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实际问题与反比例函数（基础）
责编：康红梅
【学习目标】
1. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，并能结合图象加深对问题的理解.
2．根据条件求出函数解析式，运用学过的函数知识解决反比例函数的应用问题，体会数学与
现实生活的紧密联系，增强应用意识.
【要点梳理】
【高清课堂 实际问题与反比例函数 知识要点】
要点一、利用反比例函数解决实际问题
1. 基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质
等知识解决问题.
2. 一般步骤如下：（1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的
系数用字母表示.
（2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数.
（3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围.
（4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题.
要点二、反比例函数在其他学科中的应用
1. 当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
2. 当工程总量一定时，做工时间是做工速度的反比例函数；
3. 在使用杠杆时，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
4. 电压一定，输出功率是电路中电阻的反比例函数.
【典型例题】
类型一、反比例函数实际问题与图象
1、（2016•广州）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80 千米/小时的速度用了4 个
小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v 千米/小时与时间t 小时的函数关系是
（ ）
A．v=320t
B．v=
C．v=20t D．v=
【思路点拨】根据路程=速度×时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．
【答案】B；
【解析】解：由题意vt=80×4，则v=
．故选B．
【总结升华】本题考查实际问题的反比例函数、路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是构
建方程解决问题，属于中考常考题型．
举一反三：
【变式1】
（2015•广西）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x 和y，则y 关于x 的函数图象大
致是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C；
提示：根据题意得：xy=10，∴y=
，
即y 是x 的反比例函数，图象是双曲线，
10
∵
＞0，x＞0，
∴函数图象是位于第一象限的曲线；
【高清课堂 实际问题与反比例函数 例6】
【变式2】在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量
的某种气体，当改变容积V 时，
气体的密度
也随之改变．与V 在一定范围内满足
，它的图象如图所示，则该气体
的质量
为（ ）.
A. 1.4
B. 5
C. 6.4
D. 7
【答案】D；
提示：由题意知，当V＝5 时，
∴
，故
.
类型二、利用反比例函数解决实际问题
2、某商场出售一批名牌衬衣，衬衣的进价为80 元，在营销中发现，该衬衣的日销售量
(件)是日销售价
元的反比例函数，且当售价定为100 元时，每日可售出30 件．
(1)请求出
关于
的函数关系式(不必写自变量
的取值范围)；
(2)若商场计划经营此种衬衣的日销售利润为1800 元，则其单价应是多少元?
【思路点拨】（1）因为y 与x 成反比例函数关系，可设出函数式
，然后根据当售
价定为100 元/件时，每天可售出30 件可求出
的值．（2）设单价是
元，根据每天可售出
件，每件的利润是（
－80）元，总利润为1800 元，根据利润＝售价－进价可列方程求解．
【答案与解析】
解：(1)设所求函数关系式为
，
则因为当
＝100 时
＝30，所以
＝3000，
所以
；
(2)设单价应为
元，则(
－ 80)·
＝1800，
解得
＝200．经检验
＝200 是原方程的解，符合题意．
即其单价应定为200 元／件．
【总结升华】本题考查反比例函数的概念，设出反比例函数，确定反比例函数，以及知道利润
＝售价－进价，然后列方程求解的问题．
举一反三：
【变式】某运输队要运300 吨物资到江边防洪．
(1)根据运输时间t(单位：小时)与运输速度v(单位：吨/时)有怎样的函数关系?
(2)运了一半时，接到防洪指挥部命令，剩下的物资要在2 小时之内运到江边，则运输速
度至少为多少?
【答案】
解：(1)由已知得vt＝300．
∴ t 与v 的函数关系式为
．
(2)运了一半后还剩300－150＝150(吨)．
∴ t 和v 关系式变为
，将t＝2 代入
，得
，v＝75．
∴ 剩余物资要在2 小时之内运完，运输速度为每小时至少运75 吨．
3、某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例函数．如图所示表
示的是该电路中电流I 与电阻R 之间函数关系的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数关系式
为 ( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A；
【解析】设
，由于点B(3，2)在反比例函数图象上，则有
，可求得U＝6．从而可求
得函数关系式为
．
【总结升华】从图象上可以看出，这是一个反比例函数关系的问题．电流I 与电阻R 成反比例
关系，设
，再求电压U.
4、
（2015•衡阳）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体
试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图
所示（当4≤x≤10 时，y 与x 成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y 与x 之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4 微克/毫升的持续时间多少小时？
【思路点拨】（1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用y=4 分别得出x 的值，进而得出答案．
【答案与解析】
解：（1）当0≤x≤4 时，设直线解析式为：y=kx，
将（4，8）代入得：8=4k，
解得：k=2，
故直线解析式为：y=2x，
当4≤x≤10 时，设直反比例函数解析式为：y= ，
将（4，8）代入得：8= ，
解得：a=32，
故反比例函数解析式为：y=
；
（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，
当y=4，则4=
，解得：x=8，
8
2=6
∵﹣
（小时），
∴血液中药物浓度不低于4 微克/毫升的持续时间6 小时．
【总结升华】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
