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让更多的孩子得到更好的教育
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
一元二次方程
，当
时，
.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：
．
①当
时，原方程有两个不等的实数根
；
②当
时，原方程有两个相等的实数根
；
③当
时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x 的一元二次方程
的步骤：
①把一元二次方程化为一般形式；
②确定a、b、c 的值（要注意符号）；
③求出
的值；
④若
，则利用公式
求出原方程的解；
若
，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选
用.
（2）一元二次方程
2
0 (
0)
ax
bx
c
a
，用配方法将其变形为：
2
2
2
4
(
)
2
4
b
b
ac
x
a
a
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①当
2
4
0
b
ac
时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
2
1,2
4
2
b
b
ac
x
a
② 当
2
4
0
b
ac
时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
1,2
2
b
x
a
③ 当
2
4
0
b
ac
时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因
式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等
于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以
含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
1．解关于x 的方程
2
(
)
(4
2 )
5
0
m
n x
m
n x
n
m
．
【答案与解析】
(1)当m+n＝0 且m≠0，n≠0 时，原方程可化为(4
2 )
5
0
m
m x
m
m
．
∵ m≠0，解得x＝1．
(2)当m+n≠0 时，
∵ a
m
n
，
4
2
b
m
n
，
5
c
n
m
，
∴
2
2
2
4
(4
2 )
4(
)(
5 )
36
0
b
ac
m
n
m
n n
m
m
，
∴
2
2
4
36
2
4
| 6
|
2(
)
2(
)
n
m
m
n
m
m
x
m
n
m
n
，
∴
1
1
x
，
2
5
n
m
x
m
n
．
【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．
举一反三：
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【高清ID 号：388515
关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2 练习】
【变式】解关于x 的方程
2
2
2
3 (
1)
x
mx
mx
x m
；
【答案】原方程可化为
2
(1
)
(
3)
2
0,
m x
m
x
∵
1
,
3,
2,
a
m b
m
c
∴
2
2
2
4
(
3)
8(1
)
(
1)
0
b
ac
m
m
m
≥，
∴
2
3
(
1)
3
(
1) ,
2(1
)
2(1
)
m
m
m
m
x
m
m
∴
1
2
2
,
1.
1
x
x
m
2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m；
【答案与解析】
方程整理为
2
2
4
21
4
5
4
0
m
m
m
m
m
，
∴
2
2
13
0
m
m
，∴ a＝1，b＝-2，c＝-13，
∴
2
2
4
( 2)
4 1 ( 13)
56
b
ac
，
∴
2
4
( 2)
56
2
2 1
b
b
ac
m
a
2
2 14
1
14
2
，
∴
1
1
14
m
，
2
1
14
m
．
【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.
举一反三：
【高清ID 号：388515
关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】
【变式】用公式法解下列方程：
【答案】∵
2
1,
3 ,
2
,
a
b
m c
m
∴
2
2
2
2
4
( 3 )
4 1 2
0
b
ac
m
m
m
≥
∴
2
3
3
2
2
m
m
m
m
x
∴
1
2
2 ,
.
x
m x
m
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类型二、因式分解法解一元二次方程
3．
（2016•荆门）已知3 是关于x 的方程x2﹣（m+1）x+2m=0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数
根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ）
A．7 B．10
C．11
D．10 或11
【思路点拨】把x=3 代入已知方程求得m 的值；然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根，即等腰
△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【答案】D
【解析】
解：把x=3 代入方程得9
3
﹣（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2
7x
﹣
+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，
①当△ABC 的腰为4，底边为3 时，则△ABC 的周长为4+4+3=11；
②当△ABC 的腰为3，底边为4 时，则△ABC 的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC 的周长为10 或11．
故选：D．
【总结升华】本题考查了一元二次方程的解，考查了解方程，也考查了三角形三边的关系．
举一反三：
【变式】解方程（2015·茂名校级一模）
（1）x2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．
【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0
∴x-3=0，x+1=0
∴x1=3,x2=-1.
（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x）=0
∴x-1=0，3x-1=0
∴x1=1,x2=
.
4．如果
2
2
2
2
(
)(
2)
3
x
y
x
y
，请你求出
2
2
x
y
的值．
【答案与解析】
设
2
2
x
y
z
，∴ z(z-2)＝3．
整理得：
2
2
3
0
z
z
，∴ (z-3)(z+1)＝0．
∴ z1＝3，z2＝-1．
∵
2
2
0
z
x
y
，∴ z＝-1(不合题意，舍去)
∴ z＝3．
即
2
2
x
y
的值为3．
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【总结升华】如果把
2
2
x
y
视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解
法可以解这个一元二次方程．此题看似求x、y 的值，然后计算
2
2
x
y
，但实际上如果把
2
2
x
y
看成一个整体，那么原方程便可化简求解。这里巧设
2
2
z
x
y
再求z 值，从而求出
2
2
x
y
的
值实际就是换元思想的运用．
易错提示:忽视
2
2
0
x
y
，而得
2
2
3
x
y
或
2
2
1
x
y
．
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