学科网（北京）股份有限公司
25.3 用频率估计概率
【基础训练】
一、单选题
1．如图所示的飞镖游戏板是顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点后得到的，若某人向该游戏板投掷镖
一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A．1
B．1
2
C．1
3
D．2
3
【答案】B
【解析】
【分析】
根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】
解：设正六边形的边长为a，
则总面积为√3
4
a2×6＝3√3
2
a2，其中阴影部分面积为√3
4
×（√3a）
2＝3√3
2
a2，
∴飞镖落在阴影部分的概率是
3√3a
2
4
3√3a
2
2
= 1
2，
故选：B．
【点睛】
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件
（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
2．从山下到山顶有A、B、C 三条道路，其中道路C 是单向的，即从山顶不能沿道路C 走到山下，道路
A，B 是双向的．如果小亮开始上山时，小莹开始下山，两人分别从3 条道路中随机地选1 条，则他们途中
相遇的概率（ ）
A．1
3
B．2
3
C．2
5
D．3
5
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司
【解析】
【分析】
根据题意画树状图列举出所有可能的情况数，从中找出二人能相遇的情况数，再根据概率公式计算求解．
【详解】
解：画树状图为：
共有6 种等可能的结果数，其中他们途中相遇的结果数为2，
所以他们途中相遇的概率=2
6=1
3．
故选A．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与为雄的概率相同，如果三枚卵全部成功孵化，那么三只雏鸟中恰有两只
雄鸟的概率是（ ）
A．1
8
B．3
8
C．5
8
D．3
4
【答案】B
【解析】
【分析】
画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
【详解】
解：三只雏鸟分别记为A，B，C，画树状图如下：
∵一共有8 种情况，有两只雄鸟的情况有3 种，
∴P（恰有两只雄鸟）=3
8．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司
【点睛】
本题用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．从一副扑克牌中随机抽出一张牌，得到方块或者
的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
所有机会均等的可能共有54 种，而得到方块或者A 的机会有16 种，因此得到方块或者
的概率是
【详解】
∵所有机会均等的可能共有54 种，而得到方块或者A 的机会有16 种,
∴方块或者
的概率是
.
故选：C.
【点睛】
考查了求概率的公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；易错点是得方块或者A 的总
情况数．
5．为迎接
年理化生实验操作考试，某校成立了物理、化学、生物实验兴趣小组，要求每名学生从物
理、化学、生物三个兴趣小组中随机选取一个参加，则小华和小强都选取生物小组的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】
如图所示：
学科网（北京）股份有限公司
一共有9 种可能，符合题意的有1 种，故小华和小强都选取生物小组的概率是：
．
故选D．
【点睛】
本题考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题的关键．
6．在一个不透明的盒子中装有个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同， 其中有 5 个白球，每次试
验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中.下表是摸球试验的一组统计数据:
摸球次数（ n ）
50
100
150
200
250
300
500
摸到白球次（ m ）
28
60
78
104
123
152
251
白球频率（
）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
由上表可以推算出a 大约是（ ）
A．10
B．14
C．16
D．40
【答案】A
【解析】
【分析】
利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频
率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】
解：∵通过大量重复试验后发现，摸到白球的频率稳定于0.5，
∴
=0.5，
学科网（北京）股份有限公司
解得：a=10．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
7．如图，电路图上有四个开关
，
，
，
和一个小灯泡，闭合开关
或同时闭合开关
，
，
都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即
可求得答案．
【详解】
解：画树状图得：
∵共有12 种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6 种情况，
∴小灯泡发光的概率为：
.
故选：A．
【点睛】
学科网（北京）股份有限公司
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
8．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表
所示：
移植棵数
成活数
成活率
移植棵数
成活数
成活率
50
47
1500
1335
270
235
3500
3203
400
369
7000
6335
750
662
14000
12628
下面有四个推断：
①当移植的树数是1500 时，表格记录成活数是1335，所以这种树苗成活的概率是
；
②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在
附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活
的概率是
；
③若小张移植10000 棵这种树苗，则可能成活9000 棵；
④若小张移植20000 棵这种树苗，则一定成活18000 棵．
其中合理的是
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
【答案】C
【分析】
随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在
附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的
概率是
，据此进行判断即可．
【详解】
解：
当移植的树数是1 500 时，表格记录成活数是1 335，这种树苗成活的概率不一定是
，故错
误；
随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在
附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成
学科网（北京）股份有限公司
活的概率是
，故正确；
若小张移植10 000 棵这种树苗，则可能成活9 000 棵，故正确；
若小张移植20 000 棵这种树苗，则不一定成活18 000 棵，故错误．
故选C．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某
个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估
计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
9．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，这么球员投篮一次，投中的概率约是( )
投篮次数
10
50
100
150
200
250
300
500
投中次数
4
35
60
78
104
123
152
251
投中频率
0.40
0.70
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
A．0.7
B．0.6
C．0.5
D．0.4
【答案】C
【解析】
【分析】
计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
【详解】
由题意得：
投篮的总次数是10+50+100+150+200+250+300+500＝1560(次)，
投中的总次数是4+35+60+78+104+123+152+251＝807(次)，
则这名球员投篮的次数为1560 次，投中的次数为807，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：
≈0.5．
故选C．
【点睛】
此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依
学科网（北京）股份有限公司
靠几次决定．
10．在一个不透明的袋子中装有20 个蓝色小球，若干个红色小球和10 个黄色小球，这些球除颜色不同外
其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.4 左右，若小明在盒子
中随机摸取一个小球，则摸到黄色小球的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设袋中红色小球有x 个，根据“摸取到红色小球的频率稳定在0.4 左右”列出关于x 的方程，解可得袋中红色
小球的个数，再根据频率的定义求解即可．
【详解】
解：设袋子中红球有x 个，
根据题意，得：
=0.4，
解得：x=20，
经检验：x=20 是原分式方程的解，
则小明在袋子中随机摸取一个小球，摸到黄色小球的概率为
=
.
故选：A．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与
总情况数之比．
11．如图，两个转盘A，B 都被分成了3 个全等的扇形，在每一扇形内均标有不同的自然数，固定指针，
同时转动转盘A，B，两个转盘停止后观察两个指针所指扇形内的数字（若指针停在扇形的边线上，当作指
向上边的扇形）．小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数及频率如下表：
学科网（北京）股份有限公司
转盘
总次
数
10
20
30
50
100
150
180
240
330
450
“和
为
7”出
现频
数
2
7
10
16
30
46
59
81
110
150
“和
为
7”出
现频
率
0.2
0
0.3
5
0.3
3
0.3
2
0.3
0
0.3
0
0.3
3
0.3
4
0.3
3
0.3
3
如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的
概率为（ ）
A．0.33
B．0.34
C．0.20
D．0.35
【答案】A
【解析】
【分析】
根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为7”的概率即可.
