文档文本内容
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
18.2.3 正方形
第2 课时 正方形的判定
一．选择题（共8 小题）
1．已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC BD
⊥
四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中
错误的是（ ）
A．选①②
B．选②③ C．选①③ D．选②④
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角一定是对顶角
B．四个角都相等的四边形一定是正方形
C．平行四边形的对角线互相平分
D．矩形的对角线一定垂直
3．下列命题中是假命题的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
4．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的有（ ）
①当AB=BC 时，它是菱形；②当AC BD
⊥
时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当
AC=BD 时，它是正方形．
A．1 组 B．2 组 C．3 组
D．4 组
5．四边形ABCD 的对角线AC=BD，AC BD
⊥
，分别过A、B、C、D 作对角线的平行线，所成的
四边形EFMN 是（ ）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．任意四边形
6．如果要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的
基础上，进一步证明（ ）
A．AB=AD 且AC BD
⊥
B．AB=AD 且AC=BD C．∠A= B
∠
且AC=BD D．AC 和BD 互
相垂直平分
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D，交AB 于点E，且
BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）
www.youyi100.com
第 1 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
A．BC=AC
B．CF BF
⊥
C．BD=DF
D．AC=BF
二．填空题（共6 小题）
9．能使平行四边形ABCD 为正方形的条件是
_________
（填上一个符合题目要求的条件
即可）．
10．如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，DE 垂直平分AC，DF BC
⊥
，当△ABC 满足条件
_________
时，四边形DECF 是正方形．
（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
11．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O，请你添加一个条件：
_________
，使得该菱形
为正方形．
12．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA，对角线AC 与BD 相交于点O，若不增加任
何字母与辅助线，要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是
_________
．
13．已知四边形ABCD 中，∠A= B= C=90°
∠
∠
，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，
那么这个条件可以是
_________
．
14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为
_________
．
www.youyi100.com
第 2 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
三．解答题（共8 小题）
15．已知：如图，△ABC 中，∠ABC=90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE AB
⊥
于点E，DF BC
⊥
于
点F．求证：四边形DEBF 是正方形．
16．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC，对角线BD 平分∠ABC，P 是BD 上一点，过点P 作
PM AD
⊥
，PN CD
⊥
，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB= CDB
∠
；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND 是正方形．
17．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，过点C 的直线MN AB
∥
，D 为AB 边上一点，过点D 作
DE BC
⊥
，交直线MN 于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你
的理由．
www.youyi100.com
第 3 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
18．如图，在△ABC 中，点D、E 分别是边AB、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得到
△CFE．
（1）求证：四边形ADCF 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是正方形？请说明理由．
19．如图，分别以线段AB 的两个端点为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，
连接MN，交AB 于点D、C 是直线MN 上任意一点，连接CA、CB，过点D 作DE AC
⊥
于点E，
DF BC
⊥
于点F．
（1）求证：△AED
BFD
△
≌
；
（2）若AB=2，当CD 的值为
_________
时，四边形DECF 是正方形．
20．如图，AB 是CD 的垂直平分线，交CD 于点M，过点M 作ME A C
⊥
，MF AD
⊥
，垂足分别
为E、F．
（1）求证：∠CAB= DAB
∠
；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF 是正方形．
www.youyi100.com
第 4 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
21．如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC
∥
，设MN 交∠ACB 的平
分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；
（2）当点O 运动到何处时，且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？
