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提公因式法（提高）
【学习目标】
1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项
式分解因式.
要点诠释：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而
不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等
变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数
的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以
所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第
一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为
零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，
或认为是0 而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．
（1）
；
（2）
；
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（3）
；
（4）
；
（5）
．
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果
两方面去判断.
【答案与解析】
解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
(4)的左边不是多项式而是一个单项式，
(5)中的
、
都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，
只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．
【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆
成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】下列变形是因式分解的是 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B；
类型二、提公因式法分解因式
2、下列因式分解变形中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A；
【解析】
解：A.
，正确；
B.
，故本选项错误；
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C.
，故本选项错误；
D.
，故本选项错误．
【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点
是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；
（3）相同字母的指数取次数最低的．
举一反三：
【变式】下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D；
解：A.
，故本选项错误；
B.
，故本选项错误；
C.
，故本选项错误；
D.
，正确．
类型三、提公因式法分解因式的应用
3、若
、
、为
的三边长，且
，则
按边分类，应是什么三角形？
【答案与解析】
解：∵
∴
当
时，等式成立，
当
时，原式变为
，得出
，
∴
∴
是等腰三角形.
【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型.
4、对任意自然数（
＞0），
是30 的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，
并说说理由.
【答案与解析】
解：
∵
为大于0 的自然数，
∴
为偶数，15×
为30 的倍数，
即
是30 的倍数.
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【总结升华】判断
是否为30 的倍数，只需要把
分解因式，看分解后有没有
能够整除30 的因式.
举一反三：
【变式】说明
能被7 整除.
【答案】
解：
所以
能被7 整除.
5、已知
，求
的值.
【思路点拨】本题利用因式分解及等式变形，将已知条件
整体代入求值.
【答案与解析】
解：
【总结升华】从已知条件及结论两方面观察，不要把
孤立的看待，要将已知条件作为一个
整体代入求值.
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