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2021 年湖北省随州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，每小题给出的四个选项中，只有
一个是正确的）
1．2021 的相反数是（ ）
A．﹣2021
B．2021
C．
D．﹣
2．从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700 万，其中5700 万用
科学记数法可表示为（ ）
A．5.7×106
B．57×106
C．5.7×107
D．0.57×108
3．如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2 为（
）
A．15°
B．25°
C．35°
D．45°
4．下列运算正确的是（ ）
A．a﹣2＝﹣a2
B．a2+a3＝a5
C．a2•a3＝a6
D．（a2）3＝a6
5．如图是小明某一天测得的7 次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ）
A．测得的最高体温为37.1℃
B．前3 次测得的体温在下降
C．这组数据的众数是36.8
D．这组数据的中位数是36.6
6．如图是由4 个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（
）
A．主视图和左视图
B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图
D．三个视图均相同
7．如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方
形
内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，某梯子长10 米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α 时，梯子
顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使
梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝
，则梯子顶端上升了（ ）
A．1 米
B．1.5 米
C．2 米
D．2.5 米
9．根据图中数字的规律，若第n 个图中的q＝143，则p 的值为（ ）
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A．100
B．121
C．144
D．169
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c 的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点A（﹣2，
0）和点B，与y 轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①
＞0；②2b
﹣4ac＝1；③a＝
；④当﹣1＜b＜0 时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴
对称的两点M，N（点M 在点N 左边），使得AN⊥BM，其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题（本大题共有6 小题，每小题3 分，共18 分，只需要将结果直接填写在答题卡
对应题号处的横线上）
11．计算：|
﹣1|+（π﹣2021）0＝ ．
12．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO 并延长交⊙O 于点D，若∠C＝50°，则
∠BAD 的度数为 ．
13．已知关于x 的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若
+
＝
3，则k＝ ．
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14．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝
，将△ABC 绕点A 逆时针旋
转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB 边上，则点B 所经过的路
径长为 ．（结果保留π）
15．2021 年5 月7 日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲
之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率
π 精确到小数点后第七位的人，他给出π 的两个分数形式：
（约率）和
（密
率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，
其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为
和
（即有
＜x＜
，其
中a，b，c，d 为正整数），则
是x 的更为精确的近似值．例如：已知
＜π＜
，则利用一次“调日法”后可得到π 的一个更为精确的近似分数为：
＝
；由于
≈3.1404＜π，再由
＜π＜
，可以再次使用“调日法”得到π 的
更为精确的近似分数…现已知
＜
＜
，则使用两次“调日法”可得到
的近似分
数为 ．
16．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，O 为AB 的中点，OD 平分∠AOC 交AC 于点G，
OD ＝OA ，BD 分别与AC ，OC 交于点E ，F ，连接AD，CD ，则
的值为
；若CE＝CF，则
的值为 ．
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三、解答题（本大题共8 小题，共72 分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过
程）
17．（5 分）先化简，再求值：（1+
）÷
，其中x＝1．
18．（7 分）如图，在菱形ABCD 中，E，F 是对角线AC 上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）证明四边形BEDF 是菱形．