（3）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE
_________
是菱形吗？（填“可能”或“不
可能”）
22．已知：如图，△ABC 中，点O 是AC 上的一动点，过点O 作直线MN AC
∥
，设MN 交
∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）求证：∠ECF=90°；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，△ABC 应该满足条件：
_________
，就能使矩形AECF 变为正方形．
（直接添加条件，无需证明）
www.youyi100.com
第 5 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
参考答案与试题解析
一．选择题（共8 小题）
1．已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC BD
⊥
四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中
错误的是（ ）
A．
选①②
B．选②③
C．选①③
D．选②④
考点：
正方形的判定；平行四边形的性质．
分析：
要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
解答：
解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角
的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所
以不能得出平行四边形ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所
以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱
形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
点评：
本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1 或2 进行判定．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．
相等的角一定是对顶角
B．
四个角都相等的四边形一定是正方形
C．
平行四边形的对角线互相平分
D．
矩形的对角线一定垂直
考点：
正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．
分析：
根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选
项分析判断利用排除法求解．
解答：
解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不
是对顶角，故本选项错误；
B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；
D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．
故选：C．
点评：
本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，
熟记各性质与判定方法是解题的关键．
www.youyi100.com
第 6 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
3．下列命题中是假命题的是（ ）
A．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．
一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．
一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．
一组邻边相等的矩形是正方形
考点：
正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
专题：
证明题．
分析：
做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．
解答：
解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
（平行四边形判定定理）
正确．
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，
错误．
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确．
故选B．
点评：
本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
4．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的有（ ）
①当AB=BC 时，它是菱形；②当AC BD
⊥
时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当
AC=BD 时，它是正方形．
A．
1 组
B．2 组
C．3 组
D．4 组
考点：
正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
分析：
根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻
边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据
对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．
解答：
解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD 是平行四边形，
当AB=BC 时，它是菱形正确；
②∵四边形ABCD 是平行四边形，
BO=OD
∴
，
AC
BD
⊥
∵
，
AB
∴
2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，
AB=AD
∴
，
∴四边形ABCD 是菱形，故②正确；
③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD 时，它是矩形，不是正方形，故④错误；
故不正确的有1 个．
故选：A．
www.youyi100.com
第 7 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
点评：
此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握
三种特殊平行四边形的判定定理．
5．四边形ABCD 的对角线AC=BD，AC BD
⊥
，分别过A、B、C、D 作对角线的平行线，所成的
四边形EFMN 是（ ）
A．
正方形
B．菱形
C．矩形
D．任意四边形
考点：
正方形的判定．
分析：
根据平行线的性质和判定得出∠NAO= AOD= N=90°
∠
∠
，EN=NM=FM=EF，
进而判断即可．
