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24.3 正多边形和圆
【基础训练】
一、单选题
1．正十边形的中心角是（ ）
A．18°
B．36°
C．72°
D．144°
2．如图，正五边形
内接于
，点
为
上一点（点
与点
，点
不重合），连接
，
，
，垂足为
，则
等于（ ）
A．72°
B．54°
C．36°
D．64°
3．如图，四边形
内接于
，若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，E 在BC 延长线上，若∠DCE＝50°，则∠A 等于（ ）
A．40°
B．50°
C．70°
D．80°
5．如图，四边形
是
的内接四边形，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，四边形ABCD 是园内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD=110°，则∠DCE 的大小是（
）
A．70°
B．105°
C．110°
D．120°
7．如图，
是正六边形
的外接圆，
是弧
上一点，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在
中，四边形
测得
，连接
，若
的半径为4，则
的长为
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
9．如图，在由边长相同的7 个正六边形组成的网格中，点A，B 在格点上．再选择一个格点C，使△ABC
是以AB 为腰的等腰三角形，符合点C 条件的格点个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
10．圆的内接四边形
的四个内角之比
的可能的值是（ ）
A．
B．
C．x=3
D．
11．在圆内接四边形
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 平分∠ABC，若∠D＝110°，则∠ABE 的度数是
（ ）
A．30°
B．35°
C．50°
D．55°
13．如图，四边形
是圆内接四边形，
是
延长线上一点，若
，则
的大
小是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．将正方形纸片按图①方式依次对折得图②的
，点D 是
边上一点，沿线段
剪开，展开
后得到一个正八边形，则点D 应满足（ ）
A．
B．
C．
D．
15．如图，正方形
内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正
方形的中心成中心对称，设正方形
的面积为
，黑色部分面积为
，则
的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形
的中心
重合，且
与边
、
相交于
、
（如图）．图中阴影部分的面积记为
，三条线段
、
、
的长度
之和记为，在大正六边形绕点
旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．
变化，不变
B．
不变，变化
C．
变化，变化
D．
与均不变
17．如图，正五边形
内接于
，点P 为
（点P 与点D，点E 不重合），连接
，
DG⊥PC，垂足为G，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
18．如图①，直六棱柱的底面是正六边形，侧面ABCD 中，AB＝10cm，BC＝20cm，现用一块矩形纸板
EFGH 制作图①中的直六棱柱，按图②中的方案裁剪，则GF 的长是（ ）
A．（20+10
）cm B．（30+10
）cm C．（20+20
）cm D．40
cm
19．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的
四边形的周长为12，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（ ）
A．24
B．20
C．8
D．16
20．如图，
，
分别为
的内接正三角形和内接正四边形的一边，若
恰好是同圆的一个内接
正
边形的一边，则
的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．14
21．如图，螺母的外围可以看作是正六边形ABCDEF，己知这个正六边形的半径是2，则它的周长是（
）
A．6
B．12
C．12
D．24
22．如图，正方形ABCD 和正△AEF 都内接于⊙O，EF 与BC、CD 分别相交于点G、H，则
的值是（
）
A．
B．
C．
D．2
23．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A 的度数为（ ）
A．50°
B．65°
C．115°
D．130°
24．如图，四边形
是
的内接四边形，
，则
的度数为（ ）
A．70°
B．90°
C．100°
D．110°
25．如图，CD 是⊙O 的弦，O 是圆心，把⊙O 的劣弧沿着CD 对折，A 是对折后劣弧上的一点，则∠CAD
与∠B 的关系是( )
A．∠CAD=2∠B
B．∠CAD+∠B =120°
C．∠CAD+∠B =180°
D．无法确定
26．如图，AB 是⊙O 的直径，O 为圆心，C 是⊙O 上的点，D 是
上的点，若∠D＝120°，则∠BOC 的
大小为（ ）
A．60°
B．55°
C．58°
D．40°
27．如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD 的度数是（ ）
A．60°
B．36°
C．76°
D．72°
28．如图，已知点
，
是以
为直径的半圆上的两个点，且
，下列结论中不一定成立的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图，正五边形
内接于
，则
的度数是（ ）
A．36°
B．26°
C．30°
D．45°
30．如图AB 是⊙O 的直径，点C、D、E 在⊙O 上，∠AEC＝25°，∠BDC＝（ ）
A．100°
B．110°
C．120°
D．115°
二、填空题
31．如图，将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起，则∠ABC 的度数为_____°．
32．六个带
角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积
_________．
33．已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为________．
34．如图，四边形
为
的内接正四边形，
为
的内接正三角形，若
恰好是同圆的
一个内接正
边形的一边，则
的值为_________．
35．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率．若设⊙O 的半径为
R，圆内接正n 边形的边长、面积分别为an，Sn，圆内接正2n 边形边长、面积分别为a2n，S2n．刘徽用以下
公式求出a2n和S2n．
，
．如图，若⊙O 的半径为
1，则⊙O 的内接正八边形AEBFCGDH 的面积为________．
三、解答题
36．如图，已知圆O 内接正六边形
的边长为
，求这个正六边形的边心距n，面积S．
37．如图，
是
上的三个点，
，点
在
上运动（不与点
重合），连接
，
，
．
（1）如图1，当点
在
上时，求证：
；
（2）如图2，当点
在
上时，求证：
；
（3）如图2，已知
的半径为
，
，求
的长．
38．如图，
是
的内接正五边形．求证：
.
