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22.2 二次函数与一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．如图，抛物线
顶点坐标为
，对于下列结论：①
；②
；③
；④若方程
没有实数根，则
．其中正确的结论有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】
根据顶点坐标公式可得b=4a，c=3a，进而可判断①②③，根据一元二次方程根的判别式，可判断④．
【详解】
解：∵抛物线
顶点坐标为
，
∴
，即：b=4a，c=3a，故③正确；
∴abc=
，
∵抛物线开口向下，即：a＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∵
，
∴②错误；
∵方程
没有实数根，
∴
，这与
矛盾，故④错误．
故选B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数顶点坐标公式以及二次方程根的判别式与根的情况的
关系，是解题的关键．
2．关于二次函数
，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为
B．对称轴为
C．抛物线与
轴有两个交点
D．
与
时函数值一样大
【答案】D
【分析】
先把一般式配成顶点式得到
，然后利用二次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】
解：∵
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4），故A、B 正确，
当
时，y 有最小值-4，当x＜1 时，y 随x 的增大而减少，当x＞1 时，y 随x 的增大而增大．
∴抛物线与x 轴有两个交点，故C 正确．
当
时
，
时，
，函数值不一样大，故D 错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的交点问题，能熟记二次函数的性质是解此题的
关键．
3．如图，抛物线
的对称轴为直线
，若关于
的一元二次方程
（为
实数）在
的范围内有解，则的取值错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
已知抛物线的对称轴，可求出m=4，进而求出抛物线的解析式；把关于x 的一元二次方程有解的问题，转
化为抛物线
与直线y=t 的交点问题，可求出t 的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t 的
范围加以对照，即可得出正确答案．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=2,
∴
解得，m=4．
∴抛物线的解析式为
当x=2 时，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4）．
当x=1 时，
当x=3 时，
∵关于x 的一元二次方程是
，
∴
．
∵方程
在
的范围内有解，
∴抛物线
与直线y=t 在
范围内有公共点，如图所示．
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的对称轴、顶
点坐标的计算方法是解题的基础，而熟知二次函数与一元二次方程的互相转化是解题的关键．
4．如图，二次函数
图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为
，对称轴为
，结合图象给出下列结论：
①
；
②
；
③关于x 的一元二次方程
的两根分别为-3 和1；
④若点
，
，
均在二次函数图象上，则
；
⑤
（m 为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．
【详解】
解：∵二次函数
图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为
，
∴当x=1 时，
，
故结论①正确；
根据函数图像可知，
当
，即
，
对称轴为
，即
，
根据抛物线开口向上，得
，
∴
，
∴
，
即
，
故结论②正确；
根据抛物线与x 轴的一个交点为
，
对称轴为
可知：抛物线与x 轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x 的一元二次方程
的两根分别为-3 和1，
故结论③正确；
根据函数图像可知：
，
故结论④错误；
当
时，
，
∴当
时，
，
即
，
故结论⑤错误，
综上：①②③正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与
方程的关系．
5．如图，已知抛物线
与直线
交于
，
两点，则关于
的不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．
【详解】
与
关于y 轴对称
抛物线
的对称轴为y 轴，
因此抛物线
的图像也关于y 轴对称
设
与
交点为
，则
，
即在点
之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点睛】
本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理
解
与
关于y 轴对称是解题的关键．
6．已知二次函数
图像上部分点的坐标
对应值列表如下：则关于x 的方程
的解是（ ）
x
…
0
50
200
…
y
…
1
1
…
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据表格信息确定出二次函数的对称轴和c 的值，关于方程
的解即关于x 的方程
的解，找出二次函数的函数值为
时对应的x 的值即可．
【详解】
解：根据表格可知，当
时，
，
即该二次函数解析式可写为
，
∵当
时和当
时的函数值相同，
∴该二次函数对称轴为
，
∴当
时和当
时的函数值都为
，
关于方程
的解即关于x 的方程
的解，
∴
，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，根据表格信息确定二次函数的对称轴是解题
的关键．
7．二次函数
的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．关于
的方程
无实数根
【答案】B
【分析】
根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可以对A 进行判断；x=1 时，y＜0，可对B 进行判
断；根据抛物线与x 轴的交点情况可对C 进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=n+1 无交点，可对D
进行判断．
【详解】
解：A．∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-
=-1，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故A 正确；
B．∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x 轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴x=1 时，y＜0，
即a+b+c＜0，
∵b=2a，
∴3a+c＜0，故B 错误；
C．∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，即4ac-b2＜0，故C 正确；
D．∵抛物线开口向下，顶点为（-1，n），
∴函数有最大值n，
∴抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=n+1 无交点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n+1 无实数根，故D 正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问
题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
8．已知二次函数
（
，
）的图象经过点
，
，与x 轴交于点
，点
（点A 在点B 的左侧）．若
，则有下列结论：①
，
，②
，③
．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【分析】
①将点
，
，
代入抛物线表达式得：
，由
得：
，求出
、
的表达式，即可求解；②
，则
，故
；③由①知，
，
，则右侧交点在
和
之间，即可求解．
【详解】
解：①将点
，
，
代入抛物线表达式得：
，
由
得：
③，
则③
①得：
，故
，
①
②得：
，
故①正确，符合题意；
②
，
由③式得：
，
故
，
故②正确，符合题意；
③由①知，
，
，
则右侧交点在
和
之间，
即
，
故③正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴
的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
9．若抛物线
与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为
，P 为这条抛物线的顶点，则点
P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设抛物线与
轴的两个交点坐标分别为
，且
，根据“两个交点间的距离为4，对称轴
为
”建立方程可求出
的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点
的坐标，
然后根据关于
轴的对称点的坐标变换规律即可得．
【详解】
解：设抛物线与
轴的两个交点坐标分别为
，且
，
由题意得：
，解得
，
则抛物线与
轴的两个交点坐标分别为
，
将点
代入
得：
，解得
，
则抛物线的解析式为
，
顶点
的坐标为
，
则点
关于
轴的对称点的坐标是
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、关于
轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
10．已知直线
过一、二、三象限，则直线
与抛物线
的交点个数为（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 个或2 个
【答案】C
【分析】
先由直线
过一、二、三象限，求出