解答：
证明：如图所示：
∵分别过A、B、C、D 作对角线的平行线，
AC MN EF
∴
∥
∥
，EN BD MF
∥
∥
，
∵对角线AC=BD，AC BD
⊥
，
NAO= AOD= N=90°
∴∠
∠
∠
，EN=NM=FM=EF，
∴四边形EFMN 是正方形．
故选：A．
点评：
此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正
方形的判定定理是解题关键．
6．如果要证明平行四边形ABCD 为正方形，那么我们需要在四边形ABCD 是平行四边形的
基础上，进一步证明（ ）
A．
AB=AD 且AC BD
⊥
B．
AB=AD 且AC=BD C．
A= B
∠
∠
且AC=BD
D．AC
和BD 互相垂直平分
考点：
正方形的判定．
分析：
根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
www.youyi100.com
第 8 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
解答：
解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平
行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD 是正方形；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断
四边形ABCD 是正方形；
C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边
形ABCD 是矩形，不能判断四边形ABCD 是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能
判断四边形ABCD 是正方形．
故选B．
点评：
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的
概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
7．下列命题中，真命题是（ ）
A．
对角线相等的四边形是矩形
B．
对角线互相垂直的四边形是菱形
C．
对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．
对角线互相垂直平分的四边形是正方形
考点：
正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．
分析：
A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
解答：
解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选C．
点评：
本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须
理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
8．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D，交AB 于点E，且
BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ）
www.youyi100.com
第 9 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
A．
BC=AC
B．CF BF
⊥
C．BD=DF
D．AC=BF
考点：
正方形的判定；线段垂直平分线的性质．
分析：
根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，
BF=FC 进而得出四边形BECF 是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分
别分析得出即可．
解答：
解：∵EF 垂直平分BC，
BE=EC
∴
，BF=CF，
BF=BE
∵
，
BE=EC=CF=BF
∴
，
∴四边形BECF 是菱形；
当BC=AC 时，
ACB=90°
∵∠
，
则∠A=45°时，菱形BECF 是正方形．
A=45°
∵∠
，∠ACB=90°，
EBC=45°
∴∠
EBF=2 EBC=2×45°=90°
∴∠
∠
∴菱形BECF 是正方形．
故选项A 正确，但不符合题意；
当CF BF
⊥
时，利用正方形的判定得出，菱形BECF 是正方形，故选项B 正确，但不符合题意；
当BD=DF 时，利用正方形的判定得出，菱形BECF 是正方形，故选项C 正确，但不符合题意；
当AC=BF 时，无法得出菱形BECF 是正方形，故选项D 错误，符合题意．
故选：D．
点评：
本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形
的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．
二．填空题（共6 小题）
9．能使平行四边形ABCD 为正方形的条件是
AC=BD
且
AC BD
⊥
（填上一个符合题目要
求的条件即可）．
考点：
正方形的判定；平行四边形的性质．
专题：
开放型．
分析：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩
形和菱形的结合体是正方形．
www.youyi100.com
第 10 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
解答：
解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对
角线垂直，有一个内角是90°．答案不唯一，此处填：AC=BD 且AC BD
⊥
．
点评：
本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合．
10．如图，在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，DE 垂直平分AC，DF BC
⊥
，当△ABC 满足条件
AC=BC
时，四边形DECF 是正方形．
（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
考点：
正方形的判定．
专题：
计算题；开放型．
分析：
由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条
件．此题可从四边形DECF 是正方形推出．
解答：
解：设AC=BC，即△ABC 为等腰直角三角形，
C=90°
∵∠
，DE 垂直平分AC，DF BC
⊥
，
C= CED= EDF= DFC=90°
∴∠
∠
∠
∠
，
DF= AC=CE，
DE= BC=CF，
DF=CE=DE=CF
∴
，
∴四边形DECF 是正方形，
故答案为：AC=BC．
点评：
此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF 是正方
形推出△ABC 满足的条件．
11．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O，请你添加一个条件：