19．（10 分）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，
某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得
到如下统计表：
已接种
未接种
合计
七年级
30
10
40
八年级
35
15
a
九年级
40
b
60
合计
105
c
150
（1）表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是 年级教师；（填“七”
或“八”或“九”）
（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000 名教师，根据抽样结果估计未接种的教
师约有 人；
（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4 名教师（其中七年级1 名，八年级1
名，九年级2 名）中随机选取2 名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，
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求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．
20．（8 分）如图，一次函数y1＝kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与反比例函
数y2＝
（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接OD，求△BOD 的面积．
21．（9 分）如图，D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点D 的切线DE 交AB 的延长线于
点E，过点B 作BC⊥DE 交AD 的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若⊙O 的直径AB 为9，sinA＝
．
①求线段BF 的长；
②求线段BE 的长．
22．（10 分）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长
为16 米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1 米的墙
体A 处，另一端固定在离地面高2 米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2 所示的平面
直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A 的水平距离x（米）
之间的关系满足y＝﹣
x2+bx+c，现测得A，B 两墙体之间的水平距离为6 米．
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（1）直接写出b，c 的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为
米的竹竿支架若干，已知大棚内
可以搭建支架的土地平均每平方米需要4 根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
23．（11 分）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面
积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同
高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解
决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3 和4，则该直角三角形斜边上的高的长为
，其内切圆的半径长为 ；
（2）①如图1，P 是边长为a 的正△ABC 内任意一点，点O 为△ABC 的中心，设点P
到△ABC 各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知
a
（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝ ；（结果用含a 的
式子表示）
②如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边
距离分别为h1 ，h2 ，h3 ，h4 ，h5 ，参照①的探索过程，试用含a 的式子表示
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h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈
，tan54°≈
）
（3）①如图3，已知⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 外一点，OA＝4，AB 切⊙O 于点B，
弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ；（结果保留
π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛
形状改造成五边形ABCDG，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面
积
不
变
，
试
确
定
点
G
的
位
置
，
并
说
明
理
由
24．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣1，0）和点
B，与y 轴交于点C，顶点D 的坐标为（1，﹣4）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P 的坐标；
（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN⊥x 轴交抛物线于点N，Q 是直
线AC 上一个动点，当△QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q
的坐标．