，通过判断方程
实数解的个数可判
断直线
与抛物线
交点的个数．
【详解】
解：∵直线
过一、二、三象限，
∴
．
由题意得：
，
即
，
∵△
，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线
与抛物线
的交点个数为2 个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次
方程根的判别式求解是解题的关键．
11．二次函数
的图象的一部分如图所示．已知图象经过点
，其对称轴为直线
．下列结论：①
；②
；③
；④若抛物线经过点
，则关于
的一元二次方程
的两根分别为
，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．
【详解】
解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x=
=1，且图象与x 轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2 时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2 时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点
，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点
，
∴抛物线
与直线y=n 的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程
的两根分别为
，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
12．在平面直角坐标系中，已知
和
是抛物线上
的两点，将抛物线
的图象向上平移
（
是正整数）个单位，使平移后的图象与
轴没有交点，则
的最小值
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】
根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线
，则
，解得
，再把
代入
中求出
的值；利用二次函数图象平移的规律得到抛物线向上平移
个单位后的解析式为
，根据判别式的意义得到
，然后解不等式后可确定
的最小值．
【详解】
解：∵点
和
是抛物线
上的两点，
∴点A 和点B 为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线
，即
，
解得，
，
∴抛物线解析式为
，
把
代入得
；
抛物线向上平移
（
是正整数）个单位后的解析式为
，
∵抛物线
与
轴没有交点，
∴
，
解得
，
∵
是正整数，
∴
的最小值是4．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与
轴的交点：把求二次函数
（
，
，
是常数，
）与
轴的
交点坐标问题转化为解关于
的一元二次方程；
决定抛物线与
轴的交点个数，也考查了二
次函数的性质．
13．若
、
（
）是关于
的一元二次方程
的两个根，
、
（
）是关于
的方程
的两根，则
、
、
、
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
依题意画出函数y＝（x−a）（x−b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．
【详解】
解：依题意，画出函数y＝（x−a）（x−b）的图象，如图所示．
函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b），即：
、
（
）是
关于
的一元二次方程
的两个根，
方程1−（x−a）（x−b）＝0
转化为（x−a）（x−b）＝1，
方程的两根是抛物线y＝（x−a）（x−b）与直线y＝1 的两个交点．
由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．
由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，
则有b＜n．
综上所述，可知m＜a＜b＜n．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函
数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算．
14．根据表格中的信息，估计一元二次方程
（
、
、
为常数，
）的一个解
的
范围为（ ）
x
0
1
2
3
4
ax2+bx+c
-14.5
-11.5
-6.5
0.5
9.5
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
观察表格可知，随x 的值逐渐增大，ax2+bx+c-5 的值在3～4 之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=5 时，对应
的x 的值在3～4 之间．
【详解】
解：由表格可知：当x=3 时，ax2+bx+c=0.5，则ax2+bx+c-5=-4.5，
当x=4 时，ax2+bx+c=9.5，则ax2+bx+c-5=4.5，
∴关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=5（a≠0）的一个解x 的范围是3＜x＜4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系．关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对
应的自变量取值范围．
15．已知二次函数
的图象如图所示，有下列5 个结论：①
；②
；
③
；④
（
）；⑤若方程
＝1 有四个根，则这四个根的和为
2，其中正确的结论有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】A
【分析】
根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y 轴的交点得到a，b，c 的取值，于是可对①进行判断；
根据抛物线与x 轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得
，则
，根据
可
得
，代入变形可对③进行判断；当
时，
的值最大，即当
时，
即
>
，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1 有2 个根，方程ax2+bx+c=-1 有2 个
根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y 轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x 轴有两个交点
∴
>0
∴
，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴
，
∴
由图象得，当
时，
，
∴
∴
，故③正确；
④当
时，
的值最大，
∴当
时，
>
，
∴
（
），
∵b＞0，
∴
（
），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1 有2 个根，方程ax2+bx+c=-1 有2 个根，
∴所有根之和为2×（-
）=2×
=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开
口方向和大小．当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a
共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab＜0），
对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c）．抛物线与x 轴交点个
数由△决定：△=b2-4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；
△=b2-4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
16．已知函数
，当
时，函数值随
增大而增大，且对任意的
和
，
、
相应的函数值
、
总满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
对任意的1≤x1≤a+1 和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1-y2|≤9，只需最大值与最小值的差小于
等于9 即可，进而求解．
【详解】
解：函数的对称轴为x=a，
而x≤2 时，函数值随x 增大而增大，故a≥2；
∵1≤x1≤a+1 和1≤x2≤a+1，
∴x=a 时，开口向下，函数的最大值=a2，
故函数的最大值在x=1 和x=a+1 中产生，
则x=1，x=a+1 那个距x=a 远，函数就在那一边取得最小值，
∵a≥2，
∴a-1≥1，而a+1-a=1，
∴1 距离a 更远，
∴x=1 时，函数取得最小值为：-1+2a，
∵对任意的1≤x1≤a+1 和1≤x2≤a+1，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1-y2|≤9，
只需最大值与最小值的差小于等于9 即可，
∴，a2-（-1+2a）≤9，
(a-1)2=9，
解得-3≤a-1≤3，而a≥2，
∴2≤a≤4，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，|y1-y2|≤3 转换为最大值与最小值的差小于等于3，是解题的关键．
17．若抛物线
的对称轴为直线
，且该抛物线与x 轴交于A、B 两点，若
的长是
6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
用待定系数法求出抛物线表达式，进而求解．
【详解】
解：∵抛物线
的对称轴为直线
，
∴
，解得
，
故抛物线的表达式为
，
令
，解得
，
则
，
解得
，
故抛物线的表达式为
，
当
时，
，
故顶点的坐标为（2，-18），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴
的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
18．对于一个函数，当自变量x 取a 时，其函数值y 等于2a，我们称a 为这个函数的二倍数．若二次函数y
