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完全平方公式（提高）
【学习目标】
1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.
2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；
3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.
【要点梳理】
要点一、公式法——完全平方公式
两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（差）的平方．
即
，
.
形如
，
的式子叫做完全平方式.
要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；
（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）
这两数之积的2 倍. 右边是两数的和（或差）的平方.
（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.
（4）套用公式时要注意字母
和
的广泛意义，、可以是字母，也可以是
单项式或多项式.
要点二、因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．
要点三、因式分解注意事项
（1）因式分解的对象是多项式；
（2）最终把多项式化成乘积形式；
（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【典型例题】
类型一、公式法——完全平方公式
1、分解因式：
（1）
； （2）
；
（3）
； （4）
．
【答案与解析】
解：（1）
．
（2）
．
（3）
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．
（4）
．
【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的首选法．多项式中各项若有公因式，一定要先提公
因式，常用思路是：①提公因式法；②运用公式法．（2）因式分解要分解到每一个因式不能再
分解为止．
举一反三：
【变式】分解因式：
（1）
．
（2）
．
【答案】
解：（1）原式
．
（2）原式
．
2、分解因式：
．
【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的方法，通过观察
发现：将相同的部分
作为一个整体，展开后再进行分解就容易了．
【答案与解析】
解：
．
【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应用，对于式子较复杂的题目不要轻易去括号．
举一反三：
【变式】若
，
是整数，求证：
是一个完全平方数.
【答案】
解：
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令
∴上式
即
类型二、配方法分解因式
3、用配方法来解决一部分二次三项式因式分解的问题，如：
那该添什么项就可以配成完全平方公式呢？
我们先考虑二次项系数为1 的情况：如
添上什么就可以成为完全平方式？
因此添加的项应为一次项系数的一半的平方.
那么二次项系数不是1 的呢？当然是转化为二次项系数为1 了.分解因式：
.
【思路点拨】提出二次项的系数3，转化为二次项系数为1 来解决.
【答案与解析】
解：如
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【总结升华】配方法，二次项系数为1 的时候，添加的项应为一次项系数的一半的平方. 二次
项系数不是1 的时候，转化为二次项系数为1 来解决.
类型三、完全平方公式的应用
4、若
、
、
为三角形的三边边长，试判断
的正负状况．
【答案与解析】
解：
．
依三角形两边之和大于第三边，知
，
，
，
故
．
【总结升华】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判
断每个因式的正负.
举一反三：
【变式】若△ABC 的三边长分别为
、
、
,且满足
，
求证：
.
【答案】
解：
所以
所以
所以
因为△ABC 的三边长分别为
、
、
，
，
所以
，矛盾，舍去.
所以
.
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