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2021 年湖北省随州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分，每小题给出的四个选项中，只有
一个是正确的）
1．2021 的相反数是（ ）
A．﹣2021
B．2021
C．
D．﹣
【分析】利用相反数的定义分析得出答案，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：2021 的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．从今年公布的全国第七次人口普查数据可知，湖北省人口约为5700 万，其中5700 万用
科学记数法可表示为（ ）
A．5.7×106
B．57×106
C．5.7×107
D．0.57×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的
值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：5700 万＝57000000＝5.7×107，
故选：C．
3．如图，将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上，若∠1＝45°，则∠2 为（
）
A．15°
B．25°
C．35°
D．45°
【分析】过三角形的60°角的顶点F 作EF∥AB，先根据平行线的性质即推出∠EFG＝
∠1＝45°，进而求出∠EFH＝15°，再根据平行线的性质即可求出∠2 的度数．
【解答】解：过三角形的60°角的顶点F 作EF∥AB，
∴∠EFG＝∠1＝45°，
∵∠EFG+∠EFH＝60°，
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∴∠EFH＝60°﹣∠EFG＝60°﹣45°＝15°，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠2＝∠EFH＝15°，
故选：A．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a﹣2＝﹣a2
B．a2+a3＝a5
C．a2•a3＝a6
D．（a2）3＝a6
【分析】分别根据负整数指数幂的定义，合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及幂
的乘方运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a﹣2＝﹣
，故本选项不合题意；
B．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
5．如图是小明某一天测得的7 次体温情况的折线统计图，下列信息不正确的是（ ）
A．测得的最高体温为37.1℃
B．前3 次测得的体温在下降
C．这组数据的众数是36.8
D．这组数据的中位数是36.6
【分析】根据统计图和中位数，众数的定义分别进行解答，即可求出答案．
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【解答】解：由拆线统计图可以看出这7 次的体温数据从第1 次到第7 次分别为
37.1℃、37.0℃、36.5℃、36.6℃、36.8℃、36.8℃、36.7℃．
A、测得的最高体温为37.1℃，故A 不符合题意；
B、观察可知，前3 次的体温在下降，故B 不符合题意；
C、36.8℃出现了2 次，次数最高，故众数为36.8℃，故C 不符合题意；
D、这七个数据排序为36.5℃，36.6℃，36.7℃，36.8℃，36.8℃，37.0℃，37.1℃．中位
数为36.8℃．故D 符合题意．
故选：D．
6．如图是由4 个相同的小正方体构成的一个组合体，该组合体的三视图中完全相同的是（
）
A．主视图和左视图
B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图
D．三个视图均相同
【分析】先得到该几何体的三视图，再进行判断即可．
【解答】解：如图所示：
故该组合体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，
故选：A．
7．如图，从一个大正方形中截去面积为3cm2和12cm2的两个小正方形，若随机向大正方
形
内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【分析】由两个小正方形面积可推出最大正方形的边长及面积，从而可求阴影部分的面
积，根据米粒落在图中阴影部分的概率为阴影部分与大正方形面积比即可得到答案．
【解答】解：由图可知大正方形中的两个小正方形连长分别为2
cm、
cm．
∴大正方形的边长为
＝3
（cm）．
则大正方形的面积为
＝27，
阴影部分的面积为27﹣12﹣3＝12（cm2）．
则米粒落在图中阴影部分的概率为
＝
．
故选：A．
8．如图，某梯子长10 米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α 时，梯子
顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使
梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝
，则梯子顶端上升了（ ）
A．1 米
B．1.5 米
C．2 米
D．2.5 米
【分析】在Rt△ABC 中，AC＝sinα×AB＝6（米），在Rt△DEC 中，DC＝cosβ×AB＝6
（米），用勾股定理可求EC＝8（米），最后AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米），即得答
案．
【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC 中，AC＝sinα×AB＝
＝6（米）；
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在Rt△DEC 中，DC＝cosβ×AB＝
＝6（米），EC＝
＝
＝8
（米）；
∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．
故选：C．
9．根据图中数字的规律，若第n 个图中的q＝143，则p 的值为（ ）
