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24.1 圆的有关性质
【提升训练】
一、单选题
1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的
工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心
为圆心的圆，如图2，已知圆心
在水面上方，且
被水面截得的弦
长为6 米，
半径长为4 米．若点
为运行轨道的最低点，则点
到弦
所
在直线的距离是（ ）
A．1 米
B．
米
C．2 米
D．
米
2．如图，
为圆O 的直径，且AB=8，C 为圆上任意一点，连接
、
，以
为边作等边三角形
，以
为边作正方形
，连接
．若
为a，
为b，
为c，则下列关系式成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在《几何原本》中，记载了一种将长方形化为等面积正方形的方法：如图，延长长方形
的边
到E，使
，以
为直径作
，延长
交
于点H，则
，则以
为边的正方形
的面积等于长方形
的面积．若
，点E 是
中点，则
的长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．如图，
与
是
的两条互相垂直的弦，交点为点
，
，点
在圆上，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列命题是真命题的是（ ）
A．同弧所对的圆心角相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．二次函数
的图象与坐标轴有两个交点
D．若
，则
6．如图，在
中，
，
，
，以点
为圆心，
为半径的圆与
相交于点
，则
的长为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
7．如图，
是⊙
的直径，点C 为圆上一点，
的平分线交
于点D，
，则⊙
的直径为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
8．如图，
、
是
上的两点，
，
交
于点
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，点
，
，
，
都在⊙O 上，且
，AB=AD，S 四边形ABCD =（ ）
A．
B．
C．
D．6
10．如图，
，
是
上直径
两侧的两点．设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，等腰
中，顶角
，用尺规按①到④的步骤操作：
①以
为圆心，
为半径画圆；
②在
上任取一点
（不与点
，
重合），连接
；
③作
的垂直平分线与
交于
，
；
④作
的垂直平分线与
交于
，
．
结论Ⅰ：顺次连接
，
，
，
四点必能得到矩形；
结论Ⅱ：
上只有唯一的点
，使得
．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都对
B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对
D．Ⅰ对Ⅱ不对
12．如图，
是
的外接圆，
交
于点E，垂足为点D，
，
的延长线交于
点F．若
，
，则
的长是（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
13．如图，
为
的直径，以
为斜边作等腰
，连接
交
于点
．若
．
则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．如图，
是
的直径，
是
的弦，先将
沿
翻折交
于点
．再将
沿
翻
折交
于点
．若
，设
，则
所在的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．如图，在
中，
是直径，
是
上的两个点，
．若
，则
的度数为（ ）．
A．40°
B．50°
C．60°
D．65°
16．如图，
是⊙
的直径，
是⊙
上两点，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．如图，在
中，点
是边
和
的垂直平分线
、
的交点，若
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．如图，在矩形
中，对角线
，
相交于点
，
，
，点
在线段
上从点
至点
运动，连接
，以
为边作等边三角形
，点
和点
分别位于
两侧，下列
结论：①
；②
；③
；④点
运动的路程是
，其中正确结
论的序号为（ ）
A．①④
B．①②③
C．②③④
D．①②③④
19．如图，AB 为
的直径，点C 为AB 上一点，点D 在
上，AD=AC，，连接DC 并延长交
于
点E，连接OE，若∠BAD=30°，则∠COE 的度数为（ ）
A．30°
B．35°
C．40°
D．45°
20．已知
是半径为1 的
的一条弦，且
，以
为一边在
内作等边三角形
，
D 为
上不同于点A 的一点，且
，
的延长线交
于点E，则
的长为（ ）
A．
B．1
C．
D．a
21．如图，点A、B、C、D 均在
上，
是
的直径，连接