＝x2+x+c（c 为常数）有两个不相等且小于1 的二倍数，则c 的取值范围是（ ）
A．c＜
B．0＜c＜
C．﹣1＜c＜
D．﹣1＜c＜0
【答案】B
【分析】
由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c=2x 的两个实数根，由△＞0 且x=1 时y＞0，即可求解．
【详解】
解：由题意知二次函数y=x2+x+c 有两个不相等且小于1 的二倍数，
∴x1、x2是方程x2+x+c=2x 的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2-x+c=0，
由x2-x+c=0 有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①，
令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x=1 时，y=x2-x+c=c＞0②，
联立①②并解得：
0＜c＜
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c 的
不等式．
19．二次函数
的图象如图所示，有下列结论：①
；②
；③抛物线
与
轴的另一个交点为
；④
．其中，正确的结论是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．①④
【答案】D
【分析】
根据对称轴方程可得①正确，由图象可知x=-1 时y<0，可得②错误；根据二次函数的对称性可得③错误；
根据抛物线开口分析、对称轴位置及与y 轴交点即可得④正确；综上可得答案．
【详解】
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴x=
=1，
∴
，故①正确，
由图象可知，x=-1 时，y<0，
∴a-b+c<0，
∴a+c<b，故②错误，
∵抛物线对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点为（-2，0），
∴与x 轴的另一个交点坐标为（4，0），故③错误，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，
∴c<0，
∵x=
=1>0，
∴b<0，
∴abc>0，故④正确，
综上所述：正确的结论有①④，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与系数的关系，对于二次函数
，抛物线对称轴方程为直线x=
，当a>0 时，抛物线开口向上，当a<0 时，抛物线开口向下；当抛物线与y 轴交于y 轴正半轴时，
c>0，当抛物线与y 轴交于负半轴时c<0，当对称轴在y 轴左侧时，a、b 同号，当对称轴在y 轴右侧时，
a、b 异号；熟练掌握二次函数当性质是解题关键．
20．已知二次函数
，
，令
，（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】B
【分析】
建立
结合
选项的条件，分别计算
利用函数与
轴的交点
情况，再分别判断
选项即可得到答案．
【详解】
解：当
，
，则
＞
而
无法判断
与
的大小，故无法判断
的大小，
故
错误，不符合题意；
当
，
时，则
＞
而
＜
而函数图像的开口向上，
＞
，故
正确，符合题意；
当
，
，则
＞
而
无法判断
与
的大小，故无法判断
的大小，故
错误，不符合题意；
当
，
，则
＞
而
无法判断
与
的大小，故无法判断
的大小，故
错误，不符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是二次函数与
轴的交点情况，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质判断函数值的大小
是解题的关键．
21．二次函数
（a，b，c 为常数，且
）中的x 与y 的部分对应值如下表：
x
0
1
3
y
3
5
3
下列结论：①
；②当
时，y 的值随x 值的增大而减小；③3 是方程
的一
个根；④当
时，
．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】C
【分析】
①函数的对称轴为：x=
(0+3)=
，对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，即可求
解；
②函数的对称轴为x=
，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，当x=3 时，ax2+bx+c=3，即可求解；
④由③知，3 是方程ax2+(b-1)x+c=0 的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，即可求解．
【详解】
解：①函数的对称轴为：x=
(0+3)=
，
对称轴左侧y 随x 的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，
故①正确，符合题意；
②函数的对称轴为x=
，对称轴左侧，即
时，y 随x 的增大而增大，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，
当x=3 时，ax2+bx+c=3，故③正确，符合题意；
④由③知，3 是方程ax2+(b-1)x+c=0 的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1，
故当-1＜x＜3 时，ax2+(b-1)x+c>0，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，主要要求学生通过观察函数图象的方式来求解方程或不等
式．
22．对于一个函数自变量
取
时，函数值为0，则称
为这个函数的零点．若关于
的二次函数
有两个不相等的零点
，
，关于
的方程
有两
个不相等的非零实数根
和
，则下列式子一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意画出关于x 的二次函数
的图象以及直线y＝−2，根据图象即可判断．
【详解】
解：关于
的方程
有两个不相等的非零实数根
和
，
就是关于x 的二次函数
与直线y＝−2 的交点的横坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x=3，
∴3＜x4＜x2，
由图象可知：
一定成立，
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，利用图象判断是解题的关键．
23．如图，经过原点的二次函数
的图象，对称轴是直线x=−2．关于下列结论：①
；②
；③方程
的两个根为
=0，
=−4；④ 若A（x1，1），B
（x2，2）是抛物线上两点，则x1＞x2 ．其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
根据函数与x 轴交点的个数，函数对称性、二次函数与一元二次方程以及增减性可依次判断．
【详解】
解：∵图象与x 轴有两个交点，
∴
，①正确；
由函数的对称性可知，二次函数与x 轴的另一个交点为x=-4，
结合图象增减性可知，当x=-3 时，y=
，②错误；
由图象可知，c=0，
∴结合函数与x 轴的交点，方程
的两个根为
=0，
=−4，③正确；
无法确定A（x1，1）和B（x2，2）在对称轴两侧还是同侧，无法判断x1和x2的大小，
故④错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值
的熟练运用是解题关键．
24．如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，点
为抛物线上一动点，
过点
作
交
轴于
，若点
从点
出发，沿着直线
上方抛物线运动到点
，则点
经过
的路径长为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【分析】
分别求出A，B 的坐标，运用待定系数法求出直线AB，PQ 的解析式，再求出它们与y 轴的交点坐标即可解
决问题．
【详解】
解：对于
，
令x=0，则y=3，
∴
令y=0，则
解得，
∵点A 在点C 的左侧，
∴A（-3，0）
设AB 所在直线解析式为
，
把A，B 点坐标代入得
，解得
所以，直线AB 的解析式为：y=x+3，
∵PQ//AB
∴设PQ 的解析式为：y=x+a
∵点
经过的路径长是直线PQ 经过抛物线的切点与y 轴的交点和点B 的距离的2 倍，
∴方程
有两个相等的实数根，
∴
解得，
∴点Q 的坐标为（0，
）
当点P 与点A 重合时，点Q 与点B 重合，此时点Q 的坐标为（0，3）
点
经过的路径长为
故选：D．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴
的交点的求法．
25．利用函数知识对关于代数式
的以下说法作出判断，则正确的有（ ）
①如果存在两个实数
，使得
，则
②存在三个实数
，使得
③如果
，则一定存在两个实数
，使
④如果
，则一定存在两个实数
，使
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】
根据二次函数的性质、根的判别式一一判断即可；
【详解】
解：①错误，
或
时，
与
不一定等于0；
②错误，一元二次方程最多存在两个不同的实数根；
③正确，∵
，则△＞0，抛物线与x 轴有两个不同的交点，故一定存在两个实数
，使
；
④错误，∵
，∴△不一定＞0，抛物线可能与x 轴没有交点，结论不一定成立．
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与
轴的交点、一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
26．如图是抛物线
，其顶点坐标为
，且与x 轴的一个交点在点
和
之
间，下列结论：
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤关于x 的方程
的另一个解在
和
之间，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】
根据抛物线开口方向和对称轴可以对①②进行判断；利用抛物线的对称性可得当
时，
，于是
可对③进行判断；根据顶点即可对④进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的一个交点在
和
之间，则关于x 的方程
的另一个解在
和
之间，于是可对⑤进行判
断．
【详解】
∵抛物线开口向下，
∴
，
∵对称轴直线
，
∴
，
∴
，
故①②正确；