A．100
B．121
C．144
D．169
【分析】每个图形中，左边三角形上的数字即为图形的序数n，右边三角形上的数字为
p＝n2，下面三角形上的数字q＝（n+1）2﹣1，先把q＝143 代入求出n 的值，再进一步
求出p 的值．
【解答】解：通过观察可得规律：p＝n2，q＝（n+1）2﹣1，
∵q＝143，
∴（n+1）2﹣1＝143，
解得：n＝11，
∴p＝n2＝112＝121，
故选：B．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c 的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点A（﹣2，
0）和点B，与y 轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①
＞0；②2b
﹣4ac＝1；③a＝
；④当﹣1＜b＜0 时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴
对称的两点M，N（点M 在点N 左边），使得AN⊥BM，其中正确的有（ ）
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【分析】首先根据函数图象可判断a，b，c 的符号，a＞0，b＜0，c＜0，从而可判断①
错误；由OB＝2OC 可推出点B（﹣2c，0）代入解析式化简即可判断②正确；由抛物线
与x 轴的交点A（﹣2，0）和点B（﹣2c，0），再结合韦达定理可得x1•x2＝
＝（﹣
2）×（﹣2c）＝4c，可得a＝
，即可判断③正确；根据a＝
，2b﹣4ac＝1，可得c＝
2b﹣1，从而可得抛物线解析式为y＝
x2+bx+（2b﹣1），顶点坐标为（﹣2b，﹣b2+2b
﹣1），继而可求得A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．所以对称轴为直线x＝﹣2b．要使
AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P 一定在对称轴上，则△APB 为等腰直角
三角形，PQ＝PQ＝
＝2﹣2b，得P（﹣2b，2b﹣2），且2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，解
得b＞1 或b＜﹣1，故可判断④错误．
【解答】解：∵A（﹣2，0），OB＝2OC，
∴C（0，c），B（﹣2c，0）．
由图象可知，a＞0，b＜0，c＜0．
①：∵a＞0，b＜0，
∴a﹣b＞0，
∴
．故①错误；
②：把B（﹣2c，0）代入解析式，得：
4ac2﹣2bc+c＝0，又c≠0，
∴4ac﹣2b+1＝0，
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即2b﹣4ac＝1，故②正确；
③：∵抛物线与x 轴交于点A（﹣2，0）和点B（﹣2c，0），
∴x1＝﹣2 和x2＝﹣2c 为相应的一元二次方程的两个根，
由韦达定理可得：x1•x2＝
＝（﹣2）×（﹣2c）＝4c，
∴a＝
．故③正确；
④：如图，
∵a＝
，2b﹣4ac＝1，
∴c＝2b﹣1．
故原抛物线解析式为y＝
x2+bx+（2b﹣1），顶点坐标为（﹣2b，﹣b2+2b﹣1）．
∵C（0，2b﹣1），OB＝2OC，
∴A（﹣2，0），B（2﹣4b，0）．
∴对称轴为直线x＝﹣2b．
要使AN⊥BM，由对称性可知，∠APB＝90°，且点P 一定在对称轴上，
∵△APB 为等腰直角三角形，
∴PQ＝
＝
[2﹣4b﹣（﹣2）]＝2﹣2b，
∴P（﹣2b，2b﹣2），且有2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1，
整理得：b2＞1，
解得：b＞1 或b＜﹣1，这与﹣1＜b＜0 矛盾，故④错误．
综上所述，正确的有②③，一共2 个，
故选：B．
二、填空题（本大题共有6 小题，每小题3 分，共18 分，只需要将结果直接填写在答题卡
对应题号处的横线上）
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11．计算：|
﹣1|+（π﹣2021）0＝
．
【分析】利用绝对值和零指数幂的性质进行求解即可．
【解答】解：|
﹣1|+（π﹣2021）0
＝
﹣1+1
＝
．
故答案为：
．
12．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO 并延长交⊙O 于点D，若∠C＝50°，则
∠BAD 的度数为
40°
．
【分析】连接BD，由圆周角定理的推论可知∠ABD＝90°，因为∠C 与∠ADB 所对的弧
为
，所以∠ADB＝∠C＝50°．所以∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．
【解答】解：连接BD，如图．
∵AD 为直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠C 与∠ADB 所对的弧为
，
∴∠ADB＝∠C＝50°．
∴∠BAD＝90°﹣∠ADB＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
13．已知关于x 的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，若
+
＝
3，则k＝
．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，将其代入已知等式，列出关
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于k 的方程，解方程即可．
【解答】解：∵关于x 的方程x2﹣（k+4）x+4k＝0（k≠0）的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝4k，
∴
+
＝
＝
＝3．
解得k＝
．
经检验，k＝
是原方程的解．
故答案为：
．
14．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝
，将△ABC 绕点A 逆时针旋
转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，并使点C′落在AB 边上，则点B 所经过的路
径长为