【详解】
由表中数据可知，出现“和为7”的概率为0.33.
故选A.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的
幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计
概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
12．一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是平的将它从一定高度下掷，落地反
学科网（北京）股份有限公司
弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，
某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
实验次数
n
20
60
100
120
140
160
500
1000
2000
5000
“兵”字面
朝上次数
m
14
38
52
66
78
88
280
550
1100
2750
“兵”字面
朝上频率
下面有三个推断：
投掷1000 次时，“兵”字面朝上的次数是550，所以“兵”字面朝上的概率是
；
随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在
附近，显示出一定的稳定性，可以估计“兵”字面朝上
的概率是
；
当实验次数为200 次时，“兵”字面朝上的频率一定是
其中合理的是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意和概率的定义可以判断各个小题的说法是否正合理，即可解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
投掷1000 次时，“兵”字面朝上的次数是550，所以“兵”字面朝上的频率是0.55，但概率不应是0.55，一次
不具有代表性，故
错误，
随着实验次数的增加，“兵”字面朝上的频率总在
附近，显示出一定的稳定性，可以估计“兵”字面朝上
的概率是0.55，故
正确，
学科网（北京）股份有限公司
当实验次数为200 次时，“兵”字面朝上的频率可能是0.55，但不一定是0.55，故
错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握概率和频率的定义．
13．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转．如果这三种可能性大小相同，则事件“两辆
车向右转，一辆车向左转”的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
画出树状图，列举出所有情况，根据概率公式即可求解.
【详解】
解：画树状图得：
由图可知，一共有27 种等可能的情况；
两辆车向右转，一辆车向左转的有3 种，
∴两辆车向右转，一辆车向左转的概率为
.
故答案选：B.
【点睛】
本题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率＝所求情况数与
总情况数之比求解．
14．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或右转。如果这三种可能性大小相同，则经过这个十
字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据简单随机事件的概率计算公式进行计算即可.
【详解】
解：设这两辆汽车分别为甲车和乙车, 则通过这个十字路口时,两辆车的所有可能情况共有9 种:甲直行,乙直
行;甲左转,乙直行;甲右转, 乙直行; 甲直行, 乙左转; 甲左转,乙左转;甲右转,乙左转;甲直行,乙右转;甲左转,
乙右转;甲右转,乙右转.其中两辆汽车一辆左转, 一辆右转的情况有2 种, 所以概率为
.
故本题正确答案为B.
【点睛】
本题主要考查简单随机事件概率的计算.
15．同时投掷两个骰子，点数的和大于10 的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．
【详解】
画树状图如图：
共有36 种情况，所得两个点数之和大于10 的有3 种情况，
学科网（北京）股份有限公司
所以,P(所得两个点数之和大于10)=
=
.
故选B.
【点睛】
本题考查列表法与树状图法，概率公式.
16．在一个不透明的盒子里装有200 个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球
前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球，记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后发现，摸到黄球
的频率稳定在45%，那么估计盒子中黄球的个数为（ ）
A．80
B．90
C．100
D．110
【答案】B
【分析】
根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在45%，进而可估计摸到黄球的概率，根据概率公式列方程
求解可得．
【详解】
设盒子中黄球的个数为x，
根据题意，得：
45%，
解得：x=90，
即盒子中黄球的个数为90，
故选：B．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的
幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这
个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等
时，一般通过统计频率来估计概率．
17．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有100 个，除颜色外其它完全相同，通过多次
摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率分别稳定在15%、40%，则口袋中白色球的个数很可能是（
）
A．45
B．40
C．15
D．55
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司
【分析】
先由频率之和为1 计算出白球的频率，再由数据总数
频率
频数计算白球的个数．
【详解】
解：
摸到红色球、黑色球的频率稳定在
和
，
摸到白球的频率为
，
故口袋中白色球的个数可能是
个．
故选A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，具体数目应等于总数乘以部分所占总体的比值．
18．在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是（ ）
A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定
B．抛掷10000 次硬币与抛掷12000 次硬币“正面向上”的频率相同
C．抛掷50000 次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5
D．若抛掷2000 次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.518
【答案】A
【分析】
根据频率的概念与计算公式逐项判断即可得．
【详解】
A、经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定，此项正确；
B、抛掷10000 次硬币与抛掷12000 次硬币“正面向上”的频率可能不同，此项错误；
C、抛掷50000 次硬币，可得“正面向上”的频率约为
，此项错误；
D、若抛掷2000 次硬币“正面向上”的频率是
，则“正面向下”的频率为
，此项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了频率的概念与计算公式，掌握理解频率的概念是解题关键．
19．某射击运动员在同一条件下的射击成绩如下表，则下列说法中正确的是（ ）
A．该运动员射击50 次，至少有40 次射中以上
学科网（北京）股份有限公司
B．该运动员射击50 次，最多有40 次射中以上
C．该运动员射击50 次，都没有命中靶心
D．估计该运动员“射中9 环以上”的次数为400 次时，他的射击次数为500 次
【答案】D
【分析】
根据试验结果稳定在0.8 左右即可得出结论．
【详解】
解：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8 附近，
所以这名运动员射击一次时“射中9 环以上”的概率是0.8，
可以估计该运动员“射中9 环以上”的次数为400 次时，他的射击次数为500 次
故选：D．
【点睛】
本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且
摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值
就是这个事件的概率是解答此题的关键．
20．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15 个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中
摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6 左右，则袋中白球
约有（ ）
A．5 个
B．10 个
C．15 个
D．25 个
【答案】B
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，
设袋中白球有x 个，根据概率公式列方程求解即可．
【详解】
解：设袋中白球有x 个，根据题意得：
＝0.6，
解得：x＝10，
经检验：x＝10 是分式方程的解，
答：袋中白球约有10 个．
故选：B．
学科网（北京）股份有限公司
【点睛】
本题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，
其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率
是解题关键．
21．抛一个杯口和杯底大小不同的纸杯，落地有三种可能性：①杯口向上②杯底向上③侧面着地，则杯口
向上的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．只能用大量重复试验，频率估计概
率的方法求得
【答案】D
【分析】
由于纸杯的杯口和杯底大小不同，所以落地后的三种可能性不是等可能发生的，据此解答即可．
【详解】
解：由于纸杯的杯口和杯底大小不同，所以落地后的三种可能性：①杯口向上②杯底向上③侧面着地，不
是等可能发生的，所以杯口向上的概率只能用大量重复试验，频率估计概率的方法求得．
故选：D．
【点睛】
本题考查了随机事件以及频率与概率的关系，正确理解题意、明确大量重复试验条件下，事件发生的频率
可以估计为概率是解题的关键．
22．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小 颖同学统计了某一结果出现的频率，绘
出的统计图如 图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．朝上的点数是 5 的概率
B．朝上的点数是奇数的概率
C．朝上的点数是大于 2 的概率
D．朝上的点数是 3 的倍数的概率
【答案】D
【分析】
学科网（北京）股份有限公司
随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为
，约为16.67%，根据频率估计概率实验统计的频
率，随着实验次数的增加，频率越稳定在35%左右，因此可以判断各选项.
