26.1 二次函数及其图象
专题一 开放题
1．请写出一个开口向上，与y 轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析
式
．（答案不唯一）
2．（1）若
2
2
(
)
m
m
y
m
m x
是二次函数，求m 的值；
（2）当k 为何值时，函数
2 2
1
(
1)
(
3)
k
k
y
k
x
k
x
k
是二次函数？
专题二 探究题
3．如图，把抛物线y=x2沿直线y=x 平移
2 个单位后，其顶点在直线上的A 处，则平移后抛物
线的解析式是（ ）
A．
1
)1
(
2
x
y
B．
1
)1
(
2
x
y
C．
1
)1
(
2
x
y
D．
1
)1
(
2
x
y
4．如图，若一抛物线y＝ax2与四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2 围成
的正方形有公共点，求a 的取值范围.
专题三 存在性问题
5．如图，抛物线 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，且OA=2，OC=3.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D(2,2)是抛物线上一点,那么在抛物线的对称轴上,是否存在一点P,使得△BDP
的周长最小？若存在,请求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.
注：二次函数
c
bx
ax
y
2
（a ≠0）的对称轴是直线x =
a
b
2
.
=
6．如图,二次函数
c
x
x
y
2
2
1
的图象与x 轴分别交于A、B 两点,顶点M 关于x 轴的对
称点是M′.
（1）若A(－4,0),求二次函数的关系式;
（2）在(1)的条件下,求四边形AMBM′的面积;
（3）是否存在抛物线
2
1
2
y
x
x
c
,使得四边形AMBM′为正方形？若存在,请求出此抛
物线的函数关系式;若不存在,请说明理由.
【知识要点】
1．二次函数的一般形式
c
bx
ax
y
2
（其中a≠0，a，b，c 为常数）.
2．二次函数
2
y
ax
的对称轴是y 轴，顶点是原点，当a＞0 时，抛物线的开口向上，
顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a＜0 时，抛物线的开口向下，顶点
是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．
3．抛物线
2
(
)
y
a x
h
k
的图象与性质：
（1）二次函数
2
(
)
y
a x
h
k
的图象与抛物线
2
y
ax
形状相同，位置不同，由抛物线
2
y
ax
平移可以得到抛物线
2
(
)
y
a x
h
k
.平移的方向、距离要根据h，k 的值确定.
（2）①当
0
a
时，开口向上；当a＜0 时，开口向下；
②对称轴是直线x
h
；
③顶点坐标是（h，k）.
4．二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=
a
b
2
，顶点坐标为
)
4
4
,
2
(
2
a
b
ac
a
b
.
【温馨提示】
1．二次函数的一般形式y=ax2+bx+c 中必须强调a≠0.
2．当a＜0 时，a 越小，开口越小，a 越大，开口越大.
3．二次函数的增减性是以对称轴为分界线的.
4．当a＞0 时，二次函数有最小值，若自变量取值范围不包括顶点的横坐标，则距离对称轴最
近处，取得函数的最小值；当a＜0 时，二次函数有最大值，若自变量取值范围不包括顶点
的横坐标，则距离对称轴最近处，取得函数的最大值.
【方法技巧】
1．一般地，抛物线的平移规律是 “上加下减常数项，左加右减自变量”.
2．如已知三个点求抛物线解析式，则设一般式y=ax2+bx+c.
3．若已知顶点和其他一点，则设顶点式
2
(
)
y
a x
h
k
.
参考答案
1．答案不唯一，如y=x2+3x﹣1 等.
【解析】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵ 开口向上，∴a＞0. ∵其与y 轴交点纵坐标为﹣1，∴c=﹣1.
∵经过点（1，3），∴a+b－1=3.令a=1，则b=3，所以y=x2+3x﹣1．
2．解:（1）由题意，得
,0
,2
2
2
m
m
m
m
解得m=2．
（2）由题意，得
,0
1
,2
1
2
2
k
k
k
解得k=3．
3．C【解析】把抛物线y=x2沿直线y=x 平移
2 个单位，即是将抛物线向上平移一个单位长度
后再向右移1 个单位长度，再根据“上加下减常数项，左加右减自变量”即可得到平移后
的抛物线的解析式为
2
(
1)
1
y
x
，答案为C.
4．解:因为四条直线x=1、 x=2、 y=1、 y=2 围成正方形ABCD，所以A(1，2)，C(2，1).
设过A 点的抛物线解析式为y＝a1x2，过C 点的抛物线解析式为y＝a2x2，则a2≤a≤a1.
把A(1，2)，C(2，1)分别代入，可求得a1=2，a2=.所以a 的取值范围是≤a≤2.
5．解:（1）将A（-2,0）， C（0,3）代入y =
c
bx
x
2
2
1
得
,0
2
2
,3
c
b
c
解得b= ，c= 3.∴此抛物线的解析式为 y=
2
1
x2+ 2
1
x+3.
(2) 连接AD 交对称轴于点P，则P 为所求的点.设直线AD 的解析式为y=kx+b.
由已知得
,2
2
,0
2
b
k
b
k
解得k=
2
1 ，b=1.∴直线AD 的解析式为y=
2
1 x+1.
对称轴为直线x=－a
b
2
= 2
1
.当x = 2
1
时，y = 4
5
，∴ P 点的坐标为（2
1
，4
5
）.
6．解:(1) 把A(－4，0)代入
c
x
x
y
2
2
1
，解出c＝-12.
∴二次函数的关系式为
12
2
1
2
x
x
y
.
(2)如图,
x
y
M'
M
B
A
O
令y＝0,则有
2
1
12
0
2 x
x
，解得
1
4
x ,
2
6
x
，∴A(－4,0),B(6,0)， ∴AB＝10.
∵
2
25
)1
(
2
1
12
2
1
2
2
x
x
x
y
,∴M(1,
2
25
), ∴M′(1, 2
25
)， ∴MM′＝25.
∴四边形AMBM′的面积＝1
2 AB·MM′＝2
1
×10×25＝125.
(3) 存在.假设存在抛物线
c
x
x
y
2
2
1
,使得四边形AMBM′为正方形.令y＝0,则
0
2
1
2
c
x
x
y
，解得
c
x
2
1
1
.
∴A(
c
2
1
1
,0),B(
c
2
1
1
,0)，∴AB＝
c
2
1
2
.
∵四边形AMBM′为正方形, ∴MM′＝
c
2
1
2
.
∵对称轴为直线
1
2
a
b
x
，∴顶点M(1,
c
2
1
).
把点M 的坐标代入
2
1
2
y
x
x
c
,得
c
2
1
＝
c
1
2
1
,
整理得
2
3
0
4
c
c
,解得
1
1
2
c
(不合题意,舍去),
2
3
2
c
.
∴抛物线关系式为
2
3
2
1
2
x
x
y
时, 四边形AMBM′为正方形.
