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课后训练
基础巩固
1．有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A—B 的路径在地面上爬行．
小树顶D 处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C 处，问小鸟飞至AB 之间何
处时
，飞行距离最短，在图中画出该点的位置．
2．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球
立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．
若甲站
在∠AOB 内的P 点，乙站在OA 上，丙站在OB 上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙
和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？
3．如图所示，P，Q 为△ABC 边上的两个定点，在BC 上求作一点R，使△PQR 的周长最
小．
4 ．七年级(1) 班同学做游戏，在活动区域边OP 放了一些球( 如图) ，
则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位置的球，才
能最快拿到球跑到目的地A?
能力提升
5．公园内两条小河MO，NO 在O 处汇
合，两
河形成的半岛上有一处景点
P(如图所示)．现计划
在两条小河
上各建一座小桥Q 和R，并在半岛上
修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥
应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．
6．如图，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A，B 到河岸CD 的距离分别为AC，BD，且AC＝
BD，若A 到河岸CD 的中点的距离为500 m.
(1)牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作
出该处，并说明理由；
(2)最短路程是多少？
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参考答案
1．解：如图，作D 关于AB 的对称点D′，连接CD′交AB 于点E，则点E 就是所求的点．
2．解：如图所示，(1)分别作点P 关于OA，OB 的对称点P1，P2；
(2)连接P1P2，与OA，OB 分别相交于点M，N.
因为乙站在OA
上，丙站在OB 上，所以乙必
须站在OA 上的M 处，丙必须站在OB 上的N 处才能使传球所用时间最少．
3．解：(1)作点P 关于BC 所在直线的对称点P′；
(2)连接P′Q，交BC 于点R，则点R 就是所求作的点(如图所示)．
4．解：如图，作小明关于活动区域边线OP 的对称点A′，连接AA′交OP 于点B，则小
明行走的路线是小明→
B→A ，
即在B 处捡球，才能最快拿到球跑到目的地A.
5．解：如图，作P 关于OM 的对称点P′，作P 关于ON 的对称点P″，连接P′P″，分
别交MO，NO 于Q，R，连接PQ，PR，则P′Q＝PQ，PR＝P″R，则Q，R 就是小桥所在的位置．
理由：在OM 上任取一个异于Q 的点Q′，在ON 上任取一个异于R 的点R′，连接
PQ′，P′Q′，Q′R′，P″R′，PR′，则PQ′＝P′Q′，PR′＝P″R′，且P′Q′＋
Q′R′＋R′P″
＞P′Q＋QR＋RP″，所以
△PQR
的周长最小，故
Q ，R
就是我们所求的小桥的
位置．
6．解：(1)作法：如图作点A 关于CD 的对称点A′；
连接A′B
交CD 于点M.则点M 即为所求的
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点．
证明：在CD 上任取一点M′，连接AM′，A′M′，BM′，AM，
因为直线CD 是A，A′的对称轴，M，M′在CD 上，
所以AM＝A′M，AM′＝A′M′，所以AM＋BM＝A′M＋BM＝A′B，
在△A′M′B 中，因为A′M′＋BM′＞A′B，
所以AM′＋BM′＝A′M′＋BM′＞AM＋BM，即AM＋BM 最小．
(2)由(1)可得AM＝A′M，A′C＝AC＝BD，所以△A′CM≌△BDM，
即A′M＝BM，CM＝DM，所以M 为CD 的中点，且A′B＝2AM，
因为AM＝500
m，所以A′B＝AM＋BM＝
2AM＝1 000 m．即最短路程为1 000 m.
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