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26.3 实际问题与二次函数
第1 课时 二次函数与最大利润问题
1. 出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出（6－x）个，则当x=
时，一天出售
该种文具盒的总利润最大．
2. 某网店以每件60 元的价格购进一批商品，若以单价80 元销售，每月可售出300 件，调查
表明：单价每上涨1 元，该商品每月的销量就减少10 件．
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元/件）的函数关系式；
（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
3. 某商场购进一种单价为40 元的篮球，如果以单价50 元出售，那么每月可售出500 个，根
据销售经验，售价每提高1 元，销售量相应减少10 个．
（1）已知销售单价提高4 元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的
销售量是 个；销售这种篮球每月的总利润是 元；
（2）假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每
月的销售量是 个（用含x 的代数式表示）；
（3）8000 元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求
出最大利润，此时篮球的售价应定为多少元？
参考答案
1．3
2．（1）y=－10x2+100x+6000
（2）当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6250 元
3．解：（1）14 460 6440 （2）（10＋x） （500－10x）
（3）设月销售利润为y 元．
由题意得：y＝(10＋x)( 500－10x)，
整理得：y＝－10(x－20)2＋9000，
当x＝20 时，y 有最大值9000．
此时篮球的售价应定为20＋50＝70(元)．
答：8000 元不是最大利润，最大利润是9000 元，此时篮球的售价为70 元．
第2 课时 二次函数与图形面积问题
1. 如图，已知：正方形ABCD 的边长为1，E、F、
G、H 分别为各边上的点，
且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH 的面积
为S，AE 为x，则S 关于x
的函数图象大致是（ ）
2. 用长度为2l 的材料围成一个矩形场地，中间有2 个隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的
长度为（ ）
A．1
4 l
B．1
3 l C．1
2 l D．l
3. 已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为 .
4. 给你长8 m 的铝合金条，请问：
（1）你能用它制成一矩形窗框吗？
（2）怎样设计，窗框的透光面积最大？
（3）如何验证？
参考答案
1．B
2．A
3．50 cm2
4．解：（1）能.
（2）设计成边长为2 m 的正方形时，窗框的透光面积最大.
（3）设矩形的一边长为x m，则另一边长为(4－x)m，
设矩形窗框的面积为y m2，
则y=x(4－x)=－x2+4x=－(x－2)2+4.
所以当x=2 时，y 有最大值，y 最大=4.
所以当设计成边长为2 m 的正方形时，窗框的透光面积最大，最大面积为4 m2.
第3 课时 建立适当的坐标系解决实际问题
1. 如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出
的抛物线形水柱，其解析
式为y=－x2+4x+2(单位：米)，则水柱的最
大高度是（ ）
A．2 米
B．4 米
C．6 米
D． 米
2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直
角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的
最大高度是（ ）
A．4 米
B．3 米 C．2 米
D．1 米
3. 廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数关
系式为y=－1
40 x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8 米的点E，F 处
要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是＿＿＿米．（精确到0.1 米）
4. 如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20 m，水位上升3 m 就达到
警戒线CD，这时水面宽度为10 m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2 m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才
能到达拱桥顶？
参考答案
1．C
2．A
3．17.9
4．解：（1）设所求抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)，
由CD＝10 m，可设D(5，b)，
由AB＝20 m，水位上升3 m 就达到警戒线CD，则B（10，b－3），
把D、B 的坐标分别代入y＝ax2，得25
100
3
a
b
a
b
，
，
解得
1
25
a
，b＝－1．
∴
2
1
25
y
x
；
（2）∵b＝－1，∴拱桥顶O 到CD 的距离为1 m，
∴1÷0.2＝5(小时)．
故再持续5 小时到达拱桥顶．