【详解】
解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在35%左右，
A 的概率为1÷6×100%≈16.67%，
B 的概率为3÷6×100%=50%，
C 的概率为4÷6×100%≈66.67%，
D 的概率为2÷6×100%≈33.33%，
即朝上的点数是 3 的倍数的概率与之最接近，
故选：D
【点睛】
本题考查随机事件发生的概率，折线统计图的制作方法，求出每个选项的事件发生概率，再依据折线统计
图中反映的频率进行判断．
23．下列说法正确的是（ ）
A．为了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B．从只装有白球和红球的袋中任意摸出一个球，摸出红球是确定事件
C．某种彩票中奖的概率是
，买1000 张这种彩票一定会中奖
D．在一定条件下大量重复试验时，某个事件发生的频率稳定在0.6 附近摆动，估计该事件发生的概率为
0.6；
【答案】D
【分析】
根据抽样和普查的区别、概率的意义，以及确定事件和随机事件的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A．为了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，此选项错误；
B．从只装有白球和红球的袋中任意摸出一个球，摸出红球是随机事件，此选项错误；
C．某种彩票中奖的概率是
，买1000 张这种彩票也不一定会中奖，此选项错误；
D．由频率估计概率，在大量重复试验时，某个事件发生的频率稳定在0.6 附近摆动，那么估计该事件发生
学科网（北京）股份有限公司
的概率为0.6，此选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抽样和普查的区别、概率的意义，以及确定事件和随机事件的定义，熟练掌握即可．
24．某小组做“用频率估计概率”的实验时，绘出某一结果出现的频率折线图．如图所示，则符合这一结
果的实验可能是( )
A．抛一枚硬币，出现正面朝上
B．从一个装有2 个红球1 个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球
C．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D．掷一个正六面体的骰子，出现3 点朝上
【答案】B
【分析】
根据题意可知，实验结果在
附近波动，即其频率约为
，据此将各选项中事件发生的概率分别求
出来，然后进一步加以判断即可.
【详解】
由题意得：实验结果在
附近波动，即其频率约为
，
A：抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为
，不符合题意；
B：从一个装有2 个红球1 个黑球的袋子中任取一球,取到的是黑球的概率为
，符合题意；
C：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为
，不符合题意；
D：掷一个正六面体的骰子，出现3 点朝上的概率为
，不符合题意；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了用频率估计概率以及简单事件的概率的计算，熟练掌握相关方法是解题关键.
学科网（北京）股份有限公司
25．如图，正方形
是一块绿化带，
，
，
，
分别是
，
，
，
的中点，阴影
部分
，
都是花圃，一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概
率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
用阴影部分的面积除以正方形的面积即可求得小鸟在花圃上的概率．
【详解】
解：∵正方形ABCD 是一块绿化带，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，AD 的中点，
∴S 四边形AHGO+S 四边形OEFC=
S 正方形ABCD，
∴一只自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为
，
故选：
．
【点睛】
本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积与正方形的面积的比，考查了正方形的性
质，三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
26．某校生物兴趣小组为了解种子发芽情况，重复做了大量种子发芽的实验，结果如下：
根据以上数据，估计该种子发芽的概率是（ ）
A．0.90
B．0.98
C．0.95
D．0.91
学科网（北京）股份有限公司
【答案】C
【分析】
仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.95 左右，从而得到结论．
【详解】
根据表格数据，估计该种子发芽的概率是0.95，
故选：C．
【点睛】
考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情
况数之比．
27．从一定高度抛一个瓶盖100 次，落地后盖面朝下的有55 次，则下列说法中错误的是
A．盖面朝下的频数是55
B．盖面朝下的频率是0.55
C．盖面朝下的概率不一定是0.55
D．同样的试验做200 次，落地后盖面朝下的有110 次
【答案】D
【分析】
根据频数，频率及用频率估计概率即可得到答案．
【详解】
A、盖面朝下的频数是55，此项正确；
B、盖面朝下的频率是
=0.55，此项正确；
C、盖面朝下的概率接近于0.55，但不一定是0.55，此项正确；
D、同样的试验做200 次，落地后盖面朝下的在110 次附近，不一定必须有110 次，此项错误；
故选：D．
【点睛】
本题考查了频数，频率及用频率估计概率，掌握知识点是解题关键．
28．一个口袋中有红球、白球共10 个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机模出一
个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100 次球，发现有80 次摸到红球，则口
袋中红球的个数大约有（ ）
A．8 个
B．7 个
C．3 个
D．2 个
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司
【分析】
根据利用频率估计概率可估计摸到红球的概率，即可求出红球的个数．
【详解】
解：∵共摸了100 次球，发现有80 次摸到红球，
∴摸到红球的概率估计为0.80，
∴口袋中红球的个数大约10×0.80=8（个），
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，属于常考题型，掌握计算的方法是关键．
29．下列说法正确的是（ ）
A．要了解襄阳市学生在网课期间视力情况适合全面调查
B．用频率估计概率，必须建立在大量重复试验的基础上
C．打开电视机正在放广告，这是一个确定事件
D．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S 甲
2=3，S 乙
2=4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
【答案】B
【分析】
分别根据调查实际情况，用频率估计概率，事件发生的可能性，方差的特点进行逐项判断即可．
【详解】
解：A. 要了解襄阳市学生在网课期间视力情况，由于费时费力，不适合全面调查，选项判断错误，不合
题意；
B. 用频率估计概率，必须建立在大量重复试验的基础上，选项判断正确，符合题意；
C. 打开电视机可能正在播放广告，也可能没有播放广告，这是一个随机事件，选项判断错误，不合题意；
D. 甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S 甲
2=3，S 乙
2=4，方差越小，反映数据波动越小，说明甲的跳远成绩
更稳定，选项判断错误，不合题意．
【点睛】
本题考查了统计调查，用频率估计概率，随机事件，方差等知识，涉及面较广，熟悉相关知识是解题关键．
30．在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了下面的折线图，那么符合这一
结果的实验最有可能的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
A．洗匀后的1 张红桃，2 张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃
B．“石头、剪刀、布”的游戏，小王随机出的是“剪刀”
C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上面的点数是6
【答案】B
【分析】
根据统计图可知，试验结果在0.33 附近上下波动，即这个实验的概率大约为0.33，分别计算四个选项的概
率，大约为0.33 的即为正确答案．
【详解】
解：A、洗匀后的1 张红桃，2 张黑桃牌，从中随机抽取一张牌是黑桃的概率为
，故本选项不符合题意；
B、“石头、剪刀、布”的游戏，小王随机出的是“剪刀”的概率为
≈0.33，故本选项符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是
，故本选项不符合题意；
D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上面的点数是6 的概率为
，故本选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情
况数与总情况数之比，同时此题在解答中要用到概率公式．
二、填空题
31．从装有ａ个球的暗袋中随机的摸出一个球，已知袋中有５个红球，通过大量重复的实验发现，摸到红
学科网（北京）股份有限公司
球的频率稳定在0.25 左右，可以估计a 约为________．
【答案】20
【分析】
