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乘法公式（提高）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘
法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
【高清课堂 乘法公式 知识要点】
要点一、平方差公式
平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，
既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：
既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的
变式有以下类型：
（1）位置变化：如
利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
（3）指数变化：如
（4）符号变化：如
（5）增项变化：如
（6）增因式变化：如
要点二、完全平方公式
完全平方公式：
2
2
2
2
)
(
b
ab
a
b
a
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的
平方和加（或减）这两数之积的2 倍.以下是常见的变形：
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，
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括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
添括号是否正确.
要点四、补充公式
；
；
；
.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用
1、计算(2＋1)(
)(
)(
)(
)(
)＋1．
【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1 与2－1，
与
，
与
等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.
【答案与解析】
解：原式＝(2－1)(2＋1)(
)(
)(
)(
)(
) ＋1
＝(
)(
)(
)(
)(
)(
)＋1
＝
－1＋1＝
．
【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后
去解决，会事半功倍，提高解题能力．
举一反三：
【变式】计算：
(1)
(2)(
＋
)(
－
)(
)(
)
【答案】
解：(1)原式＝[(
＋3)(
－3)](
)＝(
)(
)＝
．
(2)原式＝[(
＋
)(
－
)](
)(
)
＝[(
)(
)](
)
＝(
)(
)＝
．
2、解方程：
．
【答案与解析】
解：
，
，
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，
，
∴
．
【总结升华】先利用平方差公式，再按多项式乘法法则展开，此题把平方差公式与解方程综合
起来考查．
举一反三：
【变式】解不等式组：
【答案】
解：
由①得
，
，
．
由②得
，
，
，
．
∴ 不等式组的解集为
．
类型二、完全平方公式的应用
3、运用乘法公式计算：
（1）
；（2）
．
【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将
2
3
a
b
化成
(2
3)
a
b
，看成
与(2
3)
b
和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相
乘，其中
与
完全相同，2b ，3c
与2b
，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可
适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．
【答案与解析】
解：（1）原式
．
（2）原式
．
【总结升华】配成公式中的“
”“
”的形式再进行计算.
举一反三：
【变式】运用乘法公式计算：
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(1)
； (2)
；
(3)
； (4)
．
【答案】
解：(1)
＝[
－(
－
)][
＋(
－
)]
＝
＝
．
(2)
＝[2
＋(
－1)][2
－(
－1)]
＝
＝
．
(3)
＝
．
(4)
＝
＝－
＝－
＝
4、已知△ABC 的三边长
、、满足
，试判断△ABC 的
形状．
【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系．
【答案与解析】
解：∵
，
∴
，
即
．
即
．
∴
，
，
，
即
，∴ △ABC 为等边三角形．
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【总结升华】式子
2
2
2
0
a
b
c
ab
bc
ac
体现了三角形三边长关系，从形式上看与完
全平方式相仿，但差着2ab 中的2 倍，故想到等式两边同时扩大2 倍，从而得到结论．
举一反三：
【变式】多项式
的最小值是____________.
【答案】4；
提示：
，所以最小值为4.
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