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一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法
—知识讲解（基础）
责编:康红梅 
【学习目标】
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；
2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；
3. 通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．
【要点梳理】
要点一、公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式 
　一元二次方程
，当
时，
.
2.一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式：
．
　　　 ①当
时，原方程有两个不等的实数根
；
　　　 ②当
时，原方程有两个相等的实数根
；
　　　 ③当
时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x 的一元二次方程
的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式；
　　　 ②确定a、b、c 的值（要注意符号）；
　　　 ③求出
的值；
　　　 ④若
，则利用公式
求出原方程的解；
　　　 　若
，则原方程无实根.
要点诠释：
（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选
择.
（2）一元二次方程
2
0 (
0)
ax
bx
c
a




，用配方法将其变形为：
2
2
2
4
(
)
2
4
b
b
ac
x
a
a



.
    ①当
2
4
0
b
ac



时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：
2
1,2
4
2
b
b
ac
x
a



.
② 当
2
4
0
b
ac



时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：
1,2
2
b
x
a

.
③ 当
2
4
0
b
ac



时，右端是负数．因此，方程没有实根.
要点二、因式分解法解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
　　（1）将方程右边化为0；
　　（2）将方程左边分解为两个一次式的积；
　　（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
　　（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.
要点诠释：
   （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 
因式的积；
（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等
于0；
（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以
含有未知数的代数式.
【典型例题】
类型一、公式法解一元二次方程
1.用公式法解下列方程．
(1) x2+3x+1=0；        (2)
2
2
4
1
x
x

；   (3) 2x2+3x-1=0．
【答案与解析】 
(1) a=1，b=3，c=1
∴x=
=
．
∴x1=
，x2=
．
(2)原方程化为一般形式，得
2
2
4
1
0
x
x


．
∵
2
a 
，
4
b ，
1
c 
，
∴
2
2
4
( 4)
4 2 1
8
0
b
ac




．
∴
4
2 2
2
1
2 2
2
x




，即
1
2
1
2
x 
，
2
2
1
2
x 
．
     (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1
∴b2﹣4ac=17＞0
∴x=
∴x1=
，x2=
．
【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a、b、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：
(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a，b，c 的值并计算
2
4
b
ac

的值；(3)若
2
4
b
ac

是非
负数，用公式法求解．
举一反三：
【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x2
3x
2=0
﹣
﹣
．
【答案】解：∵a=1，b=
3
﹣，c=
2
﹣；
b
∴2
4ac=
﹣
（﹣3）2
4×1×
﹣
（﹣2）=9+8=17；
x=
∴
=
，
x
∴1=
，x2=
．
2．用公式法解下列方程：
(1) （2014•武汉模拟）2x2+x=2；       (2) （2014 秋•开县期末）3x2
6x
2=0
﹣
﹣
 ； 
（3）（2015•黄陂区校级模拟）x2
3x
7=0
﹣
﹣
．
【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.
【答案与解析】 
解：(1) 2x
∵
2+x
2=0
﹣
，
a=2
∴
，b=1，c=
2
﹣，
x=
∴
=
=
，
x
∴1=
，x2=
．
(2) a=3
∵
，b=
6
﹣，c=
2
﹣，
b
∴2
4ac=36+24=60
﹣
＞0，
x=
∴
，
x
∴1=
，x2=
      
（3）∵a=1，b=
3
﹣，b=
7
﹣．
∴b2
4ac
﹣
=9+28=37.
x=
 
= 
，
解得 x1=
，x2=
．
【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a、b、c 的值，在
2
4
0
b
ac


的前提下，代入求根公式
可求出方程的根．
举一反三：
【变式】用公式法解下列方程： 
2
2
2
1
x
x


；
【答案】解：移项，得
2
2
2
1
0
x
x


．
∵ 
2
a 
，
2
b 
，
1
c ，
2
2
4
2
4 2 ( 1)
12
0
b
ac





，
∴ 
2
12
1
3
2 2
2
x





，
∴ 
1
1
3
2
x


，
2
1
3
2
x


．
类型二、因式分解法解一元二次方程
3．（2016•沈阳）一元二次方程x2
4x=12
﹣
的根是（　　）
A．x1=2，x2=
6
﹣
B．x1=
2
﹣，x2=6 C．x1=
2
﹣，x2=
6
﹣D．x1=2，x2=6
【思路点拨】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【答案】B
【解析】 
解：方程整理得：x2
4x
12=0
﹣
﹣
，
分解因式得：（x+2）（x
6
﹣）=0，
解得：x1=
2
﹣，x2=6，故选B
【总结升华】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．解下列一元二次方程：
        (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0；         (2)(3
1)(
1)
(4
1)(
1)
x
x
x
x





．
【答案与解析】
(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，
(2x+1+2)2＝0．
           即
2
(2
3)
0
x 

，
∴  
1
2
3
2
x
x


．
(2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，
即(x-1)(x+2)＝0，
所以
1
1
x 
，
2
2
x ．
【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．
用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x＝1 这个根．
举一反三：
【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0      （2）3 (2
1)
4
2
x
x
x



【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0
            (x+6)(x+5)=0
             X1=-6,x2=-5.
         (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0
            (2x+1)(3x-2)=0
            
1
2
1
2
,
2
3
x
x


.
5．探究下表中的奥秘，并完成填空：
 一元二次方程 两个根
二次三项式因式分解 
 x2﹣2x+1=0
 x1=1，x2=1
 x2﹣2x+1=（x﹣1）（x﹣1）
 x2﹣3x+2=0
 x1=1，x2=2
  x2﹣3x+2=（x﹣1）（x﹣2）
 3x2+x﹣2=0
 x1= ，x2=﹣1
3x2+x﹣2=3（x﹣）（x+1）
 2x2+5x+2=0
  x1=﹣，x2=﹣2 2x2+5x+2=2（x+ ）（x+2）
 4x2+13x+3=0 x1=　　，x2= 
  4x2+13x+3=4（x+　　）（x+　　）
将你发现的结论一般化，并写出来．
【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论．
【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+ ）（x+3）．
发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根为x1、x2，则
ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解
法．