39．如图，四边形
是圆的内接四边形，延长
、
相交于点
，已知
．
（1）求证：
；
（2）若
是四边形
外接圆的直径，求证：
．
40．如图，四边形
内接于圆，
，
的延长线交于点
，
是
延长线上任意一点，
．
（1）求证：
平分
；
（2）求证：
．
41．如下图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是AB 的中点，以DC 为直径的⊙O 交△ABC 的边于G，F，
E 点．求证：（1）∠A＝∠GEF；（2）△BDF≌FEC．
42．如图，AB 为⊙O 的直径，点C、D 都在⊙O 上，且CD 平分∠ACB，交AB 于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O 的半径；
（3）DF⊥AC 于点F，试探究线段AF、DF、BC 之间的数量关系，并说明理由．
43．如图，△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径作⊙O，AC、BC 分别交⊙O 于E、D，求证：DC＝DE．
44．已知在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于点 D，BC 于点E，连接ED．求证：ED
＝EC．
45．如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于E，交⊙O 于D，AF 交⊙O 于G
求证：∠FGD＝∠ADC．
46．如图，AB 是⊙O 的直径，D，E 为⊙O 上位于AB 异侧的两点，连接BD 并延长至点C，使得CD＝
BD，连接AC 交⊙O 于点F，连接AE，DE，DF．
（1）证明：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF 的度数．
47．如图，已知在正五边形
中，
是
的中点．求证：
.
48．如图,
是
的边
的中点,过
延长线上的点
作
的垂线
,
为垂足,
与
的延
长线相交于点
,点
在
上,
,
∥
．
（1）证明：
；
（2）证明：点
是
的外接圆的圆心；
49．已知：过⊙O 外一点C 作⊙O 的切线BC，B 为切点，AB 是直径，AC 与⊙O 交于D．
（1）若∠AOD=120°，求∠C 的度数；
（2）若AD=8，sinC=
，求AB 的长．
50．如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O，延长AD，BC 相交于点M，延长AB，DC 相交于点N，
∠M=40°，∠N=20°，求∠A 的度数.
51．如图，点A（0，6），B（2，0）．C（4，8），D（2，4），将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到
线段CE．
（1）画出线段CE，并计算线段CD 所扫过的图形面积；
（2）将线段AB 平移得到线段CF，使点A 与点C 重合，写出点F 的坐标，并证明CF 平分∠DCE．
52．如图，半圆O 的直径
，将半圆O 绕点B 顺针旋转
得到半圆
，与AB 交于点P．
求AP 的长；
求图中阴影部分的面积结果保留
．
53．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O 的半径长．
54．如图.将圆心角相等的但半径不等的两个扇形
用与
叠合在一起，弧
、
、弧
、
合成了一个曲边梯形，若弧
、弧
的长为
，
，
.
（1）试说明；曲边梯形的面积
（2）某班兴趣小组进行了一次纸杯制作与探究活动.如图
所示，所要制作的纸杯规格要求：杯口直径为
，杯底直径为
，杯壁母线为
，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图不允许有拼接.请你求侧
面展开图中弧
所在的圆的半径长度；
（3）若用一张矩形纸片，按图
的方式剪裁（2）中纸杯的侧面，求这个矩形纸片的长与宽.
55．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D，若AB＝10，求BD 的长．
56．在平面直角坐标系xOy 中，点A（x，0），B（x，y），若线段AB 上存在一点Q 满足
，则称
点Q 是线段AB 的“倍分点”．
（1）若点A（1，0），AB＝3，点Q 是线段AB 的“倍分点”．
①求点Q 的坐标；
②若点A 关于直线y＝x 的对称点为A′，当点B 在第一象限时，求
；
（2）⊙T 的圆心T（0，t），半径为2，点Q 在直线y＝
x 上，⊙T 上存在点B，使点Q 是线段AB 的
“倍分点”，直接写出t 的取值范围．
57．如图，在圆内接四边形ABCD 中，O 为圆心，∠BOD=160°，求∠BCD 的度数．
58．如图，已知
．
（1）用尺规作正六边形，使得
是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．
59．如图，正五边形ABCDE 的两条对角线AC，BE 相交于点F．
（1）求证：AB=EF；
（2）若BF=2，求正五边形ABCDE 的边长．
60．如图：已知AB 是⊙O 的直径，P 为AB 的延长线上一点.且BP=
AB，C、D 是半圆AB 的两个三等分
点，连接PD．
（1）PD 与⊙O 有怎样的位置关系？并证明你的结论；
（2）连接PC，若AB=10cm，求由PC，弧CD、PD 所围成的图形的面积（结果保留π）．
