文档文本内容
提公因式法（基础）
【学习目标】
1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；
2． 能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.
【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项
式分解因式.
要点诠释：
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而
不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等
变形，而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数
的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式
分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式
，另一个因式是
，即
，而
正好是
除以
所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．
要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，
即
.
（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.
（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第
一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.
（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为
零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，
或认为是0 而出现错误.
【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、观察下列从左到右的变形：
⑴
； ⑵
⑶
； ⑷
其中是因式分解的有 （填序号）
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第1页 共4页
两方面去判断．
【答案】（3）；
【解析】
解：(1) 的左边不是多项式而是一个单项式，
(2) (4)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；
只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．
【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆
成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．
举一反三：
【变式】下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B；
类型二、提公因式法分解因式
2、(1)多项式
的公因式是________；
(2)多项式
的公因式是________；
(3)多项式
的公因式是________；
(4)多项式
的公因式是________．
【答案】(1)3 (2)4
(3)
(4)
【解析】
解：先确定系数部分的公因式，再确定字母部分的公因式．
(1)的公因式就是3、6、3 的最大公约数，最后的一项中不含字母，所以公因式中也不含
字母．公因式为3.
(2)公因式的系数是4、16、8 的最大公约数，字母部分是
．公因式为4
.
(3)公因式是（
），为一个多项式因式．
(4)多项式可变形
，其公因式是
．
【总结升华】确定公因式一定要从系数、字母及指数三方面入手，公因式可以是一个数，也可
以是一个单项式，还可以是一个多项式，互为相反数的因式可变形为公因式．
举一反三：
【变式】下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B；
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第2页 共4页
3、若
，则E 是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C；
【解析】
解：
．故选C．
【总结升华】观察等式的右边，提取的是
，故可把
变成
，即左边＝
.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被
减数和减数的位置，应加上负号．
举一反三：
【变式】把多项式
提取公因式
后，余下的部分是（ ）
A．
B．
C．2 D．
【答案】D；
解：
，
＝
，
＝
．
4、分解因式：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
【思路点拨】本题3 个小题的公因式分别是
，提取出公因式后，余下的另一个
因式用原多项式除以公因式而得到．
【答案与解析】
解：(1)
．
(2)
．
(3)
．
【总结升华】(1)在因式分解时，“1”单独成一项时，不能漏掉，更不能省去不写．(2)多项式
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第3页 共4页
的第一项系数是负数时，一般要提出“－”号，使括号内的第一项是正的，在提出“－”号
时，多项式的各项要变号．
举一反三：
【变式】用提公因式法分解因式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C；
解：A.
，故本选项错误；
B.
，故本选项错误；
C.
，正确；
D.
，故本选项错误．
类型三、提公因式法分解因式的应用
5、若
，求
的值.
【答案与解析】
解： 由
，得
.
【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构，
，这样就能由已知
整体代入求值了.
地址：北京市西城区新德街20 号4 层 电话：010－82025511 传真：010－82079687 第4页 共4页