AC=BD
或
AB BC
⊥
，使
得该菱形为正方形．
考点：
正方形的判定；菱形的性质．
专题：
压轴题．
分析：
根据正方形判定定理进行分析．
解答：
解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB BC
⊥
；
www.youyi100.com
第 11 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
故添加的条件为：AC=BD 或AB BC
⊥
．
点评：
本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．
12．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA，对角线AC 与BD 相交于点O，若不增加任
何字母与辅助线，要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是
AC=BD
或
AB BC
⊥
．
考点：
正方形的判定；菱形的判定．
专题：
开放型．
分析：
根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
解答：
解：∵在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD 是菱形
∴要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD 或AB BC
⊥
．
点评：
解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是
正方形．
13．已知四边形ABCD 中，∠A= B= C=90°
∠
∠
，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，
那么这个条件可以是
AB=AD
或
AC BD
⊥
等
．
考点：
正方形的判定；矩形的判定与性质．
专题：
开放型．
分析：
由已知可得四边形ABCD 是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相
垂直的矩形是正方形添加条件．
解答：
解：由∠A= B= C=90°
∠
∠
可知四边形ABCD 是矩形，根据根据有一组邻边相
等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD 或AC BD
⊥
等．
故答案为：AB=AD 或AC BD
⊥
等．
点评：
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的
概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为 有一个角是直角或对角线相等 ．
考点：
正方形的判定；菱形的性质．
专题：
开放型．
分析：
根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案．
www.youyi100.com
第 12 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
解答：
解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角
线相等．
点评：
解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形．
三．解答题（共8 小题）
15．已知：如图，△ABC 中，∠ABC=90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE AB
⊥
于点E，DF BC
⊥
于
点F．求证：四边形DEBF 是正方形．
考点：
正方形的判定．
专题：
证明题．
分析：
由DE AB
⊥
，DF BC
⊥
，∠ABC=90°，先证明四边形DEBF 是矩形，再由BD 是
∠ABC 的平分线，DE AB
⊥
于点E，DF BC
⊥
于点F 得出DE=DF 判定四边形DEBF 是正方形．
解答：
解：∵DE AB
⊥
，DF BC
⊥
，
DEB= DFB=90°
∴∠
∠
，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形BEDF 为矩形，
BD
∵
是∠ABC 的平分线，且DE AB
⊥
，DF BC
⊥
，
DE=DF
∴
，
∴矩形BEDF 为正方形．
点评：
本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四
边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
16．如图，在四边形ABCD 中，AB=BC，对角线BD 平分∠ABC，P 是BD 上一点，过点P 作
PM AD
⊥
，PN CD
⊥
，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB= CDB
∠
；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND 是正方形．
www.youyi100.com
第 13 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
考点：
正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD
CBD
≌△
，由全
等三角形的性质即可得到：∠ADB= CDB
∠
；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND 是矩形，再根据两边相等的四边形是
正方形即可证明四边形MPND 是正方形．
解答：
证明：（1）∵对角线BD 平分∠ABC，
ABD= CBD
∴∠
∠
，
在△ABD 和△CBD 中，
，
ABD
CBD
∴△
△
≌
（SAS），
ADB= CDB
∴∠
∠
；
（2）∵PM AD
⊥
，PN CD
⊥
，
PMD= PND=90°
∴∠
∠
，
ADC=90°
∵∠
，
∴四边形MPND 是矩形，
ADB= CDB
∵∠
∠
，
ADB=45°
∴∠
PM=MD
∴
，
∴四边形MPND 是正方形．
点评：
本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质
以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
www.youyi100.com
第 14 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
17．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，过点C 的直线MN AB
∥
，D 为AB 边上一点，过点D 作
DE BC
⊥
，交直线MN 于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D 为AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECD 是正方形？请说明你
的理由．
考点：