∵抛物线的对称轴为直线
，
∴点
与
关于直线
对称，
∵
时，
，
∴
时，
，即
，
故③正确；
∵抛物线
，其顶点坐标为
，
∴
，
故④正确；
∵抛物线的对称轴为直线
，抛物线与x 轴的一个交点在
和
之间，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在
和
之间，
∴关于x 的方程
的另一个解在
和
之间，
故⑤错误；
∴正确结论的有①②③④共4 个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数间的关系，涉及了抛物线的开口方向，对称轴、与x 轴的交点等问题，
准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键．
27．如图，函数图象C1与C2都经过x 轴上的点B 并关于垂直于x 轴的直线l 对称，已知C1是抛物线y＝﹣
2x2＋8x﹣6 在x 轴上方的部分，若直线y＝x＋m 与C1、C2共有3 个不同的交点，则m 的取值范围是
（ ）
A．﹣2＜m＜
B．﹣3＜m＜﹣
C．﹣3＜m＜﹣2
D．﹣3＜m＜﹣
【答案】D
【分析】
首先求出点
和点
的坐标，然后求出
解析式，分别求出直线
与抛物线
相切时
的值以
及直线
过点
时
的值，结合图形即可得到答案．
【详解】
解：令
，即
，
解得
或3，
点
，
，
函数图象
与
关于直线对称，
解析式为
，
当
与
相切时，
令
，即
，
△
，
解得
，
当
过点
时，即
，
，
当
时直线
与
、
共有3 个不同的交点，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查抛物线与
轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，
利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
28．已知抛物线
与x 轴有两个交点
，现有如下结论：①此抛物线
过定点
；②若抛物线开口向下，则m 的取值范围是
；③若
时，有
，
，则m 的取值范围是
．其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】
把函数变形
，由m 为任意数，可得
，解方程组的
可判
定①，由抛物线与x 轴有两个交点，可求
且
，由抛物线开口向下，
，结合抛物线
与x 轴有两个交点，
且
，可判定②，若
时，抛物线开口向上，当x=-2,，y
，当
x=-1，y
，可得
，解得
，当x=1,，y
，当x=2，y
，可得
，解得
，求公共部分即可．
【详解】
解:把函数变形
，由m 为任意数
∴
，
解得
，
抛物线过定点
，
①此抛物线过定点
正确；
∵抛物线
与x 轴有两个交点
，
，
，
解得
且
，
∵抛物线开口向下，
∴
，
解得
，
又∵
且
，
∴
；
②若抛物线开口向下，则m 的取值范围是
正确，
若
时，
，抛物线开口向上，
抛物线
与x 轴有两个交点
，
，
∴当x=-2,，y
，当x=-1，y
，
即
，
解得
，
，
∴当x=1,，y
，当x=2，y
，
即
，
解得
，
∴有
，
，则m 的取值范围是
．
③若
时，有
，
，则m 的取值范围是
正确，
所以正确结论的个数有3 个．
故选择D．
【点睛】
本题考查抛物线过定点，抛物线开口方向，抛物线与x 轴的交点个数，抛物线与x 轴两交点位置，求范围，
掌握抛物线过定点把函数变形构造方程组，抛物线开口方向，抛物线与x 轴的交点个数归结判别式的符号，
抛物线与x 轴两交点位置，利用函数值的符号列不等式组是解题关键．
29．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3 的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0 的一个近似根是（
）
x
1
2
3
4
y
﹣3
﹣1
3
9
A．1.2
B．2.3
C．3.4
D．4.5
【答案】B
【分析】
根据二次函数的图象特征解答．
【详解】
解：观察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0 的一个近似根在2 和3 之间，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数与x 轴的交点坐标特征是解题关键．
30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），现有下四个结论：
8
①a+c＝0；
5
②a+2b+c＞0；
③若抛地物线与y 轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），则﹣
＜a＜﹣
；
④已知m＞0，关于x 的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0 的解为x1，x2（x1＜x2），则x1＜﹣2＜4＜
x2，
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】
先求抛物线对称轴直线x＝1，可得b＝﹣2a，由x＝﹣2 时，y＝4a﹣2b+c＝0，消去b 即可判断①；由8a+c
＝0，b＝﹣2a，代入5a+2b+c＝﹣7a 即可判断②；由抛物线在y 轴的截距2＜c＜3，利用c＝﹣8a，构造a
的不等式2＜﹣8a＜3，解不等式可判断③；根据抛物线开口向下，图象过点（﹣2，0）和（4，0），抛物
线与直线y＝m（m＞0）的两个交点横坐标﹣2＜x1＜x2＜4，即可判断④．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），
∴图象开口向下，对称轴为直线x＝
＝1，
∴﹣
＝1，即b＝﹣2a，
∵x＝﹣2 时，y＝4a﹣2b+c＝0，
∴8a+c＝0，故①正确；
∵8a+c＝0，b＝﹣2a，
∴5a+2b+c＝5a﹣4a﹣8a＝﹣7a＞0，故②正确；
∵抛地物线与y 轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），
∴2＜c＜3，
∵c＝﹣8a，
∴2＜﹣8a＜3，
∴﹣
＜a＜﹣
，故③正确；
∵抛物线开口向下，图象过点（﹣2，0）和（4，0），
∴抛物线与直线y＝m（m＞0）的两个交点横坐标﹣2＜x1＜x2＜4，
∴关于x 的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0 的解为x1，x2（x1＜x2），则﹣2＜x1＜x2＜4，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线图像与系数的关系，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，掌握抛物线图像与系
数的关系，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题关键．
二、填空题
31．如图是抛物线
的部分图象，其顶点为
，且与
轴的一个交点在点
和
之间下列结论：①
；②
；③
；④关于
的方程
有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0 的关系，然后根据对称轴及抛物
线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，
∴当x＝−1 时，y＞0，即a−b＋c＞0，故①结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，即
，
∴2a＋b＝0，
∵a≠0，
∴3a＋b≠0，故②结论错误；
∵抛物线顶点坐标为（1，n），
∴抛物线
与直线y＝n 有唯一一个交点，
即方程
=n 有两个相等的实数根，
∴△＝b2−4a（c−n）＝0，
∴b2＝4a（c−n），故③结论正确；
∵抛物线的开口向下，
∴y 最大＝n，
∴直线y＝n−1 与抛物线有两个交点，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝n−1 有两个不相等的实数根，故④结论正确；
综上所述，正确的结论有3 个．
故答案是①③④．
【点睛】
主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数系数的几何意义，以及二次函数与方程
之间的转换，根的判别式的熟练运用，是解题的关键．
32．已知抛物线
的顶点坐标为
，试求：
（1）
______；
（2）若关于
的一元二次方程
在
或
的范围内有实数根，则的取
值范围是______．
【答案】1
或
【分析】
（1）根据抛物线的顶点坐标可求出b，c 的值，从而可得结论；
（2）把一元二次方程变形为
，画出函数图象，根据图象可得结论．
【详解】
解：（1）
∴抛物线的顶点坐标为（
，
）
又∵顶点坐标为（1，2）
∴
解得，
∴
故答案为：1；
（2）∵
∴
∴
如图①，
在
时，
有实数根，的取值为
如图②
在
时，
有实数根，的取值为
故答案为：
或
【点睛】
本题考查抛物线与直线的交点问题，解题的关键画出函数图象，分情况讨论，从而求出的范围，
33．如图所示，已知二次函数
的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，对称轴为
直线
．直线
与抛物线
交于C，D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，
则下列结论：①
；②
；③
；④
．其中正确的结
论是________（只填写序号）．
【答案】①②③
【分析】
利用抛物线与y 轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=-2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判
断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点横坐标大于-1 小于0，则当x=-1 时，y＜0，于是
可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1 时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③
进行判断；由于直线y=-x+c 与抛物线y=ax2+bx+c 交于C、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，利用
函数图象得x=3 时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c<-3+c，然后把b=-2a 代入解a 的不等式，则