直接根据频率与频数的关系及题意可直接列式求解．
【详解】
解：由题意可得：
；
故答案为20．
【点睛】
本题主要考查频率与频数，熟练掌握频率与频数的关系是解题的关键．
32．小亮在投篮训练中，对多次投篮的数据进行记录．得到如下频数表：
投篮次数
20
40
60
80
120
160
200
投中次数
15
33
49
63
97
128
160
投中的频
率
0.75
0.83
0.82
0.79
0.81
0.8
0.8
估计小亮投一次篮，投中的概率是______．
【答案】0.8
【分析】
由小亮每次投篮的投中的频率继而可估计出这名球员投一次篮投中的概率．
【详解】
解：∵0.75≈0.8，0.83≈0.8，0.82≈0.8，0.79≈0.8，…，
∴可以看出小亮投中的频率大都稳定在0.8 左右，
∴估计小亮投一次篮投中的概率是0.8，
故答案为：0.8．
【点睛】
本题比较容易，考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率值即概率．概率=所求情况数与总情况数
之比．
33．在一个不透明的盒子里，装有4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一
个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验多次后，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2 左右．则据此
估计盒子中大约有白球___________个．
学科网（北京）股份有限公司
【答案】16
【分析】
设盒子中大约有白球x 个，根据黑球有4 个，利用黑球数量除以球的总数可得其频率为0.2，据此列方程解
题即可．
【详解】
设盒子中大约有白球x 个，根据题意得：
解得:
故答案为：16．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
34．新冠疫情发生以来，为保证防控期间的口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口
罩，从最初转产时的陌生，到正式投产后达成日均生产100 万个口罩的产能．不仅效率高，而且口罩送检
合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”．以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如
下：
抽检数量
个
20
50
100
200
500
1000
2000
5000
10000
合格数量
个
19
46
93
185
459
922
1840
4595
9213
口罩合格率
0.950
0.920
0.930
0.925
0.918
0.922
0.920
0.919
0.921
估计这一批口罩的合格率为______（精确到0.01）．
【答案】0.92；
【分析】
由题意观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可．
【详解】
解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920 附近，
所以可以估计这批口罩中合格的概率约是0.92（精确到0.01）．
故答案为：0.92．
【点睛】
学科网（北京）股份有限公司
本题主要考查利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估
计概率．
35．一个事件经过500 次的试验，某种结果发生的频率为0.32，那么在这一次试验中，该种结果发生的概
率估计值是___________．
【答案】0.32
【分析】
由题意依据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据
这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率进行分
析即可．
【详解】
解：一个事件经过500 次的试验，某种结果发生的频率为0.32，
那么在这一次试验中，该种结果发生的概率估计值是0.32．
故答案为：0.32．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，
这个固定的近似值就是这个事件的概率．
三、解答题
36．某中学为了了解学生对四大古典名著(《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》)的阅读情况，
就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查．根据调查结果绘制成如所示的两个
不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
(1)本次调查一共抽取了_____名学生，扇形统计图中“4 部”所在扇形的圆心角为____度；
(2)请补全条形统计图；若该中学有2000 名学生，请估计至少阅读1 部四大古典名著的学生有多少名？
(3)没有读过四大名著的两名学生准备从四大古典名著中各自随机选择一部来阅读，请用列表法或树状图求
学科网（北京）股份有限公司
他们选中同一名著的概率．
【答案】(1)40，54；(2)补图见解析；估计至少阅读1 部四大古典名著的学生有1900 名；(3)
.
【解析】
【分析】
(1)用阅读“2 部”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；然后用360°乘以“4 部”人数的百分比得到扇
形统计图中“4 部”所在扇形的圆心角；
(2)计算出阅读“1 部”的人数后补全条形统计图，用2000 乘以样本中至少阅读1 部四大古典名著的学生的百
分比可估计至少阅读1 部四大古典名著的学生数；
(3)《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用A、B、C、D 表示，画树状图展示所有16 种等
可能的结果数，找出他们选中同一名著的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】
解：(1)10÷25%＝40，
所以本次调查一共抽取了40 名学生，
扇形统计图中“4 部”所在扇形的圆心角＝360°×
＝54°
故答案为40，54；
(2)阅读“1 部”的人数为40﹣2﹣10﹣8﹣6＝14(人)，
条形统计图为：
2000×(1﹣
)＝1900，
所以估计至少阅读1 部四大古典名著的学生有1900 名；
(3)《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用A、B、C、D 表示，
画树状图为：
学科网（北京）股份有限公司
共有16 种等可能的结果数，其中他们选中同一名著的结果数为4，
所以他们选中同一名著的概率＝
＝
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
或B 的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．
37．艺术节期间，学校向学生征集书画作品，张老师从全校36 个班中随机抽取了4 个班（用A，B，C，D
表示），对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．请根据相关信息，回答下
列问题：
（1）请你将条形统计图补充完整，并估计全校共征集了多少件作品？
（2）如果全校征集的作品中有4 件获得一等奖，其中有1 名作者是男生，3 名作者是女生，现要在获得一
等奖的作者中选取两人参加表彰座谈会，求选取的两名学生恰好是一男一女的概率．（要求列表或画树状
图）
【答案】（1）详见解析；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用B 组件数，百分比，求出总数，用样本估计整体的思想解决问题即可，再求出D 组件数，画出
条形图即可；
（2）画出树状图即可解决问题；
学科网（北京）股份有限公司
【详解】
（1）总数＝12÷
＝36（件），
∴估计全校共征集了36×9＝324 件作品，
D 班件数＝36﹣6﹣12﹣10＝8，
条形图如图所示：
（2）树状图如图所示：
一共12 种情形，一男一女占6 种，
∴选取的两名学生恰好是一男一女的概率＝
．
【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识．注意掌握扇形统计图与条形统计图的
对应关系．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
38．李珊一家准备假期游览华山（H）、秦始皇兵马俑（T）、大雁塔（G）三个景区，他用摸牌的方式确
定游览顺序：如图，将代表三个景区的图片贴在背面完全相同的三张卡片上，将三张卡片背面向上洗匀后
摸出一张（不再放回）作为最先游览的景区，再从剩下的两张卡片中摸出一张，作为游览的第二个景区，
余下的一张代表最后游览的景区，比如：他先摸出T，再摸出G，则表示游览顺序为“T﹣G﹣H”，即“秦
始皇兵马俑﹣大雁塔﹣华山”．
学科网（北京）股份有限公司
（1）求李珊一家最先游览的景区是大雁塔的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法表示出所有可能的游览顺序，并求出李珊一家恰好按：“大雁塔﹣华山
﹣秦始皇兵马俑”顺序游览的概率．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
【分析】
（1）列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
（2）列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】
解：（1）李珊一家最先游览的景区是大雁塔的概率是
．
（2）树状图：
共有6 种可能，其中符合条件的只有一种，
∴P（李珊一家恰好按：“大雁塔﹣华山﹣秦始皇兵马俑”）＝
.
