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24.1 圆的有关性质
【基础训练】
一、单选题
1．P 为⊙O 内一点，
，⊙O 半径为5，则经过P 点的最短弦长为（ ）
A．5
B．6
C．8
D．10
2．如图，点
，
，
在⊙O 上，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，
是
的直径，
、
是
上的两点，若
，则
（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
4．如图，在
中，
为直径，
为弦，已知
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点C，D 在⊙O 上．若∠AOD＝30°，则∠BCD 的度数是（ ）
A．100°
B．105°
C．110°
D．120°
6．如图，
是四边形
的外接圆，连接
和
，且
，则
的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，点
、
、
在⊙O 上，
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上的点，
＝
．若∠CBA＝40°，则∠CBD 的大小为（
）
A．50°
B．40°
C．25°
D．20°
9．如图，四边形
内接于⊙O，若
，则
的度数为（ ）
A．18
B．72
C．100
D．108
10．如图，
是
的外接圆，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC 的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
12．如图，AB 为⊙O 的直径，C，D 为⊙O 上两点，若∠BDC＝30°，则∠ABC 的大小为（ ）
A．30°
B．60°
C．70°
D．80°
13．如图，圆
的弦中最长的是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．如图，点A，B，C 是⊙O 上点，且∠AOB＝60°，则∠ACB 等于（ ）
A．25°
B．30°
C．45°
D．60°
15．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A＝24°，则BC 弧的度数为（ ）
A．66°
B．48°
C．33°
D．24°
16．已知：如图，
是
的两条半径，
，点C 在
上，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．直径所在直线是圆的对称轴
18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O，E 为CD 延长线上一点，若∠B＝110°，则∠ADE 的度数为（
）
A．35°
B．55°
C．70°
D．110°
19．如图，在
中，AB、CD 是
的直径，若
，则∠C=（ ）
A．20°
B．35°
C．55°
D．70°
20．如图，
是
的直径，
是
的弦．若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．如图，已知
为
的直径，点C 在
上，
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．如图，在
中，
为半径，
为弦，若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
23．如图，C，D 是⊙O 上位于直径AB 异侧的两点，若∠ACD=20°，则∠BAD 的度数是（ ）
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
24．往水平放置的半径为
的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度
，则水的最大深度为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．如图，点A，D，B，C 是圆O 上的四个点，连接
，
相交于点E，若
，
，则
的度数为（ ）
A．95°
B．90°
C．85°
D．80°
26．如图，点
，
在
上，
是
的直径，若
，则
等于（ ）
A．33°
B．43°
C．28.5°
D．57°
27．如图，
中所对的圆周
，点P 在劣弧
上，
，则
的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
28．如图，
内接于
，CD 是
的直径，
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图，
的半径
为
，
于点
，
，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．如图，矩形
的边
，
分别在
轴、
轴的正半轴上，点
在
的延长线上．若
，
，以
为圆心、
长为半径的弧经过点
，交
轴正半轴于点
，连接
，
、
则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．如图，点
，
，
在
上，
，则
的度数为______．
32．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以
锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，
用锯去锯这木材，锯口深
等于1 寸，锯道
长1 尺，问圆形木材的直径是多少？（1 尺＝10 寸）
答：圆形木材的直径___________寸；
33．弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1 弧度角，记作
．
已知
，则
与
的大小关系是
________
．
34．如图，
是
的内接三角形，
，
，则