，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．如图，
的直径
为26，弦
的长为24，且
，垂足为
，则
的长为（
）
A．25
B．8
C．5
D．13
23．如图，四边形
内接于
，
，
为
中点，
，则
等于（ ）
A．42°
B．46°
C．50°
D．54°
24．如图，
是⊙
的直径，
，
是⊙
的弦，点E 是
的中点，
与
交于点C，连接
，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．如图，已知
，
为
上一点，以
为半径的圆经过点
，且与
、
交于点
、
，
设
，
，则（ ）
A．若
，则弧
的度数为
B．若
，则弧
的度数为
C．若
，则弧
的度数为
D．若
，则弧
的度数为
26．
内接于圆，延长
到D，点E 在
上，连接
，
，如图所示．图中等于
与
之差的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
27．如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A、C、D，与BC 相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，
则∠EAC 的度数为（ ）
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
28．如图，
为
的直径，
是
的弦，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图，点
，
，
在
上，
，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，下列结论错误的是（ ）
A．AC＝OD
B．BC＝BD
C．∠AOD=∠CBD
D．∠ABC=∠ODB
二、填空题
31．如图，
的直径
为6
，
，
都是
的半径，
，点P 在直
径
上移动，则
的最小值为______．
32．如图，在
中，
，则
的度数是______°．
33．如图，已知
是
的直径，且
，弦
，点
是弧
上的点，连接
、
，若
，则
的长为______．
34．如图，
是
的弦，C 是
的中点，
交
于点D．若
，则
的
半径为________
．
35．图1 是传统的手工磨豆腐设备，根据它的原理设计了图2 的机械设备，磨盘半径
，把手
，点O，M，Q 成一直线，用长为
的连杆将点Q 与动力装置P 相连（
大小可
变），点P 在轨道
上滑动并带动磨盘绕点O 转动，
．
（1）点P 与点O 之间距离的取值范围是_______．
（2）若磨盘转动500 周，则点P 在轨道
上滑动的路径长为__________m．
三、解答题
36．如图，四边形
内接于
，延长
、
相交于点
，且
．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，点
为弧
上一点，连接
、
、
，若
，求证：
；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点
作
，垂足为
，若
，
，
，求
的长．
37．如图，已知AB 是O 的直径，CD⊥AB，垂足为点E，如果BE=OE，AB=10cm，求△ACD 的周长．
38．如图，已知在⊙O 中，
，OC 与AD 相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE 为菱形．
39．已知：在圆O 内，弦
与弦
交于点
分别是
和
的中点，联结
．
（1）求证：
；
（2）联结
，当
时，求证：四边形
为矩形．
40．如图，四边形
是边长为4 的正方形，点G 是
边上的任意一点，
于点E，点
与
点B 关于直线
对称，
交
于点F．连接
．
（1）求证：
；
（2）若四边形
是平行四边形，求四边形
与正方形
的面积之比；
（3）直接写出
的最小值．
41．如图①，在⊙O 中，弦CD 垂直直径AB 于点E．已知AC＝4，BD=
.
（1）求直径AB 的长．
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径AB’改为‘弦AB’，其余条件均不变（如图②），⊙O 的直径仍不变”，
你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．
42．如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，D 为弧BC 的中点，过D 作DF⊥AB 于点E，交圆O 于点
F，交弦BC 于点G，连接CD、BF
（1）求证：△BFG≌△DCG；
（2）若AC＝10，BE＝8，求BF 的长
43．如图，圆O 中两条互相垂直的弦AB，CD 交于点E．
（1）M 是CD 的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O 的半径长；
（2）点F 在CD 上，且CE＝EF，求证：
．
44．如图，
是
的直径，点
，
在
上，且
，连接
，交
于点
，连接
，
，
．
（1）若
，求
的度数；
（2）用尺规作图作出
的角平分线交
于点
（保留作图痕迹），并求证：
．
45．如图，
为
的直径，
是
上的一点，连接
，
．
是
的中点，过
作
于点
，交
于点
