文档文本内容
中考冲刺：观察、归纳型问题(基础)
一、选择题
1. 用边长为1 的正方形覆盖3×3 的正方形网格，最多覆盖边长为1 的正方形网格(覆
盖一部分就算覆盖)的个数
是( )
A．2 B．4 C．5 D．6
2．求1＋2＋22＋23＋…＋22012的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22012，则2S＝2＋22＋23
＋24＋…＋22013，因此，2S－S＝22013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52012的值
为( )
A．52012－1 B．52013－1 C.
D.
3.（2016•冷水江市三模）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1 个单位长度的半
圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，则第2017 秒时，点P 的坐标是（ ）
A．（2016，0） B．（2017，1） C．（2017，﹣1） D．（2018，0）
二、填空题
4．（2015•盘锦四模）已知，如图，△OBC 中是直角三角形，OB 与x 轴正半轴重合，
∠OBC=90°，且OB=1，BC=
，将△OBC 绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2
倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，将△OB1C1绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2
倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，…，如此继续下去，得到△OB2015C2015，则点C2015的坐标是______．
5．（2016•天门）如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都
是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1（3，0），A3（1，0），A5（4，0），A7（0，0），A9
（5，0），依据图形所反映的规律，则A100的坐标为______．
6. 如图，n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为边
B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△BnCnMn的面积
为Sn，则Sn=___________.（用含n 的式子表示）
三、解答题
7．观察下列等式：
……
请解答下列问题：
(1)按以上规律列出第5 个等式：a5＝______＝______；
(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：an＝______＝______(n 为正整数)；
(3)求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．
8. 如下表所示，是按一定规律排列的方程组和它的解的对应关系，若方程组自左至右
依次记作方程组1、方程组2、方程组3、…、方程组n．
（1）将方程组1 的解填入表中．
（2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n 和它的解直接填入表中；
9. 如图所示，是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个
圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图①倒置后与原图拼成图②的形
状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为
…
．
如果图①中的圆圈共有12 层，(1)我们自上往下，在每个圆圈中都按图③的方式填上一
串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边的这个圆圈中的数是________；(2)我们自上
往下，在每个圆圈中都按图④的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，…，求图④中所有圆
圈中各数的绝对值之和．
10. （余杭区期中）如图，将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将
其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四
个小正方形，如此循环进行下去．
（1）填表
次数
1
2
3
4
5
个数
4
7
______
______
______
（2）如果剪了n 次，共剪出多少个小正方形？
（3）能否经过若干次分割后共得到2014 片纸片？若能，请直接写出相应的次数，若不能，
请说明理由．
（4）若将所给的正方形纸片剪成若干个小正方形（其大小可以不一样），那么你认为可以
将它剪成六个小正方形吗？八个小正方形呢？如果可以，请在下图中画出剪割线的示意图；
如果不可以，请简单说明理由．
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】D；
【解析】6 个，把边长为1 的小正方形的对角线与3 乘3 网格中的中间正方形任意边重
合（其中小正方形的对角
线中点与3 乘3 网格中的中间正方形边上的中点重合），因为对角线的长为
＞1，
所以这时有6 个正方形网格被覆盖.
2.【答案】C；
【解析】设S＝1＋5＋52＋53＋…＋52 012，则5S＝5＋52＋53＋54＋…＋52 013.
因此，5S－S＝52 013－1，S＝
.
3.【答案】B；
【解析】以时间为点P 的下标．
观察，发现规律：P0（0，0），P1（1，1），P2（2，0），P3（3，﹣1），P4（4，0），
P5（5，1），…，
∴P4n（n，0），P4n+1（4n+1，1），P4n+2（4n+2，0），P4n+3（4n+3，﹣1）．
∵2017=504×4+1，
∴第2017 秒时，点P 的坐标为（2017，1）．
二、填空题
4.【答案】（22016，0）．
【解析】
∵∠OBC=90°，OB=1，BC=
，
∵将△OBC 绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2 倍，使
OB1=OC，
∴OC1=2OC=2×2=4=22，
OC2=2OC1=2×4=8=23，
OC3=2OC2=2×8=16=24，
…，
OCn=2n+1，
∴OC2015=22016，
∵2015÷6=335…5，
∴点C2015与点C5在同一射线上，在x 轴正半轴，坐标为（22016，0）．
故答案为：（22016，0）．
5.【答案】45．
【解析】观察，发现规律：A2（2，
），A4（
，﹣
），A6（2，2
），A8（
，﹣
），…，
∴A4n+2（2，
n+
），A4n+4（
，﹣
）（n 为自然数），
∵100=4×24+4，
∴A100的坐标为（
，﹣
）．
故答案为：（
，﹣
）．
6.【答案】
．
【解析】∵n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…Mn分别为
边B1B2，B2B3，
B3B4，…，
BnBn+1的中点，
∴S1= ×B1C1×B1M1= ×1× = ，
S△B1C1M2= ×B1C1×B1M2= ×1× = ，
S△B1C1M3= ×B1C1×B1M3= ×1× = ，
S△B1C1M4= ×B1C1×B1M4= ×1× = ，
S△B1C1Mn= ×B1C1×B1Mn= ×1×
=
，
∵BnCn∥B1C1，
∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，
∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（
）2=（
）2，
即Sn：
=
，
∴Sn=
．
故答案为：
．
三、解答题
7.【答案与解析】
解：根据观察知，答案分别为：
8.【答案与解析】
显然该方程组不符合（2）中的规律．
9.【答案与解析】
解：(1)67．
(2)图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+12＝
个数，
其中23 个负数，1 个0，54 个正数，
∴图④中所有圆圈中各数的绝对值之和
＝|-23|+|-22|+…+|-1|+0+1+2+…+54
＝(1+2+3+…+23)+(1+2+3+…+54)
＝276+1485＝1761．
10.【答案与解析】
解：（1）答案如下：
次数
1
2
3
4
5
个数
4
7
10
13
16
（2）如果剪了n 次，共剪出4+3（n﹣1）=3n+1 个小正方形；
（3）3n+1=2014
解得n=671，
经过671 次分割后共得到2014 片纸片；
（4）可以将它剪成六个小正方形，八个小正方形，如图
