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幂的运算（提高）
【学习目标】
1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；
2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.
【要点梳理】
要点一、同底数幂的乘法性质
(其中
都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、
多项式.
（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
即
（
都是正整数）.
（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与
原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即
（
都是正整数）.
要点二、幂的乘方法则
(其中
都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：
(
，
均为正整数)
（2）逆用公式：
，根据题目的需要常常逆用幂的乘方
运算能将某些幂变形，从而解决问题.
要点三、积的乘方法则
(其中
是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
把所得的幂相乘.
要点诠释：（1）公式的推广：
(
为正整数).
（2）逆用公式：
逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是
遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：
要点四、注意事项
（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.
（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.
（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.
（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.
（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.
【典型例题】
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类型一、同底数幂的乘法性质
1、计算：
(1)
；
(2)
．
【答案与解析】
解：（1）
．
（2）
．
【总结升华】（1）同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．
（2）在幂的运算中，经常用到以下变形：
．
类型二、幂的乘方法则
2、计算：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
．
【答案与解析】
解：（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
【总结升华】（1）运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的
乘方与同底数幂的乘法混淆．（2）幂的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以
是单项式或多项式．
3、已知
，
，求
的值．
【思路点拨】由于已知
的值，所以逆用同底数幂的乘法和幂的乘方把
变成
，再代入计算.
【答案与解析】
解：因为
,
.
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所以
.
【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法.把
当成一个
整体问题就会迎刃而解.同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.
举一反三：
【变式】已知
，则
＝ ．
【答案】－5；
提示：原式
∵
∴ 原式＝
＝－5.
类型三、积的乘方法则
4、计算：
（1）
（2）
【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算.
【答案与解析】
解：（1）
．
（2）
．
【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方．
（2）注意系数及系数符号，对系数－1 不可忽略．
举一反三：
【变式】下列等式正确的个数是( )．
①
②
③
④
⑤
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】A；
提示：只有⑤正确；
；
；
；
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