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实际问题与反比例函数（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.
2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与
现实生活的紧密联系，增强应用意识.
【要点梳理】
【高清课堂 实际问题与反比例函数 知识要点】
要点一、利用反比例函数解决实际问题
1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质
等知识解决问题.
2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的
系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
要点二、反比例函数在其他学科中的应用
1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
【典型例题】
类型一、反比例函数实际问题与图象
【高清课堂 实际问题与反比例函数 例4】
1、 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示．设小矩
形的长、宽分别为
，剪去部分的面积为
，若
，则
与
的函数图象是（
）
【答案】A；
【解析】根据题意求出函数的解析式
，应该是反比例函数的一部分.
【总结升华】对于函数图象的判断题，应首先求出函数解析式，分清函数的类型，然后再选择
对应的图象，同时在实际问题中应注意自变量的取值范围.
举一反三：
【高清课堂 实际问题与反比例函数 例6】
【变式】（2015•泉港区模拟）设从泉港到福州乘坐汽车所需的时间是t（小时），汽车的平均
速度为v（千米/时），则下面大致能反映v 与t 的函数关系的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D；
提示：设从泉港到福州的路程为k 千米，依题意，得vt=k，
所以v= （v＞0，t＞0），
则函数图象为双曲线在第一象限的部分．
故选D．
类型二、利用反比例函数解决实际问题
2、
（2015•浙江模拟）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40 分钟中，学生的注意力
随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注
意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注
意力指标数y 随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC 分别为线段，CD 为双曲
线的一部分）：
（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）一道数学竞赛题，需要讲19 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到
36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？
【思路点拨】（1）先用代定系数法分别求出AB 和CD 的函数表达式，再分别求第五分钟和第
三十分钟的注意力指数，最后比较判断；
（2）分别求出注意力指数为36 时的两个时间，再将两时间之差和19 比较，大于19 则能讲完，
否则不能．
【答案与解析】
解：（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B（10，40）代入得，k1=2，
y
∴1=2x+20．
设C、D 所在双曲线的解析式为y2=
，
把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴
当x1=5 时，y1=2×5+20=30，
当
，
y
∴1＜y2
∴第30 分钟注意力更集中．
（2）令y1=36，
36=2x+20
∴
，
x
∴1=8
令y2=36，
∴
，
∴
27.8
8=19.8
∵
﹣
＞19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．
【总结升华】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意
义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的
函数值．
举一反三：
【变式】为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内
每立方米空气中的含药量
(毫克)与时间
(分钟)成正比例，药物燃烧完后，
与
成反比
例(如图所示)，现测得药物8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6 毫克. 请根
据题中所提供的信息解答下列问题：
①药物燃烧时
关于
的函数关系式为__________ ___，自变量
的取值范围是
____________ ___；药物燃烧后
关于
的函数关系式为_________________.
②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6 毫克时学生方可进教室，那么从消毒
开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室；
③研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3 毫克且持续时间不低于10 分钟时，才
能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】①药物燃烧时，
是
的正比例函数，药物燃烧后，
与
成反比例，
利用待定系数法即可求出函数的解析式:
，0≤
≤8，
，
；
②当空气中每立方米的含药量等于1.6 毫克时，求出所对应的时间:把
＝1.6 代
人到
中，得
＝30，则至少经过30 分钟后，学生才能回到教室；
③把
＝3 分别代人到
和
中，得
＝4 和
＝16，
16－4＝12，12＞10，所以此次消毒有效.
3、南宁市某生态示范村种植基地计划用90 亩～120 亩的土地种植一批葡萄，原计划总
产量要达到36 万斤．
（1）列出原计划种植亩数（亩）与平均每亩产量（万斤）之间的函数关系式，并写
出自变量
的取值范围；
（2）为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5
倍，总产量比原计划增加了9 万斤，种植亩数减少了20 亩，原计划和改良后的平
均每亩产量各是多少万斤？
【思路点拨】（1）直接根据亩产量、亩数及总产量之间的关系得到函数关系式即可；（2）根据
题意列出
－
＝20 后求解即可．
【答案与解析】
解：（1）由题意知：
＝36，故
（
≤
≤
）
（2）根据题意得：
－
＝20
解得：
＝0.3
经检验，x=0.3 是原方程的解.
1.5
＝0.45（万斤）
答：改良前亩产0.3 万斤，改良后亩产0.45 万斤．
【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从复杂的实际问题中整理出反比
例函数模型，并利用其解决实际问题．
4、
（2016•厦门）如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓
度y（微克/毫升）用药后的时间x（小时）变化的图象（图象由线段OA 与部分双曲线AB 组
成）．并测得当y=a 时，该药物才具有疗效．若成人用药4 小时，药物开始产生疗效，且用药后
9 小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？
【思路点拨】利用待定系数法分别求出直线OA 与双曲线的函数解析式，再令它们相等得出
方程，解方程即可求解．
【答案与解析】
解：设直线OA 的解析式为y=kx，
把（4，a）代入，得a=4k，解得k=
，
即直线OA 的解析式为y=
x．
根据题意，（9，a）在反比例函数的图象上，
则反比例函数的解析式为y=
．
当
x=
时，解得x=±6（负值舍去），
故成人用药后，血液中药物则至少需要6 小时达到最大浓度．
【总结升华】本题考查了反比例函数的应用，直线与双曲线交点的求法，利用待定系数法求出
关系式是解题的关键．
