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反比例函数（基础）
【学习目标】
1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．
2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．
3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．
4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题．
【要点梳理】
要点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成
反比例.即
，或表示为
，其中
是不等于零的常数.
一般地，形如
(k 为常数，
0
k
)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是
函数，自变量
的取值范围是不等于0 的一切实数.
要点诠释：
（1）在
中，自变量x 是分式
的分母，当
时，分式
无意义，所以
自变量x 的取值范围是
，函数y
的取值范围是
.故函数图
象与x 轴、y 轴无交点.
（2）
(
)可以写成
(
)的形式，自变量x 的指数是－
1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数
这一条件.
（3）
(
)也可以写成
的形式，用它可以迅速地求出反比例
函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.
要点二、确定反比例函数的关系式
确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数
中，只有一个待
定系数
，因此只需要知道一对
的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出
的值，
从而确定其解析式.
用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：
（1）设所求的反比例函数为：
(
0
k
)；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；
（3）解方程求出待定系数
的值；
（4）把求得的
值代回所设的函数关系式
中.
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要点三、反比例函数的图象和性质
1、 反比例函数的图象特征：
反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、
四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与
轴、轴相交，只是无限靠近两坐标
轴.
要点诠释：（1）若点(
)在反比例函数
的图象上，则点(
)也在此图象上，
所以反比例函数的图象关于原点对称；
（2）在反比例函数
(k 为常数，
0
k
) 中，由于
，所以两
个分支都无限接近但永远不能达到
轴和
轴．
2、画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以O 为中心，在0 的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的
值，填写
值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从
小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近
坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；
（4）反比例函数图象的分布是由
的符号决定的：当
时，两支曲线分别位于第一、
三象限内，当
时，两支曲线分别位于第二、四象限内．
3、反比例函数的性质
（1）如图1，当
时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随
值的增大而减小；
（2）如图2，当
时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随
值的增大而增大；
要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情
况，反比例函数的增减性都是由反比例系数
的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置
和函数的增减性，也可以推断出
的符号.
要点四：反比例函数
(
)中的比例系数
的几何意义
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过双曲线
x
k
y
(
0
k
) 上任意一点作
轴、
轴的垂线，所得矩形的面积为k .
过双曲线
x
k
y
(
0
k
) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形
的面积为2
k
.
要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的
垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.
【典型例题】
类型一、反比例函数的定义
1、在下列函数关系式中，哪些函数表示
是
的反比例函数？
（1）
； （2）
； （3）
； （4）
； （5）
；
（6）
； （7）
； （8）
（
，
是常数）
【答案与解析】
解：根据反比例函数
的形式及其关系式
，
，可知反比例函数有：
(2)(3)(4)(6)(7)(8)．
【总结升华】根据反比例函数的概念，必须是形如
k
y
x
(k 为常数，
0
k
)的函数，才是反比
例函数．如(2)(3)(6)(8)均符合这一概念的要求，所以它们都是反比例函数．但还要注意
k
y
x
(k 为常数，
0
k
)常见的变化形式，如xy
k
，
1
y
kx
等，所以(4)(7)也是反比例
函数．在(5)中，y 是
1
x
的反比例函数，而不是x 的反比例函数．(1)中y 是x 的正比例函
数．
类型二、确定反比例函数的解析式
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2、已知正比例函数
和反比例函数
的图象都过点A(
，1) ．求此正比例
函数的关系式及另一个交点的坐标．
【思路点拨】点A 的坐标(
，1)同时满足函数
和
，所以可求出
的值，进而求
出A 点坐标，将其代入
中求得
，再令两关系式相等，从而求得另一个交点的坐标．
【答案与解析】
解： 因为
的图象经过点A(
，1)，则
，所以
＝3．
把A(3，1)代入
中，得
，所以
．
所以正比例函数关系式为
．
由
得
．
当
时，
；当
时，
．所以另一个交点的坐标为(－3，－1)．
【总结升华】确定解析式的方法是待定系数法，由于正比例函数
中有一个待定系数，
因此只需一对对应值即可．
举一反三：
【变式】已知
与
成反比，且当
时，
，则当
时，
值为多少？
【答案】
解：设
，当
时，
，
所以
，则
＝－24，
所以有
．
当
时，
．
类型三、反比例函数的图象和性质
3、在函数
（
为常数）的图象上有三点(
)，(
)，(
)，且
，则
的大小关系是（ ）．
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A．
B．
C．
D．
【答案】D；
【解析】
解：因为
，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，
随
的增大而增大．因为
，所以
．因为
在第四象限，而
，
在第二象限，所以
．所以
．
【总结升华】已知反比例函数
，当
＞0，＞0 时，随
的增大而减小，需要强调的
是
＞0；当
＞0，＜0 时，随
的增大而减小，需要强调的是
＜0．这里不能说成当
＞0，随
的增大而减小．例如函数
，当
＝－1 时，＝－2，当
＝1 时，＝2，自
变量由－1 到1，函数值
由－2 到2，增大了．所以，只能说：当
＞0 时，在第一象限内，
随
的增大而减小．
举一反三：
【变式1】已知
的图象是双曲线，且在第二、四象限，
(1)求
的值．
(2)若点(－2，
)、(－1，
)、(1，
)都在双曲线上，试比较
、
、
的大小．
【答案】
解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且
，∴
.
(2)由(1)得此函数解析式为：
．
∵ (－2，
)、(－1，
)在第二象限，－2＜－1，∴
．
而(1，
)在第四象限，
．
∴
【变式2】若A(
1x ，
1y )、B(
2x ，
2y )在函数
的图象上，当
1x 、
2x 满足________时，
.
【答案】
或
或
；
解：
的图象在一、三象限，在每个象限内，随着
的增大，函数值
减小，
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所以
或
时，
.当B 点在三象限，A 点在一象限，
即
，也满足
.
类型四、反比例函数综合
4、已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P 在函数
的图象上，如果△PAB 的面积是
6，求P 点的坐标．
【思路点拨】由已知的点A、B 的坐标，可求得AB＝4，再由△PAB 的面积是6，可知P 点到
轴的距离为3，因此可求P 的横坐标为±3，由于点P 在
的图象上，则由横坐标为±3 可
求其纵坐标．
【答案与解析】
解：如图所示，不妨设点P 的坐标为
，过P 作PC⊥
轴于点C．
∵ A(0，2)、B(0，－2)，
∴ AB＝4．
又∵
且
，
∴
，∴
，∴
．
又∵
在曲线
上，∴ 当
时，
；当
时，
．
∴ P 的坐标为
或
．
【总结升华】通过三角形面积建立关于
的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的
距离等于相应坐标的绝对值．
举一反三：
【变式】已知：如图所示，反比例函数
的图象与正比例函数
的图象交于A、B，作
AC⊥
轴于C，连BC，则△ABC 的面积为3，求反比例函数的解析式．
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【答案】
解：由双曲线与正比例函数
的对称性可知AO＝OB，
则
．
设A 点坐标为(
，
)，而AC＝|
|，OC＝|
|，
于是
，
∴
，
而由
得
，所以
，
所以反比例函数解析式为
．
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