文档文本内容
《勾股定理》全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边a
b
、的平方和等于斜边c 的平方.（即：
2
2
2
a
b
c
）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要
应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
要点二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a
b
c
、、，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；
（2）验证：
2
2
a
b
与
2c 是否具有相等关系：
若
2
2
2
a
b
c
，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；
若
时，△ABC 是锐角三角形；
若
时，△ABC 是钝角三角形．
2.勾股数
第1页 共7页
满足不定方程
2
2
2
x
y
z
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），
显然，以x
y
z
、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
要点诠释：
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果(a
b
c
、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at
bt
ct
、、
为三角形的三边长，此三角
形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为a
b
c
、、，且a
b
c
，那么存在
2
a
b
c
成立.（例如④中存在
2
7 ＝24＋25、
2
9 ＝40＋41 等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
【典型例题】
类型一、勾股定理及逆定理的简单应用
1、已知直角三角形的两边长分别为6 和8，求第三边的平方长．
【答案与解析】
解：设第三边为x ．
当x 为斜边时，由勾股定理得
．
当x 为直角边时，由勾股定理，得
2
2
2
6
8
x
．
所以这个三角形的第三边的平方为100 或28．
【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三
边为斜边．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC 的周长．
【答案】
解：在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，
由勾股定理，得
2
2
2
2
2
15
12
81
BD
AB
AD
．
∴
．
同理
2
2
2
2
2
13
12
25
CD
AC
AD
．
∴
．
①当∠ACB＞90°时，BC＝BD－CD＝9－5＝4．
∴ △ABC 的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．
②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．
∴ △ABC 的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．
第2页 共7页
综上所述：△ABC 的周长为32 或42．
2、如图所示，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M 为AB 上一点．
求证：
2
2
2
2
AM
BM
CM
．
【思路点拨】欲证的等式中出现了AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作
CD⊥AB．
【答案与解析】
证明：过点C 作CD⊥AB 于D．
∵ AC＝BC，CD⊥AB，
∴ AD＝BD．
∵ ∠ACB＝90°，
∴ CD＝AD＝DB．
∴
2
2
2
2
AM
BM
AD
DM
AD
DM
2
2
2
2
2
2
AD
AD DM
DM
AD
AD DM
DM
2
2
2(
)
AD
DM
2
2
2(
)
CD
DM
在Rt△CDM 中，
2
2
2
CD
DM
CM
，
∴
2
2
2
2
AM
BM
CM
．
【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所
证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．
举一反三：
【变式】已知△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 上任一点，求证：
2
2
AB
AD
BD CD
.
【答案】
第3页 共7页
解：如图，作AM⊥BC 于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,
则在Rt△ABM 中：
2
2
2
AB
AM
BM
……①
在Rt△ADM 中：
2
2
2
AD
AM
DM
……②
由①－②得：
2
2
AB
AD
2
2
BM
DM
BM
DM
BM
DM
＝ （MC＋DM）•BD＝CD·BD
类型二、勾股定理及逆定理的综合应用
3、已知如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝20，BC＝32，D 是BC 上的一点，且AD⊥AC，求BD
的长．
【思路点拨】由于BD 所在的△ABD 不是直角三角形，不易直接求出BD 的长，且△ACD 尽管是直
角三角形，但AD 的长是未知的，因而不能确定CD 的长.过点A 作AE⊥BC 于E，这时可以从
Rt△ABE 与Rt△ADE、Rt△ADC 中，运用勾股定理可求得AE、DE 的长，从而求出BD 的长．
【答案与解析】
解：过点A 作AE⊥BC 于E．
∵ AB＝AC，
∴ BE＝EC＝1
2 BC＝1
32
2
16．
在Rt△ABE 中，AB＝20，BE＝16，
∴
2
2
2
2
2
20
16
144
AE
AB
BE
，
∴ AE＝12，
在Rt△ADE 中，设DE＝x ，则
2
2
2
2
144
AD
AE
DE
x
，
∵ AD⊥AC，
∴
2
2
2
AD
AC
CD
，而
2
2
2
144
20
(16
)
x
x
．
解得：x ＝9．
∴ BD＝BE－DE＝16－9＝7．
【总结升华】勾股定理的作用是：已知直角三角形的两边可以求第三边，所以求直角三角形的
边长时应该联想到勾股定理．
4、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA，PB，PC，以BP 为边作∠PBQ=60°，且
BQ=BP，连结CQ．
(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．
第4页 共7页
【答案与解析】
解：(1)猜想：AP=CQ
证明：在△ABP 与△CBQ 中，
∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°
∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ
∴ △ABP≌△CBQ
∴ AP=CQ
(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a
连结PQ，在△PBQ 中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°
∴ △PBQ 为正三角形 ∴ PQ=4a
于是在△PQC 中，∵
∴ △PQC 是直角三角形
【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾
股定理的逆定理判断三角形的形状．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC
的长．
【答案】
解：在△ABD 中，由
2
2
2
12
5
13
可知：
2
2
2
AD
BD
AB
，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°．
在Rt△ADC 中，
．
5、如果ΔABC 的三边分别为a
b
c
、、，且满足
2
2
2
50
6
8
10
a
b
c
a
b
c
，判断
ΔABC 的形状.
【答案与解析】
第5页 共7页
解：由
2
2
2
50
6
8
10
a
b
c
a
b
c
，得 ：
2
2
2
6
9
8
16
10
25
0
a
a
b
b
c
c
∴
2
2
2
(
3)
(
4)
(
5)
0
a
b
c
∵
2
2
2
(
3)
0 (
4)
0 (
5)
0
a
b
c
，
，
∴
3,
4,
5.
a
b
c
∵
2
2
2
3
4
5
,
∴
2
2
2
a
b
c
.
由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.
【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要
用到.
类型三、勾股定理的实际应用
6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对
的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处
爬到B 处的最短路线长为多少?
【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是
正方形，故它爬行的路径有两种情况．
【答案与解析】
解：如图②③所示．
因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．
第6页 共7页
在图②中，由勾股定理，得
2
2
2
3
11
130
AB
．
在图③中，由勾股定理，得
2
2
2
6
8
100
AB
．
因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长
为10cm ．
【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面
图形上的直线，再运用勾股定理求解．
举一反三：
【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的
A 点，沿圆柱表面爬到与A 相对的上底面B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______.
(π 取3)
【答案】25；
第7页 共7页