【点睛】
考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成
的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到
的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
学科网（北京）股份有限公司
39．目前中学生带手机进校园现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校数学兴趣小组的同学随机调
查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的态度(态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；
D．反对)，并将调查结果绘制成频数折线统计图1 和扇形统计图2(不完整)．请根据图中提供的信息，解答
下列问题：
(1)此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；
(2)求出图2 中扇形C 所对的圆心角的度数，并将图1 补充完整；
(3)根据抽样调查结果，请你估计1 万名中学生家长中有多少名家长持反对态度；
(4)在此次调查活动中，初三(1)班和初三(2)班各有2 位家长对中学生带手机持反对态度，现从这4 位家长中
选2 位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2 人来自不同班级的概率．
【答案】(1)共调查的中学生家长数是200 人；(2)18°，补图见解析；(3)10000 名中学生家长中有6000 名家
长持反对态度；(4)
.
【解析】
【分析】
（1）用B 类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）用360°乘以C 类所占的百分比得到扇形C 所对的圆心角的度数，再计算出C 类人数，然后补全条形
统计图；
（3）用10000 乘以D 类的百分比可估计持反对态度的家长的总数；
（4）画树状图展示所有12 种等可能的结果数，再找出2 人来自不同班级的结果数，然后根据概率公式求
解．
【详解】
解：
学科网（北京）股份有限公司
(1)共调查的中学生家长数是：40÷20%＝200(人)；
(2)扇形C 所对的圆心角的度数是：360°×(1﹣20%﹣15%﹣60%)＝18°，
C 类的人数是：200×(1﹣20%﹣15%﹣60%)＝10(人)，
补图如下：
(3)根据题意得：
10000×60%＝6000(人)，
答：10000 名中学生家长中有6000 名家长持反对态度；
(4)设初三(1)班两名家长为A1，A2，初三(2)班两名家长为B1，B2，
画树状图为：
共有12 种等可能的结果数，其中2 人来自不同班级共有8 种，
所以选出的2 人来自不同班级的概率＝
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A
或B 的结果数目m，然后利用概率公式求事件A 或B 的概率．也考查了统计图．
40．在某次数学测试中，小明有两道“四选一”的单项选择题（每题都给出A，B，C，D 四个选择项，其
学科网（北京）股份有限公司
中只有一个正确）不会；他对第一题已经正确地排除了A，C 选择项，对第二题已经正确地排除了B 选择
项，对其它选择项则毫无把握；于是他从排除后剩下的选择项中随机选择一个选项作为答案，完成了这两
道单项选择题的解答．
（1）小明答对第一题的概率是多少？（2）小明两题全答对的概率是多少？
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
【分析】
画出树状图，根据概率公式即可解答（1）（2）小题.
【详解】
解：树状图如下：
（1）共有2 种情况，答对只有一种情况，故答对第一题的概率是：
；
（2）共有6 种情况，两题都答对只有一种情况，故两题全答对的概率是：
.
【点睛】
此题考查的是用树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所
求情况数与总情况数之比．
41．某中学九年级共有6 个班，要从中选出两个班代表学校参加一项重大活动，九（1）班是先进班，学校
指定该班必须参加，另外再从九（2）班到九（6）班中选出一个班，九（4）班有同学建议用如下方法选
班：从装有编号为1，2，3 的三个白球的A 袋中摸出一个球，再从装有编号也为1，2，3 的三个红球的B
袋中摸出一个球（两袋中球的大小、形状与质地完全一样），摸出的两个球编号之和是几就派几班参加．
（1）请用列表或画树形图的方法列举出摸出的两球编号的所有可能出现的结果；
（2）如果采用这一建议选班，对五个班是一样公平的吗？请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司
【答案】（1）见解析；（2）不公平，见解析.
【解析】
【分析】
游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总
情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】
解：（1）列表可得：
（2）不公平：
因为观察图表可得：两个球编号之和为2 的有1 种情况；两个球编号之和为3 的有2 种情况；两个球编号
之和为4 的有3 种；两个球编号之和为5 的有2 种；两个球编号之和为6 的有1 种；即各自被选中的概率不
相等，所以不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不
公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
42．为了适应课程改革的需要，丰富学生业余文化生活，我县某初中决定开展课后服务活动．学校就“你
最想开展哪种课后服务项目”问题进行了随机问卷调查，调查分为四个类别：A 舞蹈；B．绘画与书法；
C．球类；D．不想参加．学校根据调查结果整理并绘制成下面不完整的扇形统计图和条形统计图：
请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次统计共抽查了
名学生；在扇形统计图中，表示C 类别的扇形圆心角度数为
．
(2)补全条形统计图；
学科网（北京）股份有限公司
(3)该校共有600 名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中想参加B 类活动的人数．
(4)若甲、乙两名同学，各自从三个课后服务项目中随机选一个参加，请用列表或画树状图的方法求同时选
中A 类活动的概率．
【答案】(1)50；108°；(2)见解析；(3)估计全校学生中想参加B 类活动的人数为120 人；(4)
.
【解析】
【分析】
（1）用A 类别的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，用360°乘以C 类别所占的百分比得到C 类
别的扇形圆心角度数；
（2）计算出D 类别人数，然后补全条形统计图；
（3）用600 乘以B 类人数所占的百分比；
（4）画树状图展示所有9 种等可能的结果数，找出同时选中A 类活动的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：(1)5÷10%＝50，
所以这次统计共抽查了50 名学生；
C 类别的扇形圆心角度数＝360°×
＝108°；
故答案为50；108°；
(2)D 类人数为50﹣5﹣10﹣15＝20(人)
补全条形统计图为：
(3)600×
＝120，
学科网（北京）股份有限公司
所以估计全校学生中想参加B 类活动的人数为120 人；
(4)画树状图为：
共有9 种等可能的结果数，其中同时选中A 类活动的结果数为1，
所以同时选中A 类活动的概率＝
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件
A 或B 的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．
43．不透明的口袋里装有红、白两种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2 个（分别标
有1 号、2 号）．若从中任意摸出一个球，它是白球的概率为
．
（1）求袋中白球的个数；
（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次
摸到不同颜色球的概率．
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】
（1）首先设袋中白球的个数为x 个，根据题意即可得方程：
，解此方程即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到不同颜色球的情况，然后利
用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：（1）设袋中白球的个数为x 个，
根据题意得：
，
学科网（北京）股份有限公司
解得：x＝1，
∴袋中白球的个数为1 个；
（2）画树状图得：
∵共有6 种等可能的结果，两次摸到不同颜色球的有4 种情况，
∴两次摸到不同颜色球的概率为：
．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与
总情况数之比．
44．（1）4 张卡片分别画有角、线段、三角形、正方形．从中随机抽取一张，写出抽到轴对称图形卡片的
概率；
（2）3 张卡片分别标有3.14，π，
．从中随机抽取两张，写出全抽到无理数卡片的概率．
【答案】(1)
;(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线段，角，正方形是轴对称图形，利用概率公式即可解决问题；
（2）根据无理数有：π，
，利用概率公式即可解决问题.