π
．（结果保留π）
【分析】由直角三角形的性质可求∠BAC＝60°，AB＝3，由旋转的性质可求∠BAB'＝
∠BAC＝60°，由弧长公式可求解．
【解答】解：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，BC＝
，
∴∠BAC＝60°，cos∠ABC＝
，
∴AB＝3，
∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△AB′C′，
∴∠BAB'＝∠BAC＝60°，
∴点B 所经过的路径长＝
＝
π，
故答案为：
π．
15．2021 年5 月7 日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲
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之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率
π 精确到小数点后第七位的人，他给出π 的两个分数形式：
（约率）和
（密
率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，
其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为
和
（即有
＜x＜
，其
中a，b，c，d 为正整数），则
是x 的更为精确的近似值．例如：已知
＜π＜
，则利用一次“调日法”后可得到π 的一个更为精确的近似分数为：
＝
；由于
≈3.1404＜π，再由
＜π＜
，可以再次使用“调日法”得到π 的
更为精确的近似分数…现已知
＜
＜
，则使用两次“调日法”可得到
的近似分
数为
．
【分析】根据“调日法”逐次进行计算求解．
【解答】解：∵
，
∴利用一次“调日法”后可得到
的一个更为精确的近似分数为：
，
∵
且
，
∴
，
∴再次使用“调日法”得到π 的更为精确的近似分数为：
．
故答案为：
．
16．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，O 为AB 的中点，OD 平分∠AOC 交AC 于点G，
OD＝OA，BD 分别与AC，OC 交于点E，F，连接AD，CD，则
的值为
；若
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18
CE＝CF，则
的值为
．
【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得到OA＝OC，即三角形
OAC 是等腰三角形，又由“三线合一”的性质得到点G 是AC 的中点，可得OG 是
△ABC 的中位线，可得
＝
；由CE＝CF，可得∠CEF＝∠CFE，再根据“对顶角相
等”，“直角三角形两锐角互余”等可得∠OFB+∠OBD＝90°，即△OBC 是等腰直角三
角形，再由OG∥BC，得△BCF∽△DOF，则
＝
＝
＝
．
【解答】解：①在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，O 为AB 的中点，
∴OA＝OC＝OB，
∵OD 平分∠AOC，
∴OG⊥AC，且点G 为AC 的中点，
∴OG∥BC，且OG＝
BC，即
＝
；
②∵OD＝OA，
∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵OG⊥AC，
∴∠DGE＝90°，
∴∠GDE+∠DEG＝90°，
∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE，
∵∠CEF＝∠DEG，∠CFE＝∠OFB，∠ODB＝∠OBD，
∴∠OFB+∠OBD＝90°，
∴∠FOB＝90°，即CO⊥AB，
∴△OBA 是等腰直角三角形，
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19
∴BC：OB＝
；
由（1）知，OG∥BC
∴△BCF∽△DOF，
∴
＝
＝
＝
．
故答案为：
；
．
三、解答题（本大题共8 小题，共72 分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过
程）
17．（5 分）先化简，再求值：（1+
）÷
，其中x＝1．
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式
子即可解答本题．
【解答】解：（1+
）÷
＝
＝
＝
，
当x＝1 时，原式＝
＝﹣2．
18．（7 分）如图，在菱形ABCD 中，E，F 是对角线AC 上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）证明四边形BEDF 是菱形．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△CDF；
（2）由菱形的性质可得BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，可求EO＝FO，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，
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20
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE 和△CDF 中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）如图，连接BD，交AC 于O，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF 是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF 是菱形．
19．（10 分）疫苗接种初期，为更好地响应国家对符合条件的人群接种新冠疫苗的号召，
某市教育部门随机抽取了该市部分七、八、九年级教师，了解教师的疫苗接种情况，得
到如下统计表：
已接种
未接种
合计
七年级
30
10
40
八年级
35
15
a
九年级
40
b
60
合计
105
c
150
（1）表中，a＝
50
，b＝
20
，c＝
45
；
（2）由表中数据可知，统计的教师中接种率最高的是 七 年级教师；（填“七”或