可对④进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方，
∴c>0，
∵对称轴x=-
=1，
∴b=-2a，
∴2a+b+c=2a-2a+c=c>0，
∴①正确；
②∵抛物线与x 轴的另一个交点在x 轴的负半轴上，
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标大于2 小于3，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标的横坐标大于-1 小于0，
∴当x=-1 时y＜0，
∴a-b+c＜0,
∴②正确；
③∵当x=1 时，二次函数有最大值，
∴ax2+bx+c≤a+b+c，
∴ax2+bx≤a+b，
∴③正确；
④∵直线y=-x+c 与抛物线y=ax2+bx+c 交于C、D，D 在x 轴下方且0＜x<3，
∴x=3 时，一次函数值比二次函数值大，
即9a+3b+c<-3+c，
∴9a-6a<-3，
∴a<-1，
∴④不正确；
∴①②③正确,
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值
范围，可作图利用交点直观求解．也考查了二次函数图象与系数的关系．
34．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：①abc＜
0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1 有两个根x1和x2，且x1＜x2， 则﹣5＜x1＜x2＜1；④
若方程|ax2+bx+c|＝1 有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有_______．
【答案】①③④
【分析】
利用顶点式得到y=ax2+4ax-5a，根据抛物线的开口向上得到a＞0，则b＞0，c＜0，于是可对①进行判断；
把b=4a，c=-5a 代入5a-b+c 中可对②进行判断；根据抛物线y=a（x+5）（x-1）与直线y=-1 有两个交点，
交点的横坐标分别为x1和x2，则可对③进行判断；由于方程ax2+bx+c=1 有2 个根，方程ax2+bx+c=-1 有2
个根，则利用根与系数的关系可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（-2，-9a），
∴y=a(x+2)2-9a=ax2+4ax-5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b=4a＞0，c=-5a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵5a-b+c=5a-4a-5a=-4a，
而a＞0，
∴5a-b+c＜0，所以②错误；
∵方程a(x+5)(x-1)=-1 有两个根x1和x2，
∴抛物线y= a(x+5)(x-1)与直线y=-1 有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴-5＜x1＜x2＜1，所以③正确；
∵方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1 有2 个根，方程ax2+bx+c=-1 有2 个根，
∴所有根之和为2×(-
)=2×(-
)=-8，所以④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开
口方向和大小．当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a
共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab＜0），
对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c）．抛物线与x 轴交点个
数由△决定：△=b2-4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；
△=b2-4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
35．如图是抛物线
的部分图象，图象过点
，对称轴为直线
，有下列四个结论：
①
；②
；③y 的最大值为3；④方程
有实数根．其中正确的为
________（将所有正确结论的序号都填入）．
【答案】②④
【分析】
根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣
=1，即b=﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由
得
，
根据图象，抛物线与直线y=﹣1 有交点，
∴
有实数根，故④正确，
综上，正确的为②④，
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答
的关键．
三、解答题
36．已知关于
的一元二次方程
，其中
为常数．
（1）求证：无论
为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）己知函数
的图象不经过第三象限，求
的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）利用判别式求解即可得到答案；
（2）根据a 的值及判别式设抛物线与
轴的交点的横坐标分别为
，
，由此得到
，
，解不等式求出答案．
【详解】
（1）证明：∵
，
∴无论
为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）解：∵二次函数
的图象不经过第三象限，二次项系数
，
∴抛物线开口方向向上，
∵
，
∴抛物线与
轴有两个交点，
设抛物线与
轴的交点的横坐标分别为
，
，
∴
，
，
解得
，
即
的取值范围是
．
【点睛】
此题考查一元二次方程根的判别式，二次函数的开口方向，与
轴交点个数及根与系数的关系，正确理解
二次函数的图象性质是解题的关键．
37．已知二次函数
．
（1）若图像经过点
．
①
的值为______；
②无论
为何值，图像一定经过另一个定点______．
（2）若图像与
轴只有1 个公共点，求
与
的数量关系．
（3）若该函数图像经过
，写出函数图像与坐标轴的公共点个数及对应的
的取值范围．
【答案】（1）①2；②
；（2）
；（3）图像与坐标轴有1 个公共点时，
；图像
与坐标轴有2 个公共点时，
或
；图像与坐标轴有3 个公共点时，
或
且
．
【分析】
（1）①把点
代入
即可求得；②把
代入
求得
，即可
证明图像一定过另一个定点
；
（2）根据题意
，即可得到
；
（3）由题意得
，计算出
，分三种情况得到关于m 的不等式组，和方程组，即可．
【详解】
（1）①∵二次函数
过点
，
∴n=2，
故填：2；
②当
时，
=2，
∴无论m 为何值，图像一定经过另一个定点
，
故答案为：
；
（2）∵图像与x 轴有1 个公共点，
∴当y=0 时，
方程
有两个相等的实数根，
∴
且
，
即
，
∵
，
∴
，
∴
；
（3）∵函数图像经过
，
∴
即
,
∴
，
∴
，
①当图像与坐标轴有1 个公共点时，即与x 轴没有交点,
，
则
或
，
解得
，
②当图像与坐标轴有2 个公共点时，即与x 轴只有1 个交点或者函数过原点,
当函数与x 轴只有1 个交点时,
，
解得
，
当函数过原点时,
,
解的
,
故当
或
时,函数与坐标轴有2 个交点;
③当图像与坐标轴有3 个公共点时，即与x 轴有2 个不同的交点,且函数不过原点,
则
或
，
解得
或
且
，
综上所述：
图像与坐标轴有1 个公共点时，
，
图像与坐标轴有2 个公共点时，
或
，
图像与坐标轴有3 个公共点时，
或
且
．
【点睛】
本题考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，熟练掌握
二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，分类讨论是解题的关
键．
38．已知二次函数
．
（1）当
时，求出该二次函数的图象与
轴的交点坐标；
（2）若
时，该二次函数的图象与
轴有且只有一个交点，求
的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）
的值为
或
【分析】
（1）将
代入原二次函数，得到二次函数的解析式，然后令
，即可得到关于
的一元二次方程，
解方程即可求出二次函数图象与
轴的交点坐标；
（2）求出二次函数的对称轴，然后由抛物线的性质进行解答．
【详解】
解：（1）由题意，得
，
当
时，
．
解得
，
．
该二次函数的图象与
轴的交点坐标为
，
．
（2）抛物线
的对称轴为
．
若抛物线与
轴只有一个交点，则交点为
．
有
，解得
；
若抛物线与
轴有两个交点，
当
，
时，
，解得
；
当
，
时，
，解得
；
综上所述，
的值为
或
．
【点睛】
本题考查了抛物线与
轴的交点，熟悉抛物线的性质及不等式的解法是解题的关键．
39．某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案
：若单独投资燃油汽车时，则所获利润
（千万元）与投资金额
（千万元）之间存在正比例函数
关系例
，并且当投资2 千万元时，可获利润0.8 千万元；
方案
：若单独投资新能源汽车时，则所获利润
（千万元）与投资金额
（千万元）之间存在二次函数
关系：
，并且当投资1 千万元时，可获利润1.4 千万元；当投资3 千万元时，可获利润3 千
万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5 千万元，求此时该
公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资
千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的
利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4 千万元，直接写出
的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）该公司对这两种汽车的投资金额均为5 千万元；
（3）
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据获得总利润为5 千万元可列方程，解方程即可；
（3）设该公司对燃油汽车投资
千万元，对新能源汽车投资
千万元，先表示出此时
关于
的函数关