【详解】
（1）∵线段，角，正方形是轴对称图形，
∴抽到轴对称图形卡片的概率为
．
学科网（北京）股份有限公司
（2）∵无理数有：π，
，
∴全抽到无理数卡片的概率为
．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，
那么事件A 的概率P（A）=
．
45．小强与小颖两位同学在学习“概率”时，做抛骰子（均匀正方体形状）试验，共随机抛了60 次，出现
向上点数的次数如下图所示：
（1）请补全下边的统计图．
（2）小强说：“根据试验，一次试验中出现向上点数为6 的概率最大．”小颖说：“如果抛600 次，则出
现向上点数为3 的次数正好是100 次．”请判断他们说法的对错，并简要说明理由．
（3）若小强与小颖各随机抛一枚骰子，则P（出现向上点数之和为3 的倍数）是多少．
【答案】（1）见解析（2）错误（3）1
3
【解析】
【分析】
（1）根据各组频数之和等于数据总数60，可求出出现向上的点数为2 的次数，从而画出对应的图形；
（2）由于试验次数不多，只有60 次，所以不能用这次试验的频率估计概率；如果抛600 次，则出现向上
点数为3 的次数在100 次附近，他们的说法都是错误的；
（3）可应用列表法或树形图法求出结果．
【详解】
解：（1）如图，
学科网（北京）股份有限公司
（2）他们的说法是错的．理由：随机事件的频率是事件发生的次数与试验总次数的比值．概率是反映
一个随机事件发生的可能性大小的数值，只有在大量重复试验的前提下得到的频率才可以近似地看作该
事件发生的概率．这里试验次数太少，只有60 次，所以不能用这次试验的频率估计概率，如果抛600
次，则出现向上点数为3 的次数在100 次附近，故他们的说法错误．
（3）用a 表示小强抛一枚骰子时出现向上的点数，b 表示小颖抛一枚骰子时出现向上的点数，a+b 表示
点数和．列表如下：
从表中可以看出，一共有36 种可能的结果，其中出现向上点数之和为3 的倍数的结果有12 种，故P
（出现向上点数之和为3 的倍数）＝12
36 = 1
3.
【点睛】
本题主要考查了各组频数之和等于数据总数，频率与概率的区别与联系，用列举法求概率的方法．用到
的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．随机事件可能发生，也可能不发生，概率在0 和1 之
间．
46．学校组织首届“数学文化节”活动，旨在引导同学们感受数学魅力、提升数学素养。活动中，七年级全
体同学参加了“趣味数学知识竞赛” 。
收集数据：现随机抽取七年级中 40 名同学“趣味数学知识竞赛”的成绩，如下（单位：分） ：
75 85 75 80 75 75 85 70 75 90 75 80 80 70 75 80 85 80 80 95
学科网（北京）股份有限公司
95 75 90 80 70 80 95 85 75 85 80 80 70 80 75 80 80 55 70 60
整理分析：小彬按照如下表格整理了这组数据，并绘制了如下的频数直方图。
（1）请将图表中空缺的部分补充完整，并说明这 40 名同学“趣味数学知识竞赛”的成绩分布情况（写出一
条即可） ；
（2）这 40 名同学的“趣味数学知识竞赛”成绩的中位数是 分；
问题解决：
（3） “数学文化节”组委会决定，给“趣味数学知识竞赛”成绩在 90 分及 90 分以上的同学授予“数学之
星”称号。根据上面统计结果估计该校七年级 560 人中，约有多少人将获得“数学之星”称号？
（4） “数学文化节”中，获得“数学之星”称号的小颖得到了 A，B，C，D 四枚纪念章（除头像外完全相
同） 。如图所示，四枚纪念章上分别印有四位数学家的头像。她将纪念章背面朝上放在桌面上，然后从
中随机选取两枚送给妹妹。求小颖送给妹妹的两枚纪念章中恰好有一枚印有华罗庚头像的概率。 （提示：
答题时可用序号 A，B，C，D 表示相应的纪念章）
【答案】（1）15；5，这40 名同学“趣味数学知识竞赛”的成绩主要分布在70≤x＜90．（2）80，（3）
70，（4）1
2.
【解析】
【分析】
（1）根据题干所给数据整理可得；
（2）根据中位数的定义求解可得；
（3）用总人数乘以样本中90≤x＜100 人数所占比例即可得；
（4）根据题意先画出树状图，得出共有12 种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．
学科网（北京）股份有限公司
【详解】
解：（1）补全表格如下：
成绩x（单位：分）
频数（人数）
50≤x＜60
1
60≤x＜70
1
70≤x＜80
15
80≤x＜90
18
90≤x＜100
5
这40 名同学“趣味数学知识竞赛”的成绩主要分布在70≤x＜90．
（2）这40 名同学的“趣味数学知识竞赛”成绩的中位数是第20、21 个数据的平均数，
所以这40 名同学的“趣味数学知识竞赛”成绩的中位数是80+80
2
=80（分），
故答案为：80；
（3）估计该校七年级560 人中，获得“数学之星”称号的约为560× 5
40 =70（人）．
（4）画树状图如下：
则共有12 种等可能的结果数，其中小颖送给妹妹的两枚纪念章中恰好有一枚印有华罗庚头像的结果数为
6，
所以小颖送给妹妹的两枚纪念章中恰好有一枚印有华罗庚头像的概率为6
12=1
2．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件
学科网（北京）股份有限公司
A 或B 的结果数目m，求出概率，也考查了条形统计图与样本估计总体．
47．甲、乙两名教师参加“优质课”比赛，由于参赛教师较多，需将参赛教师随机分成A、B、C 三个组进行
比赛．
（1）甲教师恰好分在A 组的概率是
；
（2）求甲、乙两名教师分在同一个组的概率．
【答案】（1）1
3；（2）1
3.
