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反比例函数（提高）
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．
【要点梳理】
要点一、反比例函数的定义
一般地，形如
(k 为常数，
0
k
)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是
函数，自变量
的取值范围是不等于0 的一切实数.
要点诠释：
（1）在
中，自变量x 是分式
的分母，当
时，分式
无意义，所以
自变量x 的取值范围是
，函数y
的取值范围是
.故函数图
象与x 轴、y 轴无交点.
（2）
(
)可以写成
(
)的形式，自变量x 的指数是－
1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数
这一条件.
（3）
(
)也可以写成
的形式，用它可以迅速地求出反比例
函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数
中，只有一个待
定系数
，因此只需要知道一对
的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出
的值，
从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为：
(
0
k
)；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数
的值；
（4）把求得的
值代回所设的函数关系式
中.
要点三、反比例函数的图象和性质
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1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、
四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与
轴、轴相交，只是无限靠近两坐标
轴.
要点诠释：（1）若点(
)在反比例函数
的图象上，则点(
)也在此图象上，
所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数
(k 为常数，
0
k
) 中，由于
，所以两
个分支都无限接近但永远不能达到
轴和
轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0 为中心，在0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的
值，填写
值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从
小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近
坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由
的符号决定的：当
时，两支曲线分别位于第一、
三象限内，当
时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当
时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随
值的增大而减小；
（2）如图2，当
时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随
值的增大而增大；
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情
况，反比例函数的增减性都是由反比例系数
的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置
和函数的增减性，也可以推断出
的符号.
要点四：反比例函数
(
)中的比例系数
的几何意义
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过双曲线
x
k
y
(
0
k
) 上任意一点作
轴、
轴的垂线，所得矩形的面积为k .
过双曲线
x
k
y
(
0
k
) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形
的面积为2
k
.
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的
垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、反比例函数定义
1、当
为何值时
是反比例函数？
【思路点拨】根据反比例函数解析式
，也可以写成
的形式，后
一种表达方法中
的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为
且
，二者必须同时满足，缺一不可．
【答案与解析】
解：令
由①得，
＝±1，由②得，
≠1．
综上，
＝－1，即
＝－1 时，
是反比例函数．
【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：①
；②
；③
．
类型二、确定反比例函数解析式
2、若反比例函数
与一次函数
的图象都过点A(
，2)，
(1)求点A 的坐标．
(2)求反比例函数的解析式．
【答案与解析】
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解：(1)∵ 点A(
，2)在
的图象上．
∴
，解得
＝3．∴ A 点的坐标为(3，2) ．
(2)∵ 点A(3，2)在反比例函数
上，
∴
，解得
．∴ 反比例函数的解析式为
．
【总结升华】(1)因为点A(
，2)在一次函数
的图象上，所以只需将A 点坐标代入
即可求出
即A 点的坐标．(2)因为点A 也在
的图象上，只需将所得的A 点坐标代入
中即可求出反比例函数的解析式．
举一反三：
【变式】已知
，
与
成正比例，
与
成反比例，且当
＝1 时，＝7；当
＝2
时，
＝8．
(1)
与
之间的函数关系式；
(2)自变量的取值范围；
(3)当
＝4 时，
的值．
【答案】
解：(1)∵
与
成正比例，
∴ 设
．
∵
与
成反比例，
∴ 设
．
∴
．
把
与
分别代入上式，得
∴
所以
与
的函数解析式为
．
(2)自变量的取值范围是
≠0．
(3)当
＝4 时，
．
类型三、反比例函数的图象和性质
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3、若A(
1x ，
1y )、B(
2x ，
2y )在函数
的图象上，当
1x 、
2x 满足________时，
.
【答案】
或
或
；
【解析】
的图象在一、三象限，在每个象限内，随着
的增大，函数值
减小，所以
或
时，
. 当B 点在三象限，A 点在一象限，即
，也满足
.
【总结升华】反比例函数的增减性是在每个象限内讨论的，A、B 两点要分成同在一象限、同在
三象限和分属一、三象限讨论，这样才能把情况考虑完整.
举一反三：
【变式】如图所示，已知
≠0，在同一坐标系中，函数
与
的图象大致为下
面的（ ）．
【答案】D；
提示：同一平面直角坐标系中，要同时确定一次函数与反比例函数的图象，可分
＞
0、＜0 两种情况讨论．A 项中，
与
中的
大于0，但直线与
轴的交点位
于
轴下方，又应小于0，不符合题意；B 项中，
中的
＞0，而
中的
＜
0，不符合题意；C 项中，
与
的
均小于0，但是直线与
轴的交点又位于
轴的上方，
又应大于0，所以不符合题意．
类型四、反比例函数综合
4、如图所示，反比例函数的图象与一次函数
的图象交于M(2，
)，N(－1，
－4)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的
的取值范围．
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【思路点拨】(1)由点N 的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而
求出点M 的坐标．再根据M、N 的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象
位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的
的取值范围．
【答案与解析】
解：(1)设反比例函数的关系式为
．
由N(－1，－4)，得
，
∴
＝4．
∴ 反比例函数的关系式为
．
∵ 点M(2，
)在双曲线
上，
∴
．
∴ 点M(2，2)．
设一次函数的关系式为
，由M(2，2)、N(－1，－4)，得
解得
∴ 一次函数的关系式为
．
(2)由图象可知，当
＜－1 或0＜
＜2 时，反比例函数的值大于一次函数的值．
【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点
坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象
的能力．
举一反三：
【变式】如图所示，已知正比例函数
的图象与反比例函数
的图象交于点A(3，
2)．
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（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．
（2）根据图象回答，在第一象限内，当
取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）M(
)是反比例函数图象上的一动点，其中0＜
＜3，过点M 作直线MB ∥
轴，
交
轴于点B；过点A 作直线AC∥
轴交
轴于点C，交直线MB 于点D．当四边形OADM 的面
积为6 时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．
【答案】
解：（1）将A(3，2)分别代入
，
中，得
，3
＝2．
∴
＝6，
．
∴ 反比例函数的表达式为
，正比例函数的表达式为
．
（2）观察图象，在第一象限内，当0＜
＜3 时，反比例函数的值大于正比例函数的值．
（3）BM＝DM．
理由：∵
，
∴
，
即OC·OB＝12．
∵ OC＝3，∴ OB＝4，即
＝4．
∴
．∴
，
．
∴ MB＝MD．
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