系式，再根据投资所获总利润的利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4 千万元，分别列出不等式，
求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可得，当
时，
，代入
得，
，
解得
，
∴正比例函数的表达式为
．
当
时，
；当
时，
，代入
，
得：
，
∴
，
∴二次函数表达式为
；
（2）根据题意得：
，
∴
，
∴
，
解得：
．
∴该公司对这两种汽车的投资金额均为5 千万元；
（3）设该公司对燃油汽车投资
千万元，对新能源汽车投资
千万元，
则
，
根据题意得：
，
∴
，
∴
，
∴
；
∵获得总利润为不低于4 千万元，
∴
，
∴
．
综上所述，
的取值范围是
．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求函数的解析式、二次函数和一元一次方程在实际问题中的应用，理清题中的数
量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数与不等式的关系是解题的关键．
40．已知二次函数
的图象
与
轴有且只有一个公共点．
①求
的顶点坐标；
②将
向下平移若干个单位后，得抛物线
，如果
与
轴的一个交点为
，求
的函数关系
式，并求
与
轴的另一个交点坐标；
（2）若
，
是
上的两点，且
，求实数
的取值范围．
【答案】（1）（−1，0）；（2）y＝（x＋1）
2−4，（1，0）；（3）n＞2 或n＜−4
【分析】
（1）由于二次函数
的图象C1与x 轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此
可以确定m，进而即可求解；
（2）首先设所求抛物线解析式为y＝（x＋1）
2＋k，然后把A（−3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物
线的解析式；
（3）由于图象C1的对称轴为直线x＝−1，所以知道当x≥−1 时，y 随x 的增大而增大，然后讨论n≥−1 和
n≤−1 两种情况，利用前面的结论即可得到实数n 的取值范围．
【详解】
（1）y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）
2＋m−1，对称轴为直线x＝−1，
∵抛物线与x 轴有且只有一个公共点，
∴顶点的纵坐标为0，
∴C1的顶点坐标为（−1，0）；
（2）设C2的函数关系式为y＝（x＋1）
2＋k，
把A（−3，0）代入上式得（−3＋1）
2＋k＝0，得k＝−4，
∴C2的函数关系式为y＝（x＋1）
2−4．
∵抛物线的对称轴为直线x＝−1，与x 轴的一个交点为A（−3，0），
由对称性可知，它与x 轴的另一个交点坐标为（1，0）；
（3）对于y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）
2＋m−1，当x≥−1 时，y 随x 的增大而增大，
当
≥−1 时，
∵y1＞y2，
∴n＞2．
当
＜−1 时，P（n，y1）的对称点坐标为（−2−n，y1），且−2−n＞−1，
∵y1＞y2，
∴−2−n＞2，
∴n＜−4．
综上所述：n＞2 或n＜−4．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图形和性质，掌握抛物线与x 轴交点个数与其判别式的关系，抛物线平移的性质，
抛物线的增减性，是解题的关键．
41．已知关于
的一元二次方程
．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求
的取值范围；
（2）二次函数
的部分图象如图所示，求一元二次方程
的解．
【答案】（1）
；（2）
，
【分析】
（1）根据△＞0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m 的取值范围即可；
（2）根据二次函数图象与x 轴的交点的横坐标就是当y=0 时对应一元二次函数的解，故将x=1 代入方程中
求出m 值，再代入一元二次方程中解方程即可求解．
【详解】
解：（1）由题知
，
∴
．
（2）由图知
的一个根为1，
∴
，∴
，
即一元二次方程为
，
解得
，
，
∴一元二次方程
的解为
，
．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二
次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键．
42．已知抛物线
（其中
为常数）
（1）求证：不论
为何值，该抛物线与
轴一定有两个公共点；
（2）若
，
两点在抛物线上，试比较
与0 的大小；
（3）若该抛物线在
的部分与直线
有两个公共点，试求出
的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）当
时，
；当
时，
；当
时，
；（3）
．
【分析】
（1）计算y=0 时一元二次方程的判别式，根据一元二次方程根与判别式的关系即可得结论；
（2）分别计算y1与y2，再计算
，最后根据一次函数的性质即可得答案；
（3）由题意可得方程
=
有两个不相等的实数根，且在
之间，结合判别式及二次函数的性质列不等式组即可得答案．
【详解】
（1）当y=0 时，
=0，
∴判别式△=
=4>0，
∴不论
为何值，该抛物线与
轴一定有两个公共点．
（2）∵
，
两点在抛物线上，
∴
，
，
∴
，
当
=0 时，
，
∵-2<0，
∴
的值随m 的增大而减小，
∴当
时，
<0，当
时，
>0，
综上所述：当
时，
；当
时，
；当
时，
．
（3）∵该抛物线在
的部分与直线
有两个公共点，
∴方程
=
有两个不相等的实数根，且在
之间，
整理得：
，
∴
，
解得：
，
∴
．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程的综合及一次函数的性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及
一元二次方程根与判别式的关系是解题关键．
43．在平面直角坐标系中，抛物线
经过
，点D 为抛物线
的顶点．
（1）求抛物线
的表达式；
（2）抛物线
与抛物线
关于x 轴对称，在抛物线
是否存在一点P，使得
与
的面积比
，若存在，求出点P 的坐标，若不村在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）P 点坐标为
或
或
或
．
【分析】
（1）由待定系数法可以得到抛物线
的表达式；
（2）根据已知条件可以得到
或
，再根据抛物线
与抛物线
关于x 轴对称可以得到抛物
线
的表达式为：
，如此得到关于
的方程，并在解方程后得到P 的坐标．
【详解】
解：（1）设抛物线
的表达式为：
,则由题意可得：
，
解之可得a=-2，b=8，c=-6，
∴抛物线
的表达式为：
；
（2）由（1）可得：
，
∴D（2，2），
∴
,
∴
，
∴
，即
或
，
∵抛物线
与抛物线
关于x 轴对称，
∴抛物线
的表达式为：
，
∴当
时，有
，
解之可得：
或
；
当
时，有
，
解之可得：
或
；
∴P 点坐标为
或
或
或
．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质、待定系数法求二次函数表达式的方法及
一元二次方程的求解是解题关键．
44．已知二次函数
．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与
轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点
在
轴的下方，求证：
．
（3）已知点
，
，
，
在该函数图象上，若
，
，
，
四个函数值中
有且只有一个小于零，试求
的取值范围．
【答案】（1）
，（0，1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）根据对称轴公式和y 轴上点的坐标特征即可求得；
（2）根据题意a＞0，且△＞0，即(4a)2-4a•1＞0，解得即可；
（3）根据二次函数的性质即可得出y3=a+4a+1≥0，y4=4a+8a+1＜0，解得即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=ax2+4ax+1（a≠0）．
∴函数图象的对称轴为直线x=-
=-2，
当
时，
，
∴y 轴的交点坐标为（0，1）；
（2）∵该函数图象开口向上，且图象上的一点（x0，y0）在x 轴的下方，
∴a＞0，且△＞0，即(4a)2-4a•1＞0，
∴a＞
；
（3）∵函数图象的对称轴为直线x=-2，
∴点（-3，y1）关于对称轴的对称点为（-1，y1），
∵-2＜-1＜1＜2，y1=y2，
∴当开口向上时，则y1=y2＜y3＜y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中最少有两个小于零，不合题意，
当开口向下时，则y1=y2＞y3＞y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中可以满足y1=y2＞y3＞0＞y4，
∴y3＞0，y4＜0，即当x=1 时，y3=a+4a+1≥0，
x=2 时，y4=4a+8a+1＜0，
解得-
≤a＜-
．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，得到关于
a 的不等式是解题的关键．
45．在平面直角坐标系xOy 中，点
，
为抛物线
上的两
点．
（1）当h=1 时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于
，
，都有
，求h 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】
（1）将
代入解析式，然后将二次函数一般式化成顶点式求解；
（2）设抛物线上四个点的坐标为
，
，
，
，利用二次函数性
质分情况讨论求解．
【详解】
解：（1）当
时，抛物线的表达式为
．
∴
．
∴抛物线的对称轴为直线
．
（2）设抛物线上四个点的坐标为
，
，
，
．
∵
，
∴
的最小值必为
或
．
①由
可知，当
时，存在
≥
，不符合题意．
②当
时，总有
．
∵当
时，y 随x 的增大而减小，
∴
．
当
时，
．
∴
，符合题意．
当
时，
．
∴
，不符合题意．
③当
时，
∵当
时，y 随x 的增大而增大，
∴
，
．
当
时，
．
∴
，符合题意．
当
时，
．
∴
，不符合题意．
综上所述，h 的取值范围是
或