“八”或“九”）
（3）若该市初中七、八、九年级一共约有8000 名教师，根据抽样结果估计未接种的教
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21
师约有
2400
人；
（4）为更好地响应号召，立德中学从最初接种的4 名教师（其中七年级1 名，八年级1
名，九年级2 名）中随机选取2 名教师谈谈接种的感受，请用列表或画树状图的方法，
求选中的两名教师恰好不在同一年级的概率．
【分析】（1）由统计表中的数据求解即可；
（2）分别求出七、八、九年级教师的接种率，即可得出结论；
（3）由该市初中七、八、九年级共有的人数乘以未接种的教师所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12 种等可能的结果，选中的两名教师恰好不在同一年级的结果有
10 种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）a＝35+15＝50，b＝60﹣40＝20，c＝10+15+20＝45，
故答案为：50，20，45；
（2）七年级教师的接种率为：30÷40＝0.75，八年级教师的接种率为：35÷50＝0.7，九
年级教师的接种率为：40÷60≈0.67，
∵0.75＞0.7＞0.67，
∴统计的教师中接种率最高的是七年级教师，
故答案为：七；
（3）根据抽样结果估计未接种的教师约有：8000×
＝2400（人），
故答案为：2400；
（4）把七年级1 名教师记为A，八年级1 名教师记为B，九年级2 名教师记为C、D，
画树状图如图：
共有12 种等可能的结果，选中的两名教师恰好不在同一年级的结果有10 种，
∴选中的两名教师恰好不在同一年级的概率为
＝
．
20．（8 分）如图，一次函数y1＝kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与反比例函
数y2＝
（m＞0）的图象交于点C（1，2），D（2，n）．
（1）分别求出两个函数的解析式；
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（2）连接OD，求△BOD 的面积．
【分析】（1）将C、D 代入反比例函数中即可求出m、n 的值，代入一次函数中即可分
别求出两个函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求出点B 坐标即可根据三角形面积计算公式求出S△BOD．
【解答】解：（1）由y2＝
过点C（1，2）和D（2，n）可得：
，
解得：
，
故y2＝
，
又由y1＝kx+b 过点C（1，2）和D（2，1）可得：
，
解得
，
故y1＝﹣x+3．
（2）由y1＝﹣x+3 过点B，可知B（0，3），
故OB＝3，
而点D 到y 轴的距离为2，
∴S△BOD＝
＝3．
21．（9 分）如图，D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点D 的切线DE 交AB 的延长线于
点E，过点B 作BC⊥DE 交AD 的延长线于点C，垂足为点F．
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23
（1）求证：AB＝BC；
（2）若⊙O 的直径AB 为9，sinA＝
．
①求线段BF 的长；
②求线段BE 的长．
【分析】（1）连接OD，则OD⊥DE，利用BC⊥DE，可得OD∥BC，通过证明得出
∠A＝∠C，结论得证；
（2）①连接BD，在Rt△ABD 中，利用sinA＝
求得线段BD 的长；在Rt△BDF 中，
利用sin∠A＝sin∠FDB，解直角三角形可得结论；
②利用△EBF∽△EOD，列出比例式即可得到结论．
【解答】解：（1）证明：连接OD，如图，
∵DE 是⊙O 的切线，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA＝∠C．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A．
∴∠A＝∠C．
∴AB＝BC．
（2）①连接BD，则∠ADB＝90°，如图，
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在Rt△ABD 中，
∵sinA＝
，AB＝9，
∴BD＝3．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB．
∴sin∠A＝sin∠FDB．
在Rt△BDF 中，
∵sin∠BDF＝
＝
，
∴BF＝1．
②由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴
．
即：
．
解得：BE＝
．
22．（10 分）如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长
为16 米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1 米的墙
体A 处，另一端固定在离地面高2 米的墙体B 处，现对其横截面建立如图2 所示的平面
直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度y（米）与其离墙体A 的水平距离x（米）
之间的关系满足y＝﹣
x2+bx+c，现测得A，B 两墙体之间的水平距离为6 米．
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（1）直接写出b，c 的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为
米的竹竿支架若干，已知大棚内
可以搭建支架的土地平均每平方米需要4 根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
【分析】（1）根据题意可推出点A 坐标为（0，1），点B 坐标为（6，2），将这两点
坐标代入二次函数表达式即可求得b、c 的值；
（2）将二次函数一般式化为顶点式，即可求得大棚的最高点；
（3）先求出大棚内可以搭建支架土地的宽，再求需要搭建支架部分的面积，进而求得
需要准备的竹竿．
【解答】解：（1）b═
，c═1．
（2）由y═
═
，
可知当x═
时，y 有最大值
，
故大棚最高处到地面的距离为
米；