正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
专题：
几何综合题．
分析：
（1）先求出四边形ADEC 是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD 是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
解答：
（1）证明：∵DE BC
⊥
，
DFB=90°
∴∠
，
ACB=90°
∵∠
，
ACB= DFB
∴∠
∠
，
AC DE
∴
∥
，
MN AB
∵
∥
，即CE AD
∥
，
∴四边形ADEC 是平行四边形，
CE=AD
∴
；
（2）解：四边形BECD 是菱形，
理由是：∵D 为AB 中点，
AD=BD
∴
，
CE=AD
∵
，
BD=CE
∴
，
BD CE
∵
∥
，
∴四边形BECD 是平行四边形，
ACB=90°
∵∠
，D 为AB 中点，
CD=BD
∴
，
∴四边形BECD 是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD 是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
ABC= A=45°
∴∠
∠
，
AC=BC
∴
，
D
∵
为BA 中点，
CD AB
∴
⊥
，
www.youyi100.com
第 15 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
CDB=90°
∴∠
，
∵四边形BECD 是菱形，
∴四边形BECD 是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD 是正方形．
点评：
本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三
角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
18．如图，在△ABC 中，点D、E 分别是边AB、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得到
△CFE．
（1）求证：四边形ADCF 是平行四边形．
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是正方形？请说明理由．
考点：
正方形的判定；平行四边形的判定．
分析：
（1）利用旋转的性质得出点A、E、C 三点共线，点D、E、F 三点共线，且
AE=CD，DE=FE，即可得出答案；
（2）首先得出CD AB
⊥
，即∠ADC=90°，由（1）知，四边形ADCF 是平行四边形，故四边形
ADCF 是矩形．进而求出CD=AD 即可得出答案．
解答：
（1）证明：∵△CFE 是由△ADE 绕点E 旋转180°得到，
∴点A、E、C 三点共线，点D、E、F 三点共线，
且AE=CE，DE=FE，
故四边形ADCF 是平行四边形．
（2）解：当∠ACB=90°，AC=BC 时，四边形ADCF 是正方形．
理由如下：
在△ABC 中，∵AC=BC，AD=BD，
CD AB
∴
⊥
，即∠ADC=90°．
而由（1）知，四边形ADCF 是平行四边形，
∴四边形ADCF 是矩形．
又∵∠ACB=90°，
∴
，
故四边形ADCF 是正方形．
点评：
此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形
ADCF 是矩形是解题关键．
www.youyi100.com
第 16 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
19．如图，分别以线段AB 的两个端点为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧交于M、N 两点，
连接MN，交AB 于点D、C 是直线MN 上任意一点，连接CA、CB，过点D 作DE AC
⊥
于点E，
DF BC
⊥
于点F．
（1）求证：△AED
BFD
≌△
；
（2）若AB=2，当CD 的值为
1
时，四边形DECF 是正方形．
考点：
正方形的判定；全等三角形的判定．
分析：
（1）先由作图知MN 是线段AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出
CA=CB，AD=BD，由等边对等角得到∠A= B
∠，然后利用AAS 即可证明△AED
BFD
≌△
；
（2）若AB=2，当CD 的值为1 时，四边形DECF 是正方形．先由CD=AD=BD=1，MN AB
⊥
，得
出△ACD 与△BCD 都是等腰直角三角形，则∠ACD= BCD=45°
∠
，∠ECF=90°，根据有三个角
是直角的四边形是矩形证明四边形DECF 是矩形，再由等角对等边得出ED=CE，从而得出矩
形DECF 是正方形．
解答：
（1）证明：由作图知，MN 是线段AB 的垂直平分线，
C
∵
是直线MN 上任意一点，MN 交AB 于点D，
CA=CB
∴
，AD=BD，
A= B
∴∠
∠．
在△AED 与△BFD 中，
，
AED
BFD
∴△
△
≌
（AAS）；
（2）解：若AB=2，当CD 的值为1 时，四边形DECF 是正方形．理由如下：
AB=2
∵
，
AD=BD=
∴
AB=1．
CD=AD=BD=1
∵
，MN AB
⊥
，
ACD
∴△
与△BCD 都是等腰直角三角形，
ACD= BCD=45°
∴∠
∠
，
ECF= ACD+ BCD=90°
∴∠
∠
∠
，
DEC= DFC=90°
∵∠
∠
，
∴四边形DECF 是矩形，∠CDE=90°
45°=45°
﹣
，
ECD= CDE=45°
∴∠
∠
，
ED=CE
∴
，
www.youyi100.com
第 17 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
∴矩形DECF 是正方形．
故答案为1．
点评：
本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，正方形的判定，等
腰直角三角形的判定与性质，难度适中．
20．如图，AB 是CD 的垂直平分线，交CD 于点M，过点M 作ME A C
⊥
，MF AD
⊥
，垂足分别
为E、F．
（1）求证：∠CAB= DAB
∠
；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF 是正方形．
考点：
正方形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据AB 是CD 的垂直平分线，得到AC=AD，然后利用三线合一的性质
得到∠CAB= DAB
∠
即可；
（2）首先判定四边形AEMF 是矩形，然后证得ME=MF，利用邻边相等的矩形AEMF 是正方
形进行判定即可．
解答：
（1）证明：∵AB 是CD 的垂直平分线，
AC=AD
∴
，
又∵AB CD
⊥
CAB= DAB
∴∠
∠
（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵ME A C
⊥
，MF AD
⊥
，∠CAD=90°，
即∠CAD= AEM= AFM=90°
∠
∠
，
∴四边形AEMF 是矩形，
又∵∠CAB= DAB
∠