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求出甲教师恰好分在A 组的概率；
（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．
【详解】
解：（1）因为共有A、B、C 三组，而甲同学在A 组的只有1 种结果，
所以甲同学恰好在A 组的概率是1
3，
故答案为：1
3；
（2）画树状图如下：
可得一共有9 种可能，甲、乙两名教师分在同一个组的有3 种，
所以甲、乙两名教师分在同一个组的概率为1
3．
【点睛】
此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．
48．为了解某校2400 名学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查．问卷给出了五
种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选．将调查得到的结果绘制成如图所示的频数分布直
方图和扇形统计图（均不完整）．
学科网（北京）股份有限公司
（1）问：在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校所有学生中有多少人乘坐公交车上学；
（4）为了鼓励“低碳生活”，学校为随机抽到的步行或骑自行车上学的学生设计了一个摸奖游戏，具体规则
如下：一个不透明的袋子中装着标有数字1、2、3、4 的四个完全相同的小球，随机地从四个小球中摸出一
球然后放回，再随机地摸出一球，若第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，则
有小礼物赠送，问获得小礼物的概率是多少（用树状图或列表说明）？
【答案】(1)80;(2)见解析;(3)600;(4)
.
【解析】
【分析】
（1）根据上学方式为“私家车”的学生数除以所占的百分比即可求出调查的学生总数；
（2）根据学生总数求出上学方式为“公交车”的学生数，补全条形统计图即可；
（3）求出上学方式为“公交车”的学生所占的百分比，乘以2400 即可得到结果；
（4）根据题意画出相应的树状图，得出所有等可能的情况数，找出第二次摸出的小球标有的数字比第一
次摸出的小球标有的数字大的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：（1）32÷40%＝80（名），
则在这次调查中，一共抽取了80 名学生；
（2）上学方式为“公交车”的学生为80﹣（8+12+32+8）＝20（名），
补全频数分布直方图，如图所示；
学科网（北京）股份有限公司
（3）根据题意得：2400×
＝600（名），
则全校所有学生中有600 名学生乘坐公交车上学；
（4）根据题意画出树状图，如图所示：
得到所有等可能的情况数有16 种，其中第二次摸出的小球标有的数字比第一次摸出的小球标有的数字大，
即有小礼物赠送的有6 种，则P＝
＝
，
则获得小礼物的概率是
．
【点睛】
此题考查了直方图，扇形统计图，用样本估计总体，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
49．小玲为毕业联欢会设计了一个“配橙色”的游戏，使用的是如图所示两个可以自由转动的转盘，每个转
盘被分成面积相等的若干个扇形，不同扇形分别填涂颜色，分界线可忽略，游戏者同时转动两个转盘，两
个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向红色，另一个转盘的指针指向黄色，则“配橙色”游戏成功，
游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．（用列表法或画树状图说明）
【答案】游戏者获胜的概率为1
2.
【解析】
【分析】
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】
方法一：画树状图如下：
学科网（北京）股份有限公司
由树状图可知，共有6 种等可能结果，其中“配橙色”即“一红一黄”的有3 种结果.
∴P（“配橙色”）= 3
6 = 1
2.
∴游戏者获胜的概率为1
2.
方法二：列表如下：
转盘2
转盘1
红
黄
红1
（红1，红）
（红1，黄）
红2
（红2，红）
（红2，黄）
黄
（黄，红）
（黄，黄）
由树状图可知，共有6 种等可能结果，其中“配橙色”即“一红一黄”的有3 种结果.
∴P（“配橙色”）= 3
6 = 1
2.
∴游戏者获胜的概率为1
2.
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结
果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
50．在一个不透明的盒子中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球6 个，黄球10 个，篮
球
个。若每次将球充分搅匀后，随机摸出一个小球记下颜色后放回盒子里。经过大量的重复试验后发现，
摸到红球的频率稳定在30％左右，则
的值约为_____.
【答案】4
【解析】
【分析】
学科网（北京）股份有限公司
在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在
30％左右得到比例关系，列出方程求解即可.
【详解】
解：由题意可得,
=30%,
解得a=4.
经检验:a=4 是原分式方程的解,
所以a 的值约为4,
故答案为:4.
【点睛】
本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球的频率得到相应的等量关系.
51．汕头有丰富的旅游资源、小陈利用假日来汕头游玩，上午从A、B、C 三个景点中任意选择一个游玩，
下午从D、E 两个景点中任意选择一个游玩，用列表或画树状图的方法列出所有等可能的结果，并求小陈
恰好选中景点B 和E 的概率．
【答案】表见解析，小陈恰好选中景点B 和E 的概率为
．
【解析】
【分析】
用列表法即可得到小陈所有可能的游玩方式，然后求出恰好选中B、E 的情况占总情况的多少即可．
【详解】
解：列表如下
D
E
A
（A，D）
（A，E）
B
（B，D）
（B，E）
C
（C，D）
（C，E）
由表可知，共有6 种等可能结果，其中小陈恰好选中景点B 和E 的只有1 种结果，
学科网（北京）股份有限公司
∴小陈恰好选中景点B 和E 的概率为
．
【点睛】
本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数
与总情况数之比．
52．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由传动的转盘A,B 分别分成4 等份，3 等份的扇形区域，
并在每一小区域内标上数字（如图所示）.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个
区域的数字之和为奇数，则甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为偶数，则乙胜.如果指针落在分割线上，
则需要重新转动转盘.请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由.
【答案】公平
【解析】
【分析】
游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在
总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【详解】
解：公平，理由如下：
如图所示：
，
所有的可能为：4，5，6，5，6，7，6，7，8，7，8，9，
由图可知共有12 种等可能的结果，其中数字之和为奇数的有6 种结果，数字之和为偶数的有6 种，
则甲获胜的概率为
、乙获胜的概率为
，
学科网（北京）股份有限公司
所以这个游戏规则对甲、乙双方公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不
公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
53．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，
洗匀后从中随机抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树状图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；
（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双
曲线
上的概率．
【答案】（1）答案见解析；（2）
．
【解析】
【分析】
(1)画出树状图即可得解;
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上y=
上的情况数,然后根据概率
式列式计算即可得解.
【详解】
（1）根据题意画出树状图如下：
（2）当x＝﹣1 时，y＝
＝﹣2；当x＝1 时，y＝
＝2；当x＝2 时，y＝
＝1，∴一共有9 种等可能的
情况，点（x，y）落在双曲线y＝
上有2 种情况：（1，2），（2，1），∴点（x，y）落在双曲线y＝
上的概率为：
．
学科网（北京）股份有限公司
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法、反比例函数图象上点的坐标特征,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情
况数之比.
54．有两组牌，每组牌都是4 张，牌面数字分别是1，2，3，4，从每组牌中任取一张，求抽取的两张牌的
数字之和等于5 的概率，并画出树状图．
【答案】
【解析】
【分析】
画出树状图,列举出所有情况,看抽取的两张牌的数字之和等于5 的情况占所有情况的多少可得答案.