（3）令y═
，则有
═
，
解得x1═
，x2═
，
又∵0≤x≤6，
∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为6﹣
═
（米），
又大棚的长为16 米，
∴需要搭建支架部分的土地面积为16×
═88（平方米），
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26
故共需要88×4═352（根）竹竿，
答：共需要准备352 根竹竿．
23．（11 分）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面
积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同
高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解
决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．
（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3 和4，则该直角三角形斜边上的高的长为
，其内切圆的半径长为
1
；
（2）①如图1，P 是边长为a 的正△ABC 内任意一点，点O 为△ABC 的中心，设点P
到△ABC 各边距离分别为h1，h2，h3，连接AP，BP，CP，由等面积法，易知
a
（h1+h2+h3）＝S△ABC＝3S△OAB，可得h1+h2+h3＝
；（结果用含a 的式子表示）
②如图2，P 是边长为a 的正五边形ABCDE 内任意一点，设点P 到五边形ABCDE 各边
距离分别为h1 ，h2 ，h3 ，h4 ，h5 ，参照①的探索过程，试用含a 的式子表示
h1+h2+h3+h4+h5的值．（参考数据：tan36°≈
，tan54°≈
）
（3）①如图3，已知⊙O 的半径为2，点A 为⊙O 外一点，OA＝4，AB 切⊙O 于点B，
弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积为
；（结果保留π）
②如图4，现有六边形花坛ABCDEF，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛
形状改造成五边形ABCDG，其中点G 在AF 的延长线上，且要保证改造前后花坛的面
积
不
变
，
试
确
定
点
G
的
位
置
，
并
说
明
理
由
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【分析】（1）先求出斜边长为5，由等面积法可得斜边上高为
，设其内切圆半径为
r ，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：S△ABC ＝
S△ACO+S△BCO+S△ABO，从而可得内切圆半径r＝1；
（2 ）①易知△ABC 的面积为
＝
，由等面积法可得：易知
a
（h1+h2+h3）＝S△ABC＝
，所以h1+h2+h3＝
，
②运用类比①的方法可得：
（h1+h2+h3+h4+h5）＝S 五边形ABCDE，设点O 为正五边形
ABCDE 的中心，连接OA，OB，易知S 五边形ABCDE＝5S△OAB，过O 作OQ⊥AB 于点Q，
由多边形内角和公式可得∠EAB＝108°，故∠OAQ＝54°，故
（h1+h2+h3+h4+h5）＝
5×
×
，解得h1+h2+h3+h4+h5＝
tan54°≈
．
（3）①根据等面积法，有S△OCB＝S△ACB，则图中阴影部分的面积即为扇形OCB 的面
积．可证明扇形OCB 圆心角度数为60°，则S 扇形OCB＝
＝
＝阴影面积，
②连接DF，过点E 作EG∥DF 交AF 的延长线于点G，则点G 即为所求，连接DG．运
用等面积法即可证明．
【解答】解：（1）如图所示，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝
＝5，设斜边上高为h，由等面积法可知：
AC•BC＝h•AB，
＝
．
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设其内切圆半径为r，利用分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积可得：
S△ABC＝S△ACO+S△BCO+S△ABO．
即3×4÷2＝
AC•r+
BC•r+
AB•r，
即
＝6，
∴r＝
＝
＝1．
故答案为：
，1；
（2）①：由已知中图可知，△ABC 的面积为
＝
，
由等面积法，易知
a（h1+h2+h3）＝S△ABC＝
，
解得：h1+h2+h3＝
．
故答案为：
．
②：类比①中方法可知
（h1+h2+h3+h4+h5）＝S 五边形ABCDE，
设点O 为正五边形ABCDE 的中心，连接OA，OB，如图2．
易知S 五边形ABCDE＝5S△OAB，
过O 作OQ⊥AB 于点Q，∠EAB＝
＝108°，
故∠OAQ＝54°，OQ＝AQ•tan54°＝
，
故
（h1+h2+h3+h4+h5）＝5×
×
，从而得到：
h1+h2+h3+h4+h5＝
tan54°≈
．
（3）①：若以BC 作为△OCB 和△ACB 的底，则△OCB 和△ACB 等高，
∴S△OCB＝S△ACB．
∴图中阴影部分的面积即为扇形OCB 的面积．
∵AB 切⊙O 于点B，
∴∠OBA＝90°，
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又OB＝2，OA＝4，
∴∠OAB＝30°，∠AOB＝60°，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝∠AOB＝60°，
∴△OCB 为等边三角形．
∴∠COB＝60°，
∴S 扇形OCB＝
＝
．
故阴影部分面积为
．
故答案为：
．
②如图3，连接DF，过点E 作EG∥DF 交AF 的延长线于点G，则点G 即为所求．
连接DG，
∵S 六边形ABCDEF＝S 五边形ABCDEF+S△DEF，
∵EG∥DF，
∴S△DEF＝S△DGF，
∴S 六边形ABCDEF＝S 五边形ABCDF+S△DGF＝S 五边形ABCDG．
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24．（12 分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣1，0）和点
