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分式全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，
体会解方程中的化归思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1．分式
一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
叫做分式.其中A 叫做
分子，B 叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当
B≠0 时，分式
才有意义.
2.分式的基本性质
（M 为不等于0 的整式）.
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
要点二、分式的运算
1．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样
的分式变形叫做分式的约分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式
化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
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；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
（2）乘法运算
a c
ac
b d
bd
，其中a
b
c
d
、、、
是整式，
0
bd
.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算
a
c
a d
ad
b
d
b c
bc
，其中a
b
c
d
、、、
是整式，
0
bcd
.
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方.
4.分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
要点三、分式方程
1．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，
方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的
值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所
得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住
“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”
等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【典型例题】
类型一、分式及其基本性质
1、在
m
a
y
x
xy
x
x
x
x
1
,
3
,
3
,)1
(
,
2
1
,
1
2
中，分式的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C；
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【解析】
是分式.
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有
字母则不是分式．
2、当
为何值时，分式
的值为0？
【思路点拨】先求出使分子为0 的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分
母的值不等于0 时，这个值就是要求的字母的值．
【答案与解析】
解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0 且分母不等于0．
由题意，得
解得
．
∴ 当
时，分式
的值为0．
【总结升华】分式的值为0 的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，
才能考虑分式值的情况.
举一反三：
【变式】（1）若分式
的值等于零，则x ＝_______；
（2）当
________时，分式
没有意义．
【答案】（1）由
2
4
x
＝0，得
2
x . 当x ＝2 时x －2＝0，所以x ＝－2；
（2）当
1
0
x
，即x ＝1 时，分式
没有意义．
类型二、分式运算
3、计算：
．
【答案与解析】
解：
．
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【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把
和
先约分；二
是将
和
约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的
关键．
举一反三：
【变式】计算：（1）
；（2）
；
（3）
．
【答案】
解：（1）
；
（2）
；
（3）
=
，
．
类型三、分式方程的解法
4、解方程
【答案与解析】
解：
方程两边同乘以
，得
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-
检验： 当
时，最简公分母
≠0，
∴
是原方程的解.
【总结升华】分式方程一定要记得检验.
举一反三：
【变式】
，
【答案】
解： 方程两边同乘以
，得
检验：当
时，最简公分母
，
∴
是原方程的解．
类型四、分式方程的应用
5、某质检部门分别抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查，测得甲厂有合格的
产品48 件，乙厂有合格的产品45 件，甲厂的合格率比乙厂的合格率高5%，问甲厂的合格率
是多少？
【思路点拨】本题可间接设出甲、乙两厂分别抽取的产品件数，利用“甲厂的合格率比乙厂的
合格率高5%列出等式.
【答案与解析】
解：设质检部门抽取了
件进行检测，则：
．
解方程得：
＝60．
∴ 甲厂的合格率是：
．
答：甲厂的合格率是80%．
【总结升华】本题若直接设未知数，解题过程非常繁琐，间接设未知数较方便．
举一反三：
【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师
家的路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一
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线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是
他步行速度的3 倍，每天比平时步行上班多用了20 min，王老师步行的速度和骑自行车的速
度各是多少?
【答案】
解：设王老师步行的速度为
km/h，则他骑自行车的速度为3
km/h．
根据题意得：
．
解得：
．
经检验
是原方程的根且符合题意．
当
时，
．
答：王老师步行的速度为5km/h，他骑自行车的速度为15km/h．
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