【详解】
解：如图，
共有16 种等可能的情况，和为5 的情况有4 种，
P
∴（和为5）=
．
【点睛】
本题主要考查用列表法或画树状图求等可能事件的概率，其中如果一个事件有n 种可能,而且这些事件的可
能性相同,其中事件A 出现m 种结果,那么事件A 的概率P(A)=
.
55．如图所示是某商场搞促销活动的一个大转盘，购物满3000 元以上者可免费转动转盘一次，指针指向哪
个扇形区域，则顾客可免费获得其中标示的物品．
(1)获得哪种物品的可能性最大？
(2)获得哪种物品的可能性最小？
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)获得香皂的可能性最大；(2)获得彩电的可能性最小．
【解析】
【分析】
观察转盘中哪个区域的面积较大,则获取该奖品的可能性就越大,哪个区域的面积较小,则获取该奖品的可能
性就较小,即可解答此题.
【详解】
从图中容易看出，标有“香皂”的扇形面积最大，标有“彩电”的扇形面积最小，因而指针指向香皂的可
能性最大，指向彩电的可能性最小．所以(1)获得香皂的可能性最大；(2)获得彩电的可能性最小．
【点睛】
本题主要考查了不确定事件发生的可能性的大小.在转盘游戏中区域形面积的大小与事件发生的可能性的大
小关系：转盘中哪个区域的面积越大,则指针落在该区域的可能性就越大；转盘中哪个区域的面积越小，则
指针落在该区域的可能性就越小.例如此题中就是利用上面的知识即可解答.
56．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40 只，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球
实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是
实验中的一组统计数据：
（1）请估计：当n 很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
（2）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为______；
（3）试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
【答案】（1）0.6；（2）0.6；（3）盒子里黑、白两种颜色的球各有16 和24 只．
【分析】
学科网（北京）股份有限公司
（1）计算出其平均值即可；
（2）概率接近于（1）得到的频率；
（3）白球个数=球的总数×摸到的白球的概率，让球的总数减去白球的个数即为黑球的个数，问题得解．
【详解】
解：（1）∵摸到白球的频率平均值为0.6，
∴当n 很大时，摸到白球的频率将会接近0.6．
故答案为0.6；
（2）∵摸到白球的频率为0.6，
∴假如你摸一次，你摸到白球的概率P（白球）=0.6．
故答案为0.6；
（3）盒子里白球的数量为：40×0.6=24（只），
盒子里黑球的数量为：40
24=16
﹣
（只）.
故答案为：盒子里黑、白两种颜色的球各有16 和24 只.
【点睛】
本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具
体数目=总体数目×相应频率．
57．袋子中装有3 个带号码的球，球号分别是2，3，5，这些球除号码不同外其他均相同．
（1）从袋中随机摸出一个球，求恰好是3 号球的概率；
（2）从袋中随机摸出一个球，再从剩下的球中随机摸出一个球，用树形图列出所有可能出现的结果，并
求两次摸出球的号码之和为5 的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）由袋子中装有3 个带号码的球，球号分别是2，3，5，这些球除号码不同外其他均相同，直接利用概
率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出球的号码之和为5 的情况，
再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
（1）∵袋子中装有3 个带号码的球，球号分别是2，3，5，这些球除号码不同外其他均相同，
学科网（北京）股份有限公司
∴从袋中随机摸出一个球，求恰好是3 号球的概率为：
；
（2）画树形图得：
∵共有6 种等可能的结果，两次摸出球的号码之和为5 的有2 种情况，
∴两次摸出球的号码之和为5 的概率为：
=
．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结
果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．
58．太原是一座具有4700 多年历史、2500 年建城史的历史古都，系有“锦绣太原城”的美誉，在“我可爱的
家乡”主题班会中，主持人准备了“晋祠园林”
“
、崇山大佛”
“
、龙山石窟”
“
、凌霄双塔”这四处景点的照片各
一张，并将它们背面朝上放置（照片背面完全相同），甲同学从中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的
照片中随机抽取一张，若要根据抽取的照片作相关景点介绍，求甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”
的概率．（提示：可用照片序号列表或画树状图）
【答案】
.
学科网（北京）股份有限公司
【解析】
【分析】
根据题意画树状图，然后根据概率公式求解即可.
【详解】
解：画树状图为：
共有12 种等可能的结果数，其中甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的情况有6 种，
故甲、乙两人中恰好有一人介绍“晋祠园林”的概率为
=
．
【点睛】
本题考查用列表法或画树状图求概率.解此题的关键在于根据题意准确列出表格或画出树状图.
59．西安汇聚了很多人们耳熟能详的陕西美食．李华和王涛同时去选美食，李华准备在“肉夹馍（A）、羊
肉泡馍（B）、麻酱凉皮（C）、（biang）面（D
”
）这四种美食中选择一种，王涛准备在“秘制凉皮
（E）、肉丸胡辣汤（F）、葫芦鸡（G）、水晶凉皮（H
”
）这四种美食中选择一种．
（1）求李华选择的美食是羊肉泡馍的概率；
（2）请用画树状图或列表的方法，求李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率．
【答案】（1）
；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接根据概率的意义求解即可；
（2）列出表格，再找到李华和王涛同时选择的美食都是凉皮的情况数，利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：（1）李华选择的美食是羊肉泡馍的概率为
；
（2）列表得：
E
F
G
H
A
AE
AF
AG
AH
学科网（北京）股份有限公司
B
BE
BF
BG
BH
C
CE
CF
CG
CH
D
DE
DF
DG
DH
由列表可知共有16 种情况，其中李华和王涛选择的美食都是凉皮的结果数为2，
所以李华和王涛选择的美食都是凉皮的概率为
=
．
【点睛】
本题涉及树状图或列表法的相关知识，难度中等，考查了学生的分析能力．用到的知识点为：概率=所求
情况数与总情况数之比．
60．一只不透明的布袋中装有 2 个红球、1 个黄球、1 个蓝球，这些球除了颜色外都相 同．
（1）搅匀后从中任意摸出 1 个球，则摸到黄球的概率为
．
（2）搅匀后从中任意摸出 2 个球（先摸出 1 个球，且这个球不放回，再摸出 1 个球），求 至少有一
个红球的概率．
【答案】（1）1
4 （2）5
6
【解析】
【分析】
(1)直接利用概率公式求解;
(2) 先利用画树状图展示所有12 种等可能的结果数, 再找出至少有一个红球的结果数, 然后根据概率公式
求解.
【详解】
（1）1
4
（2）第一次 第二次
学科网（北京）股份有限公司
共12 种情况，符合的有10 种，所以P= 10
12 = 5
6.
【点睛】
本题主要考查概率公式及列表法与树状图法求概率.
学科网（北京）股份有限公司