，ME A C
⊥
，MF AD
⊥
，
ME=MF
∴
，
∴矩形AEMF 是正方形．
www.youyi100.com
第 18 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
点评：
本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性
质的知识，综合性较强，难度不大．
21．如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC
∥
，设MN 交∠ACB 的平
分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；
（2）当点O 运动到何处时，且△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？
（3）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 不可能 是菱形吗？（填“可能”或“不可
能”）
考点：
正方形的判定；菱形的判定．
分析：
（1）由直线MN BC
∥
，MN 交∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线
于点F，易证得△OEC 与△OFC 是等腰三角形，则可证得OE=OF=OC；
（2）正方形的判定问题，AECF 若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O 为AC 的中点，同
样在△ABC 中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形；
（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．
解答：
解：（1）OE=OF．理由如下：
CE
∵
是∠ACB 的角平分线，
ACE= BCE
∴∠
∠
，
又∵MN BC
∥
，
NEC= ECB
∴∠
∠
，
NEC= ACE
∴∠
∠
，
OE=OC
∴
，
OF
∵
是∠BCA 的外角平分线，
OCF= FCD
∴∠
∠
，
又∵MN BC
∥
，
OFC= ECD
∴∠
∠
，
OFC= COF
∴∠
∠
，
OF=OC
∴
，
OE=OF
∴
；
（2）当点O 运动到AC 的中点，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形AECF
是正方形．理由如下：
∵当点O 运动到AC 的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF 是平行四边形，
FO=CO
∵
，
www.youyi100.com
第 19 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
AO=CO=EO=FO
∴
，
AO+CO=EO+FO
∴
，即AC=EF，
∴四边形AECF 是矩形．
已知MN BC
∥
，当∠ACB=90°，则
AOF= COE= COF= AOE=90°
∠
∠
∠
∠
，
AC EF
∴
⊥
，
∴四边形AECF 是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如图，∵CE 平分∠ACB，CF 平分∠ACD，
ECF=
∴∠
ACB+
∠
ACD=
∠
（∠ACB+ ACD
∠
）=90°，
若四边形BCFE 是菱形，则BF EC
⊥
，
但在△GFC 中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
故答案为不可能．
点评：
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，正方形、菱
形的判定，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．已知：如图，△ABC 中，点O 是AC 上的一动点，过点O 作直线MN AC
∥
，设MN 交
∠BCA 的平分线于点E，交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）求证：∠ECF=90°；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，△ABC 应该满足条件： ∠
ACB
为直角的直角三角形
，就能使矩形
AECF 变为正方形．（直接添加条件，无需证明）
考点：
正方形的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定．
www.youyi100.com
第 20 页 共 21 页
优秀领先 飞翔梦想 成人成才
分析：
（1）由已知MN BC
∥
，CE、CF 分别平分∠BCO 和∠GCO，可推出
∠OEC= OCE
∠
，∠OFC= OCF
∠
，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，点O 运动到AC 的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时
四边形AECF 是矩形．
（3）由已知和（2）得到的结论，点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直
角三角形时，则推出四边形AECF 是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF 是正方形．
解答：
（1）证明：∵CE 平分∠BCO，CF 平分∠DCO，
OCE= BCE
∴∠
∠
，∠OCF= DCF
∠
，
ECF=
∴∠
×180°=90°；
（2）解：当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：
MN BC
∵
∥
，
OEC= BCE
∴∠
∠
，∠OFC= DCF
∠
，
又∵CE 平分∠BCO，CF 平分∠DCO，
OCE= BCE
∴∠
∠
，∠OCF= DCF
∠
，
OCE= OEC
∴∠
∠
，∠OCF= OFC
∠
，
EO=CO
∴
，FO=CO，
OE=OF
∴
；
又∵当点O 运动到AC 的中点时，AO=CO，
∴四边形AECF 是平行四边形，
ECF=90°
∵∠
，
∴四边形AECF 是矩形；
（3）解：当点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角的直角三角形时，四边形
AECF 是正方形．
∵由（2）知，当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形，
已知MN BC
∥
，当∠ACB=90°，则
AOF= COE= COF= AOE=90°
∠
∠
∠
∠
，
AC EF
∴
⊥
，
∴四边形AECF 是正方形．
故答案为：∠ACB 为直角的直角三角形．
点评：
此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰
三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO=FO，确定（2）（3）的条件．
www.youyi100.com
第 21 页 共 21 页