__________________．
35．如图，已知AD 是∠BAC 的平分线，以线段AB 为直径作圆，交∠BAC 和角平分线于C，D 两点过D 向
AC 作垂线DE 垂足为点E，若
，则直径
________．
三、解答题
36．如图，
的弦
相交于点P，且
．求证
．
37．如图，
在
方格中，点
在格点上，按要求画图；
（1）在图1 中画出
，使得
，点
为格点．
（2）在图2 中画出
，使得
，点
为格点．
38．如图，
是
的直径，
、
两点在
上，若
．
（1）求
的度数；
（2）若
，
，求
的半径．
39．已知如图，
的直径
垂直于弦
，垂足为E，
，半径为2，则弦
的长为多少？
40．如图①，在
中，弦
垂直直径
于点
．已知
，
．
（1）求直径
的长．
（2）小慧说“若将题目条件中的‘直径
’改为‘弦
’，其余条件均不变（如图②），
的直
径仍不变”，你觉得小慧的说法正确吗？请说明理由．
41．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，BD 为⊙O 的直径，过点C 作CE⊥BD，垂足为E．
（1）求证：∠BAC＝∠BCE；
（2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD 的长．
42．如图，在梯形ABCD 中，CD
AB，AB＝10，以AB 为直径的⊙O 经过点C、D，且点C、D 三等分弧
AB．
（1）求CD 的长；
（2）已知点E 是劣弧DC 的中点，联结OE 交边CD 于点F，求EF 的长．
43．如图，在Rt
ABO 中，
，以点
为圆心，
为半径的圆交
于点
，交
于点
．
（1）若
，则弧
的度数为 ．
（2）若
，
，求
的长．
44．如图，
是⊙O 的直径，弦
与
交于点
，过点
作
交⊙O 于点
，若
为
的中点．
（1）求证：
；
（2）连接
，
，若
，求
的度数．
45．如图，四边形
是
的内接四边形，
平分
，连结
，
．
（1）求证：
；
（2）若
等于
，求
的度数．
46．如图，AB 是圆O 的直径，点C、D 为圆O 上的点，满足：
，AD 交OC 于点E．已知OE＝
3，EC＝2
（1）求弦AD 的长；
（2）请过点C 作AB 的平行线交弦AD 于点F，求线段EF 的长．
47．如图，
是半圆O 的直径，C，D 是半圆O 上的两点，且
，
与
交于点E．若
，求
的度数．
48．如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切于点C 时，另一边与圆两个交点A
和B 的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）求该圆的半径．
49．已知如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是圆上的两点，且
，若
，求
的度数．
50．如图1 是校园内的一种铁制乒乓球桌，其侧面简化结构如图2 所示，直线型支架的上端A，B 与台面下
方相连，与圆弧形底座支架EF 在C，D 处相连接，支架AC 与BD 所在的直线过
的圆心，若AB＝200
cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，
，AB 平行于地面EF，
最顶端与AB 的距离为2 cm．
（1）求
的半径；
（2）若台面AB 与地面EF 之间的距离为72 cm，求E，F 两点之间的距离．（精确到1 cm，参考数据：
≈1.7，
≈137）
51．如图，在
中，
为
的弦，
是直线
上两点，且
，求证：
为等腰
三角形．
52．如图，点A，B，C 在⊙O 上，AC
OB，若∠BOC＝56°，求∠OBA 的度数．
53．如图，MB，MD 是⊙O 的两条弦，点A，C 分别在弧MB，弧MD 上，且AB＝CD，点M 是弧AC 的中
点．
（1）求证：MB＝MD；
（2）过O 作OE⊥MB 于E，OE＝1，⊙O 的半径是2，求MD 的长．
54．我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”，也把其中的一条弦叫做
另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙O 的两条弦AB⊥CD，则AB、CD 互为“十字弦”，AB 是CD 的
“十字弦”，CD 也是AB 的“十字弦”．
（概念理解）
（1）若⊙O 的半径为5，一条弦AB =8，则弦AB 的“十字弦”CD 的最大值为 ，最小值为 ．
（2）如图2，若⊙O 的弦CD 恰好是⊙O 的直径，弦AB 与CD 相交于H，连接AC，若AC= 12，DH =7，
CH =9，求证︰AB、CD 互为“十字弦”；
（问题解决）
（3）如图3，在⊙O 中，半径为
，弦AB 与CD 相交于H，AB、CD 互为“十字弦”且AB=CD，
，则CD 的长度 ．
55．如图，
是
的直径，弦
于
，连接
，过点
作
于
，若
，
，
（1）求
的半径；
（2）求
到弦
的距离．
56．如图，在圆
中，若
，且
，求
的长度．
57．已知，
中，
，
是
上的点，
．
（1）如图①，求证
；
（2）如图②，连接
，
，
，
，若
，求
，
的大小．
58．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD，连接OD，AC，若
．
（1）求证：
．
（2）求
的度数．
59．已知AB 是⊙O 的直径．
（1）如图①，
，∠MON＝35°，求∠AON 的大小；
（2）如图②，E，F 是⊙O 上的两个点，AD⊥EF 于点D，若∠DAE＝20°，求∠BAF 的大小．
60．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OD⊥AB，垂足为C，点E 在⊙O 上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠DEB＝30°，求∠AOD 的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O 的半径长．