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的长．
46．如图，AB 是
的直径，弦
于点E，连结BD，CO 的延长线交
于点F，AF，CD 的延
长线交于点G．
（1）求证：
．
（2）若
，求
的半径．
47．已知：如图，
是
的直径，
，过点D 作
，交
延长线于点E．
（1）求证：四边形
是菱形．
（2）连结
，若
半径为5，
，求
的长．
48．如图，Rt△ABO 中，∠ABO＝90°，AB＝4，BO＝2．以AB 为边作正方形ABCD．点M 是边BC 上一动
点，连接AM，过O 作AM 的垂线，垂足为N，连接CN．则线段CN 的最小值是__．
49．如图，AB，AC 是
的弦，过点C 作
于点D，交
于点E，过点B 作
于点
F，交CE 于点G，连结BE．
（1）求证：
（2）过点B 作
交
于点H，若BE 的长等于半径，
，求CE 的长．
50．如图，四边形
内接于
，
是
上一点，且
，连接
并延长
交
的延
长于点
，连接
．
（1）若
，
，求
的度数；
（2）若
的半径为4，且
，求
的长．
51．已知
是
的直径，
是
的弦，连接
．
（1）如图1，连接
，
．若
，求
及
的大小；
（2）如图2，过点C 作
的垂线，交
的延长线于点E，连接
．若
，
，求
的大小．
52．如图，⊙
是
的外接圆，且
，四边形
是平行四边形，边
与⊙
交于点
，连接
．
0
（1）求证：
；
（2）若
，求证：点
是
的中点．
53．如图，在
中，
，
，
，点
为
边上的一个动点，以
为
直径的
交
于点
，过点
作
，交
于点
，连接
、
．
（1）当
时，求
的长；
（2）求证：
；
（3）是否存在点
，使得
是以
为底的等腰三角形，若存在，求出此时
的长；若不存在，
试说明理由．
54．如图，在
中，
分别平分
和
．延长
交
的外接圆于点C，连
接
．
（1）若
，求
的度数．
（2）求证：
．
55．已知：⊙O 的两条弦AB，CD 相交于点M，且AB＝CD．
（1）如图1，连接AD．求证：AM＝DM．
（2）如图2，若AB⊥CD，在弧BD 上取一点E，使弧BE＝弧BC，AE 交CD 于点F，连接AD、DE．
①判断∠E 与∠DFE 是否相等，并说明理由．
②若DE＝7，AM＋MF＝17，求△ADF 的面积．
56．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，以点A 为圆心，AC 长为半径作圆，交BC 于点D，交AB 于点
E，连接DE．
（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA 的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD 的长．
57．小亮在学习中遇到这样一个问题：
如图，点
是弧
上一动点，线段
点
是线段
的中点，过点
作
，交
的
延长线于点
．当
为等腰三角形时，求线段
的长度．
小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请
将下面的探究过程补充完整：
（1）根据点
在弧
上的不同位置，画出相应的图形，测量线段
的长度，得到下表的几
组对应值．
BD/cm
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
CD/cm
8.0
7.7
7.2
6.6
5.9
a
3.9
2.1
0
FD/cm
8.0
7.4
6.9
6.5
6.1
6.0
6.2
6.7
8.0
操作中发现：
①当点
为弧
的中点时，
．则上中
的值是 ；
②线段
的长度无需测量即可得到．请简要说明理由；
（2）将线段
的长度作为自变量
和
的长度都是
的函数，分别记为
和
，并在平面直
角坐标系
中画出了函数
的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数
的图象；
（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当
为等腰三角形时，线段
长度的近似值．(结果保留一位小数)．
58．已知：
内接于
，
，
于点
，连接
．
（1）如图，求证：
；
（2）如图，延长
交
于点
，连接
，若
，求证：
；
（3）如图，在（2）的条件下，若
，
，求线段
的长．
59．问题提出
（1）如图①，在
中，
，
于点
，若
，求
的最大值；
问题探究
（2）如图②，在四边形
中，
．连接
，求
面
积的最大值．
问题解决
（3）如图③，某市效区点
外有一棵古树，点
外是某市古树名木保护研究中心，且
，为加
强对该古树的检测和保护，拟在距古树
处设置三个观测点
，以形成保护区域四边形
．
则是否存在一个满足以上要求的面积最大的四边形
？若存在，求出满足条件的四边形
的最
大面积；若不存在，请说明理由．（研究中心及各观测点的占地面积忽略不计）
60．（1）如图1，在△ABC 的外部，分别以AC，BC 为边，作等边三角形△ACE 和等边三角形△BCD，连
接AD，BE，相交于点F．
①求证：△ACD≌△ECB；
②求∠AFB 的度数；
（2）如图2，在
中，
，在
的外部以BC 为边，作等边三角形△BCD，连接
AD，当AB＝8，请直接写出AD 长的最大值为 ；
（3）如图3，在△ABC 中，当AB＝8，AC＝3BC 时，请直接写出
面积的最大值为 ．