．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，理解图像性质，利用数形结合思想解题是关键．
46．如图，抛物线
交
轴于
，
两点，点
在点
左侧，点
的坐标为
，
，过点
作
轴交抛物线于点
，过点
作
交抛物线于点
．
（1）若点
的坐标为
，求
的长．
（2）当
时，求
的值．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）先把A 点坐标代入y=-(x-m)2+9 中求得m=1 或m=7，则根据点A 在点B 左侧可确定抛物线的对称轴，
然后利用抛物线的对称性求DE 的长；
（2）通过解方程-(x-m)2+9=0 得A（m-3，0），B（m+3，0），则AB=6，所以DE=3，利用抛物线的对称性
得到2(m-6)=3，然后解方程即可．
【详解】
解：（1）把A（4，0）代入y=-(x-m)2+9 得-(4-m)2+9=0，
解得m=1 或m=7，
∵点A 在点B 左侧，
∴m=7，
即抛物线的对称轴为直线x=7，
∵CD⊥x 轴，DE⊥CD，
∴点E 与点D 关于直线x=7 对称，
而D 点的横坐标为6，
∴DE=2×(7-6)=2；
（2）当y=0 时，-(x-m)2+9=0，
解得x1=m-3，x2=m+3，
∴A（m-3，0），B（m+3，0），
∴AB=m+3-(m-3)=6，
∴DE=
AB=3，
∵D 点的横坐标为6，
∴2(m-6)=3，
∴m=
．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问
题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数
图象的顶点是
，与
轴交于
两点，与
轴交于
，点
的坐标是
．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线
的函数关系式．
（2）作一条平行于
轴的直线交二次函数的图象于点
，与直线
于点
．若点
的横坐
标分别为
，且
，求
的取值范围．
【答案】（1）点
的坐标为
，直线
的函数关系式为
；（2）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）因为r＜m≤n，则直线在点D 的下方、点A 的上方（不能过点D，可以过点A），进而求解．
【详解】
解：（1）将点B 的坐标代入抛物线表达式得：a+2-3=0，解得a=1，
故抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
故顶点坐标为（1，-4）；
对于y=x2-2x-3，
令x2-2x-3=0，解得x=-1 或3，
令x=0，则y=-3，
故点C、D 的坐标分别为（3，0）、（0，-3），
设直线CD 的表达式为y=kx+b，则
，解得
，
故直线CD 的表达式为y=x-3；
（2）∵r＜m≤n，
∴直线在点D 的下方、点A 的上方（不能过点D，可以过点A），
当y=-4 时，即-x-3=-4，解得x=-1，
故-1≤r＜0，
由抛物线的对称性知，点M、N 关于抛物线的对称轴对称，
故
(m+n)=1，所以m+n=2，
∴1≤m+n+r＜2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的
交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
48．已知二次函数
（
是常数）．
（1）若该函数图像与
轴有两个不同的公共点，求
的取值范围；
（2）求证：不论
为何值，该函数图像的顶点都在函数
的图像上；
（3）
，
是该二次函数图像上的点，当
时，都有
，则
的取值
范围是___________．
【答案】（1）
；（2）见解析；（3）
或
【分析】
（1）令
，则
，判别式大于0 即可；
（2）化成顶点式，得顶点坐标为
，将
代入
，得
即可；
（3）根据函数的性质解答即可．
【详解】
解：（1）令
，则
，
∵
，
，
，
∴
，
∵该函数图像与
轴有两个不同的公共点，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴
，即
，
解得
．
∴当
时，该函数图像与
轴有两个不同的公共点．
（2）由
，得顶点坐标为
，
将
代入
，得
，
∴不论
为何值，该函数的图像的顶点都在函数
的图像上．
（3）
或
由（2）可知该抛物线顶点为
，
当
时，
，
∴
时，
随
的增大而减少，
又∵该函数开口向下，对称轴为直线
，
∴如图，得出
，
当
时，
，
要使
恒成立，则
，
∴
，
或
，
结合
，
∴
或
．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
49．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m 其中m 是常数．
（1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．
【答案】（1）见解析；（2）①y＝x2
8
﹣x+15；②抛物线沿y 轴向上平移1 个单位长度后，得到的抛物线
与x 轴只有一个公共点
【分析】
（1）要证明不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点，只要证明b2﹣4ac＞0 即可，然后代入数
据计算即可；
（2）①根据该抛物线的对称轴为直线x＝4，可以求得m 的值，从而可以得到抛物线的函数解析式；
②将①的函数解析式，化为顶点式，即可得到把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物
线与x 轴只有一个公共点．
【详解】
（1）证明：∵抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m 其中m 是常数，
∴[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m＝4＞0，
∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；
（2）①∵抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m 的对称轴为直线x＝4，
∴
＝4，
解得m＝3，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+15；
②∵y＝x2﹣8x+15＝（x﹣4）
2﹣1，
∴该抛物线沿y 轴向上平移1 个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．
【点睛】
本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
50．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c 的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x 的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0 的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x 为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k 与抛物线没有交点，直接写出k 的范围．
【答案】（1）﹣1 或3；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）x＞3 或x＜﹣1；（4）y＞4
【分析】
（1）直接观察图象，抛物线与x 轴交于﹣1，3 两点，所以方程的解为x1＝﹣1，x2＝3．
（2）设出抛物线的顶点坐标形式，代入坐标（3，0），即可求得抛物线的解析式．
（3）若y＜0，则函数的图象在x 轴的下方，找到对应的自变量取值范围即可．
（4）若直线y＝k 与抛物线没有交点，则k＞函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）观察图象可看对称轴出抛物线与x 轴交于x＝﹣1 和x＝3 两点，
∴方程的解为x1＝﹣1，x2＝3，
故答案为：﹣1 或3；
（2）设抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）
2+k，
∵抛物线与x 轴交于点（3，0），
∴（3﹣1）
2+k＝0，
解得：k＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）
2+4，
即：抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（3）若y＜0，则函数的图象在x 轴的下方，由函数的图象可知：x＞3 或x＜﹣1；
（4）若直线y＝k 与抛物线没有交点，则k＞4 函数的最大值，即y＞4．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与不等式（组）、二次函数的图象、抛物线与x 轴的交点、待定系数法求二次函
数解析式，准确计算是解题的关键．
51．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＜0；
4
②a+2b+c＞0；
5
③a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1 有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1 有四个根，则这四个根的和为﹣8，
其中正确的结论有__．
【答案】①②④⑤
【分析】
利用顶点式得到y＝ax2+4ax﹣5a，根据抛物线的开口向上得到a＞0，则b＞0，c＜0，于是可对①进行判断；
解方程ax2+4ax﹣5a＝0 得抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），利用x＝2 时，y＞0 可对②
进行判断；把b＝4a，c＝﹣5a 代入5a﹣b+c 中可对③进行判断；根据抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线
y＝﹣1 有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c＝1 有2 个根，
方程ax2+bx+c＝﹣1 有2 个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣9a），
∴y＝a（x+2）
2﹣9a＝ax2+4ax﹣5a，
∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∴b＝4a＞0，c＝﹣5a＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
当y＝0 时，ax2+4ax﹣5a＝0，解得x1＝﹣5，x2＝1，
∴抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），
∵x＝2 时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，所以②正确；
∵5a﹣b+c＝5a﹣4a﹣5a＝﹣4a，
而a＞0，
∴5a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1 有两个根x1和x2，
∴抛物线y＝a（x+5）（x﹣1）与直线y＝﹣1 有两个交点，交点的横坐标分别为x1和x2，
∴﹣5＜x1＜x2＜1，所以④正确；
∵方程|ax2+bx+c|＝1 有四个根，
∴方程ax2+bx+c＝1 有2 个根，方程ax2+bx+c＝﹣1 有2 个根，
∴所有根之和为2×（﹣
）＝2×（﹣
）＝﹣8，所以⑤正确．
故答案为①②④⑤．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关
系、抛物线与x 轴的交点，准确分析判断是解题的关键．
52．定义：对于二次函数
，其相依函数为一次函数
，例如：二次函数
的相依函数为：
（1）求二次函数
的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数
与其相依函数的图象分别交于点
、
，过该抛物线的
顶点作直线平行于
轴，已知点
到直线的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点
为抛物线
段上的一个动点，求
面积的最大值．
【答案】（1）
；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据相依函数的定义求解；
（2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；②联立方
程组求得
，
，然后求得m 的值，设P 点坐标为
，过点P 作
PM⊥x 轴，交AB 于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
【详解】
解：（1）
∴二次函数
的相依函数表达式为：
；
（2）①在
中，
其顶点坐标为
，
∴该二次函数的相依函数为：
，
当
时，
，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得
，解得
，
∴
，
又∵点
到直线的距离为8
-3
∴
m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P 点坐标为
过点P 作PM⊥x 轴，交AB 于点M
∴M 点坐标为
∴PM=
∴
∴当x=
时，S 有最大值为1，即
【点睛】
本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是关键．
53．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
与两坐标轴分别相交于A，B，C 三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E，交x 轴于点F．
①求DE+BF 的最大值；
②点G 是AC 的中点，若以点C，D，E 为顶点的三角形与
AOG 相似，求点D 的坐标．
【答案】（1）（2）①9；②
或
．
【分析】
（1）分别计算A，B，C 三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC 的长，最后利用勾股定理逆定理
解题；
（2）①先解出直线BC 的解析式，设
，接着解出
，
利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的中线性质，解得AG 的长，再证明
，再分两种情况讨论以点C，D，E 为顶点的三角形与
AOG 相似，结合相似三角形对
应边成比例性质解题即可．
【详解】
解：（1）令x=0，得
令
得
，
（2）①设直线BC 的解析式为：
，代入
，
得
设
即DE+BF 的最大值为9；
②
点G 是AC 的中点，
在
中，
即
为等腰三角形，
若以点C，D，E 为顶点的三角形与
AOG 相似，
则①
又
，
或
经检验：
不符合题意，舍去，
②
，
又
整理得，
，
或
，
同理：
不合题意，舍去，
综上所述，
或
．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理及其
逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
54．已知二次函数
的图象开口向上，且经过点
，
．
（1）求
的值（用含
的代数式表示）；
（2）若二次函数
在
时，
的最大值为1，求
的值；
（3）将线段
向右平移2 个单位得到线段
．若线段
与抛物线
仅有一
个交点，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】
（1）利用待定系数法将点A、B 的坐标代入即可
（2）根据抛物线图像分析得在
范围内，
的最大值只可能在
或
处取得，进行分类讨
论①若
时，②若
，③
，计算即可
（3）先利用待定系数法写出直线AB 的解析式，再写出平移后的解析式，若线段
与抛物线
仅有一个交点，即方程
在
的范围内
仅有一个根，只需当
对应的函数值小于或等于0，且
对应的函数值大于或等于即可．
【详解】
（1）∵抛物线
过点
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）由（1）可得
，
在
范围内，
的最大值只可能在
或
处取得．
当
时，
，当
时，
．
①若
时，即
时，得
，
∴
，得
．
②若
，即
时，得
，此时
，舍去．
③
，即
时，得
，
∴
，
，舍去．
∴综上知，
的值为
．
（3）设直线
的解析式为
，
∵直线
过点
，
，
∴
，∴
，
∴
．
将线段
向右平移2 个单位得到线段
，
∴
的解析式满足
，即
．
又∵抛物线的解析式为
，
∴
．
又∵线段
与抛物线
在
范围内仅有一个交点，
即方程
在
的范围内仅有一个根，
整理得
在
的范围内仅有一个根，
即抛物线
在
的范围内与
轴仅有一个交点．
只需当
对应的函数值小于或等于0，且
对应的函数值大于或等于即可．
即
时，
，得
，
当
时，
，得
，
综上
的取值范围为
．
【点睛】
本题考查一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数的最值、图像与x 轴的交点与方程的根的情况、熟
练掌握二次函数的图像知识是解题的关键
55．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A（﹣
，0），B（2，0）两
点，与y 轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D 为第一象限内抛物线上一点，连接AD，BC 交于点E，求
的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O 作直线l∥BC，点P，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第
四象限内是否存在这样的点P，使△BPQ∽△CAB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，若不
存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
的最大值为
；（3）
或
【分析】
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）构造出△AGE∽△DEH，可得
，而DE 和AG 都可以用含自变量的式子表示，最后用二次
函数最大值的方法求值．
（3）先发现△ABC 是两直角边比为2：1 的直角三角形，由△BPQ∽△CAB，构造出△BPQ，表示出Q 点的
坐标，代入解析式求解即可．
【详解】
解：（1）分别将C（0，1）、A（﹣
，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+c 中得
，
解得：
，
∴抛物线的函数表达式为
．
（2）过A 作AG∥y 轴交BC 的延长线于点G，过点D 作DH∥y 轴交BC 于点H，
∵B（2，0）C（0，1），
∴直线BC：y＝
x+1，
∵A（-
，0），
∴G（-
，
），
设D（
），则H（
），
∴DH＝（
）﹣（
），
＝﹣m2+2m，
∴AG=
，
∵AG∥DH，
∴
，
∴当m＝1 时，
的最大值为
．
（3）符合条件的点P 坐标为（
）或（
）．
∵l∥BC，
∴直线l 的解析式为：y＝-
x，
设P（n，-
n），
∵A（-
，0），B（2，0），C（0，1），
∴AC2＝
，BC2＝5，AB2＝
．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
∵△BPQ∽△CAB，
∴
，
分两种情况说明：
①如图3，过点P 作PN⊥x 轴于N，过点Q 作QM⊥x 轴于M．
∵∠PNB＝∠BMQ＝90°，
∠NBP+∠MBQ＝90°，
∠MQB+∠MBQ＝90°，
∴∠NBP＝∠MQB．
∴△NBP∽△MQB，
∴
，
∵
，
∴
，
∴BN＝2﹣n，
∴BM＝2PN＝n，QM＝2BN＝4﹣2n，
∴OM＝OB+BM＝2+n，
∴Q（2+n，2n﹣4），
将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：
，
2n2+9n﹣8＝0，
解得：
∴P(
)．
②如图4，过点P 作PN⊥x 轴于N，过点Q 作QM⊥x 轴于M．
∵△PNB∽△BMQ，
又∵△BPQ∽△CAB，
∴
，
∵
，
∴Q（2﹣n，4﹣2n），
将Q 的坐标代入抛物线的解析式得：
，
化简得：2n2﹣9n+8＝0，
解得：
，
∴P(
)．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定
理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与一元二次方程，掌握待定系数法求抛物线解析式，平行线
分线段成比例，利用二次函数求线段比的最大值，勾股定理逆定理，相似三角形判定与性质，抛物线与
一元二次方程的关系是解题关键．
