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《分式的基本性质》典型例题
例1 下列分式的变形是否正确，为什么？
（1）
2
a
ab
a
b
（2）
ac
bc
a
b
例2 写出下列等式中的未知分子或未知分母。
（1）
3
2
2
)
(
b
a
ab
b
a
（2）
)
(
1
1
1
2
3
2
a
a
a
a
例3 不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为
整数.
（1）
y
x
y
x
02
.0
5.0
3.0
2.0
（2）
y
x
y
y
x
3
2
4
1
1
2.0
例4 不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.
（1）
3
2
2
1
1
a
a
a
a
（2）
2
3
3
2
x
x
x
例5 已知不论x 取什么数时，分式
5
3
bx
ax
（
0
5
bx
）都是一个定值，求a 、b
应满足的关系式，并求出这个定值.
例6 已知一个圆台的下底面是上底面的4 倍，将圆台放在桌面上，桌面承受
压强为P 牛顿/
2
米
，若将圆台倒放，
则桌面受到的压强为多少？
例7 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：
例8 不改变分式的值，使分式
y
x
y
x
4.0
5.0
3
1
2
1
的分子、分母中的多项式的系数都
是整数．
例9 判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理
由：
（1）
b
b
a
a
1
1
； （2）
b
a
b
a
b
a
1
2
2
；
（3）
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
3
2
3
； （4）
b
a
a
b
b
a
1
2
2
．
例10 化简下列各式：
（1）
3
2
3
45
3
b
a
b
a
； （2）
b
b
a
a
8
2
16
2
4
；
（3）
6
2
3
3
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
参考答案
例1 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质
去衡量，
0
M
是基本性质的生果组成部分，应特别注意.
解 （1）∵已知分式
a
b /
中已隐含了
0
a
，∴用a 分别乘以分式的分子、分母，
分式的值不变，故（1）是正确的.
（2 ）因为已知分式
b
a /
中，没限制c ，c 可以取任意数，当然也包
括了
0
c
，当分式的分子、分母都乘
以
0
c
时，分式没
意义，故（2）是错
误的.
例2 分析 （1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显
然，
3
2b
a
是由
2
ab 乘以ab 得到的，由
分式的基本性质，
b
a 也要乘以ab ，所以括号内应填
ab
b
a
)
(
（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，
2
2
)1
(
1
2
a
a
a
除
以
1
a
得到右边分子
1
a
，按照分
式的基本性质，
1
)1
(
)1
(
2
3
a
a
a
a
，故括号内应填
.1
2
a
a
解：（1）
3
2
2
)
(
b
a
ab
b
a
ab
b
a
（2）
)1
(
1
1
1
2
2
3
2
a
a
a
a
a
a
例3 分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基
本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？
（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.
（2 ）中分子、分母中各项系数(
5
1
2.0
) 是分数，这个数应该
是各项系数的分母的最小公倍数，即
5，2，4，3 的最小公倍数60.
解：（1）法1：原式
50
)
02
.0
5.0
(
50
)
3.0
2.0
(
y
x
y
x
y
x
y
x
25
15
10
法2：原式
100
)
02
.0
5.0
(
100
)
3.0
2.0
(
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
25
15
10
2
50
30
20
（2）原式
y
x
y
x
y
x
y
x
40
15
30
12
60
)
3
2
4
1
(
60
)
2
1
5
1
(
说明 在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘
分子分母的每一项，防止漏乘.
例4 分析 （1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分
母的符号.
（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本
身的符号.
解：（1）
3
2
2
1
1
a
a
a
a
)
1(
)
1(
3
2
2
a
a
a
a
1
1
2
3
2
a
a
a
a
（2）
2
3
3
2
x
x
x
)
2
3
(
3
2
x
x
x
2
3
3
2
x
x
x
例5 分析 在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而
是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.
解：当
0
x
时，
5
3
5
3
bx
ax
1
x
时，
5
3
5
3
b
a
bx
ax
∵不论x 取什么实数，
5
3
bx
ax
是一个定值
∴
5
3
5
3
b
a
，∴
15
3
15
5
a
a
∵
b
a
3
5
∴
b
a
5
3
把
b
a
5
3
代入原式，得
5
3
5
)
5
(
5
3
5
3
5
3
5
3
bx
bx
bx
bx
bx
ax
∴a 、b 的关系为
b
a
3
5
；定值为5
3
例6 解：设圆台的压力为G 牛顿，下底面积为
1S
2
米，上底面积为
2
S
2
米.
则
1S
G
P
,
2
1
4S
S
∴
2
1
4PS
PS
G
∴当圆台倒放时，桌面受到的压强为：
P
S
P
S
S
G
4
4
2
2
2
(牛顿/
2
米)
答：桌面受到的压强为P
4
牛/
2
米.
说明 运用分式知识，有助于解决物理中问题
（1）
n
m
2
5
； （2）
a
b
4
； （3）
y
x
x
6
3
； （4）
b
a
b
a
3
2
．
例7 分析 根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其
中任意两个，分式的值不变”．
解：（1）同时改变分子和分式的符号，得
n
m
n
m
2
5
2
5
；
（2）同时改变分母和分式的符号
，
得
a
b
a
b
4
4
；
（3）先确定是分母的符号，再变号，得
y
x
x
y
x
x
y
x
x
6
3
6
3
6
3
；
（4）先确定是分子的符号，然后变号，得
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
3
2
3
2
3
2
．
说明 1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母
是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不
可误解成
y
x
x
y
x
x
6
3
6
3
或
b
a
b
a
b
a
b
a
3
2
3
2
；
2．对于（4）题，也
可处理成
b
a
a
b
b
a
b
a
2
3
3
2
的形式．
例8 分析 此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公
倍数是10，而10 和6 的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母
同时乘以30．
解：
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
12
15
10
15
30
5
2
2
1
30
3
1
2
1
4.0
5.0
3
1
2
1
．
说明 1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数
学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．
2．操作过程中，用数30 的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、
分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．
例9 分析 约分变形的前提是分子、分母有公因式．
解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．
（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个
整式a ”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违
背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．
（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，
它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．
（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里
2
3
2x
x
与
2
x
是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：
2
2
2
2
2
2
2
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
1
2
2
2
x
x
x
x
（4）此题是约分变形．因此分
母
化成
b
a
b
a
的形式，与分子约去公因式
b
a 可得．
说明 1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定
理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；
2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当
2
a
，
3
b
时，
3
1
1
3
2
2
．（2）、（3）题同理．
例10 分析 化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公
式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项
式仍然要
先分解因式．
解： （1）
2
2
2
2
3
2
3
15
15
3
3
45
3
b
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
；
（2）
b
a
a
b
a
a
b
b
a
a
2
4
4
2
4
4
8
2
16
2
2
2
2
2
4
；
（3）
1
3
2
1
2
1
3
6
2
3
3
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
．
说明 1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进
行的．
2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而
最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．
3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，
而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式
b
a
2
4
2
已经是最简分式了，因此就没有必
要将分子再继
续分解了．