B，与y 轴交于点C，顶点D 的坐标为（1，﹣4）．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足∠PCB＝∠CBD，求点P 的坐标；
（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN⊥x 轴交抛物线于点N，Q 是直
线AC 上一个动点，当△QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q
的坐标．
【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣
1，0）代入，求出a 即可得出答案；
（2）利用待定系数法求出直线BD 解析式为y＝2x﹣6，过点C 作CP1∥BD，交抛物线
于点P1，再运用待定系数法求出直线CP1 的解析式为y＝2x﹣3，联立方程组即可求出
P1 （4 ，5 ），过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，证明
△OCE≌△GCF（ASA），运用待定系数法求出直线CF 解析式为y＝
x﹣3，即可求出
P2（
，﹣
）；
（3）利用待定系数法求出直线AC 解析式为y＝﹣3x﹣3，直线BC 解析式为y＝x﹣3，
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31
再分以下三种情况：①当△QMN 是以NQ 为斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN
是以MQ 为斜边的等腰直角三角形时，③当△QMN 是以MN 为斜边的等腰直角三角形
时，分别画出图形结合图形进行计算即可．
【解答】解：（1）∵顶点D 的坐标为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点A（﹣1，0）代入，
得0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，
解得：a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（﹣1，0），
∴B（3，0），
设直线BD 解析式为y＝kx+e，
∵B（3，0），D（1，﹣4），
∴
，
解得：
，
∴直线BD 解析式为y＝2x﹣6，
过点C 作CP1∥BD，交抛物线于点P1，
设直线CP1的解析式为y＝2x+d，将C（0，﹣3）代入，
得﹣3＝2×0+d，
解得：d＝﹣3，
∴直线CP1的解析式为y＝2x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝2x﹣3，
解得：x1＝0（舍），x2＝4，
故P1（4，5），
过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G，
∵OB＝OC，∠BOC＝∠OBG＝∠OCG＝90°，
∴四边形OBGC 是正方形，
设CP1与x 轴交于点E，则2x﹣3＝0，
解得：x＝
，
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∴E（
，0），
在x 轴下方作∠BCF＝∠BCE 交BG 于点F，
∵四边形OBGC 是正方形，
∴OC＝OG＝BG＝3，∠COE＝∠G＝90°，∠OCB＝∠GCB＝45°，
∴∠OCB﹣∠BCE＝∠GCB﹣∠BCF，
即∠OCE＝∠GCF，
∴△OCE≌△GCF（ASA），
∴FG＝OE＝
，
∴BF＝BG﹣FG＝3﹣
＝
，
∴F（3，﹣
），
设直线CF 解析式为y＝k1x+e1，
∵C（0，﹣3），F（3，﹣
），
∴
，
解得：
，
∴直线CF 解析式为y＝
x﹣3，
结合抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可得x2﹣2x﹣3＝
x﹣3，
解得：x1＝0（舍），x2＝
，
∴P2（
，﹣
），
综上所述，符合条件的P 点坐标为：P1（4，5），P2（
，﹣
）；
（3）设直线AC 解析式为y＝m1x+n1，直线BC 解析式为y＝m2x+n2，
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∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴
，
解得：
，
∴直线AC 解析式为y＝﹣3x﹣3，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴
，
解得：
，
∴直线BC 解析式为y＝x﹣3，
设M（t，t﹣3），
①当△QMN 是以NQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时∠NMQ＝90°，MN＝MQ，如图
2，
∵MQ∥x 轴，
∴Q（﹣
t，t﹣3），
∴|t﹣3|＝|t﹣（﹣
t）|，
解得：t＝﹣9 或
，
∴M1（
，﹣
），Q1（
，﹣
）；M2（﹣9，﹣12），Q2（3，﹣12）；
②当△QMN 是以MQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MNQ＝90°，MN＝NQ，如图
3，
∵N（t，0），
∴Q（﹣1，0），
∴|t﹣3|＝|t﹣（﹣1）|，
解得：t＝1，
∴M3（1，﹣2），Q3（﹣1，0）；
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③当△QMN 是以MN 为斜边的等腰直角三角形时，此时∠MQN＝90°，MQ＝NQ，如图
4，
∴Q（﹣
，
），
∴|t﹣3|＝2|t﹣（﹣
）|，
解得：t＝﹣3 或
，
∴M4（﹣3，﹣6），Q4（0，﹣3）；M5（
，﹣
），Q5（﹣
，﹣
）；
综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：
M1（
，﹣
），Q1（
，﹣
）；M2（﹣9，﹣12），Q2（3，﹣12）；M3（1，﹣
2），Q3（﹣1，0）；M4（﹣3，﹣6），Q4（0，﹣3）；M5（
，﹣
），Q5（﹣
，﹣
）．
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