式的因式分解.
3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因
式分解.(但应控制好难度)
4. 掌握好简单的分组分解法.
【要点梳理】
要点一、十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式
，若存在
，则
要点诠释：
（1）在对
分解因式时，要先从常数项
的正、负入手，若
，则
同号(若
，则
异号)，然后依据一次项系数
的正负再
确定
的符号
（2）若
中的
为整数时，要先将
分解成两个整数的积(要考
虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于
，直到凑对
为止.
要点二、首项系数不为1 的十字相乘法
在二次三项式
(
≠0)中，如果二次项系数
可以分解成两个因数之积，即
，常数项
可以分解成两个因数之积，即
，把
排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到
，若它正好等于二次三项式
的一
次项系数
，即
，那么二次三项式就可以分解为两个因式
与
之积，即
.
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数
一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面
的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
要点三、分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑
分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式
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分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：
方法
分类
分组方法
特点
分组分
解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式
要点四、添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式
法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反
复尝试中熟练掌握技巧和方法.
【典型例题】
类型一、十字相乘法
1、分解因式：
【答案与解析】
解：原式＝
【总结升华】将
视作常数，就以
为主元十字相乘可解决.
举一反三：
【变式】分解因式：
【答案】
解：原式
2、分解因式：
【思路点拨】该题可以先将
看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十
字相乘.
【答案与解析】
解： 因为
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所以：原式＝[
－2][
－12]
＝
＝
1
2
3
4
a
a
a
a
【总结升华】十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握.
举一反三：
【变式】分解因式：
；
【答案】
解：原式
3、分解下列因式
(1)
(2)
【答案与解析】
解：（1）令
，
则原式
（2）令
，
原式
【总结升华】此两道小题结构都非常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式子中都
存在大量相同的因式→整体性想法.整体性思路又称换元法，这与我们生活中搬家有些类似，
要先将一些碎东西找包，会省许多事.
类型二、分组分解法
4、分解因式：
【思路点拨】对完全平方公式熟悉的同学，一看见该式，首先想到的肯定是式子中前三项恰好
构成
，第4、5 项→
.
【答案与解析】
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解：原式
【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前面练习中无论公式、配
方、十字相乘一般都只涉及单一字母，其实代数式学习是一个结构的学习，其中任一个字母
均可被一个复杂代数式来替代，故有时要有一些整体性认识的想法.
举一反三：
【变式】分解因式：（1）
（2）
（3）
【答案】
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
.
类型三、拆项或添项分解因式
5、拆项或添项分解因式
（1）
； （2）
； （3）
【答案与解析】
解析：（1）原式
（2）
（3）
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【总结升华】这一方法需很强的数感和创造的灵性，对提高我们的数式变形能力非常有帮助.
肯定不能上来就漫无边际地去想，本着公式结构的需要去凑配项应是首先去尝试的思路.
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