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《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1．将二次函数
2
y
x
的图象向右平移1 个单位，再向上平移2 个单位后，所得图象的函数表达式是( )．
A．
2
(
1)
2
y
x
B．
2
(
1)
2
y
x
C．
2
(
1)
2
y
x
D．
2
(
1)
2
y
x
2．二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象如图所示，则一次函数
2
4
y
bx
b
ac
与反比例函数
a
b
c
y
x
在同一坐标系内的图象大致为（ ）．
3．（2016•永州）抛物线y=x2+2x+m
1
﹣与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ）
A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜﹣2
4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A．
2
2
y
x
x
B．
2
1
1
1
2
2
y
x
x
C．
2
1
1
1
2
2
y
x
x
D．
2
2
y
x
x
5．（2014•巴中）已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图，则下列叙述正确的是（ ）
A．abc＜0
B．
3a+c
﹣
＜0
C．b2
4ac≥0
﹣
D．将该函数图象向左平移2 个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c
6．已知点(
1x ，
1y )，(
2x ，
2y )(两点不重合)均在抛物线
2
1
y
x
上，则下列说法正确的是( )．
A．若
1
2
y
y
，则
1
2
x
x
B．若
1
2
x
x
，则
1
2
y
y
C．若
1
2
0
x
x
，则
1
2
y
y
D．若
1
2
0
x
x
，则
1
2
y
y
7．在反比例函数
a
y
x
中，当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，则二次函数
2
y
ax
ax
的图象大致是图中
的( )．
8．已知二次函数
2
y
ax
bx
c
(其中
0
a
，
0
b
，
0
c
)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图
象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．
以上说法正确的有( )．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
二、填空题
9．（2014•长春一模）如图，已知抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的对称轴为直线x=1，且与x 轴的一个交点为（3，0），那
么它对应的函数解析式是
．
10．抛物线
2
y
x
bx
c
的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____．
11．抛物线
2
2(
2)
6
y
x
的顶点为C，已知y＝-kx+3 的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐标轴
所围成的三角形面积为________．
12．已知二次函数
2
2
y
x
x
m
的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程
2
2
0
x
x
m
的解
为___ _____．
第10 题 第12 题 第13 题
13．如图所示的抛物线是二次函数
2
2
3
1
y
ax
x
a
的图象，那么a 的值是________．
14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)
与飞行时间t(s)的关系式是
2
5
20
1
2
h
t
t
，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升
空到引爆需要的时间为________．
15．已知抛物线
2
y
ax
bx
c
经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6 的另一个点
的坐标是________．
16．若二次函数
2
6
y
x
x
c
的图象过A(-1，y1)、B(2，y2)、C(3
2
，y3)三点，则y1、y2、y3大小关系是
.
三、解答题
17．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x2
2
﹣|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补
充完整．
（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：
x
…
3
﹣
﹣
2
﹣
1
﹣
0
1
2
3
…
y
…
3
m
1
﹣
0
1
﹣
0
3
…
其中，m= ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象
的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x 轴有
个交点，所以对应的方程x2
2
﹣|x|=0 有 个实数根；
②方程x2
2
﹣|x|=2 有 个实数根；
③关于x 的方程x2
2
﹣|x|=a 有4 个实数根时，a 的取值范围是
．
18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上、下底相距80 米，在两腰
中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x
米．
(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；
(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；
(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关
系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米
时，所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?
19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为
5000 元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100 个，按原价付款；
若一次购买100 个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10 元，但太阳能路灯的售价不得低于
3500 元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额
为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元．
(1)分别求出y1、y2与x 之间的函数关系式；
(2)若市政府投资140 万元，最多能购买多少个太阳能路灯?
20. 王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用了30 分钟
时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量)y 的关系如图1 所示，用于回
顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量y 的关系如图2 所示(其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物
线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．
(1)求王亮解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)求王亮回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 之间的函数关系式；
(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30 分钟的学习收益总量最大?
(注：学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A；
【解析】
2
y
x
向右平移1 个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2 个单位后，顶点为（1，2），
开口方向及大小不变，所以
1
a
，即
2
(
1)
2
y
x
．
2.【答案】D；
【解析】由上图可知
0
a
，
0
c
，
0
2
b
a
，∴
0
b
．
0
a
b
c
．
2
4
0
b
ac
，
∴ 反比例函数图象在第二、四象限内，一次函数图象经过第一、二、四象限，因此选D．
3.【答案】A.
【解析】∵抛物线y=x2+2x+m
1
﹣与x 轴有两个交点，
∴△=b2
4ac
﹣
＞0，
即4
4m
﹣
+4＞0，
解得m＜2，
故选A．
4.【答案】D；
【解析】由图象知，抛物线与x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以
0
a
，
抛物线与y 轴交点纵坐标大于1．显然A、B、C 不合题意，故选D．
5.【答案】B；
【解析】A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y 轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y 轴右侧，
得到b 与a 异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；
B．根据图知对称轴为直线x=2，即
=2，得b=
4a
﹣
，再根据图象知当x=1 时，
y=a+b+c=a
4a+c=
3a+c
﹣
﹣
＜0，故本选项正确；
C．由抛物线与x 轴有两个交点，可得b2
4ac
﹣
＞0，故本选项错误；
D．y=ax2+bx+c=
，
∵
=2，
∴原式=
，
∴向左平移2 个单位后所得到抛物线的解析式为
，故本选项错误；
故选：B．
6.【答案】D；
【解析】画出
2
1
y
x
的图象，对称轴为
0
x
，若
1
2
y
y
，则
1
2
x
x
；若
1
2
x
x
，则
1
2
y
y
；若
1
2
0
x
x
，则
2
1
y
y
；若
1
2
0
x
x
，则
1
2
y
y
．
7．【答案】A；
【解析】因为
a
y
x
，当
0
x
时，y 随x 增大而减小，所以a＞0，因此抛物线
2
(
1)
y
ax
ax
a x
x
开
口向上，且与x 轴相交于（0，0）和（1，0）．
8．【答案】C；
【解析】∵
0
a
，
0
b
，∴ 抛物线开口向上，
0
2
b
x
a
，因此抛物线顶点在y 轴的左侧，
不可能在第四象限；又
0
c
，
1
2
0
c
x
x
a
·
，抛物线与x 轴交于原点的两侧，
因此①③是正确的．
二、填空题
9．【答案】y=
x
﹣2+2x+3；
【解析】∵抛物线y=
x
﹣2+bx+c 的对称轴为直线x=1，
∴=1，解得b=2，
∵与x 轴的一个交点为（3，0），
0=
9+6+c
∴
﹣
，
解得c=3，
故函数解析式为y=
x
﹣2+2x+3．
10．【答案】
2
2
3
y
x
x
；
【解析】由题意和图象知抛物线与x 轴两交点为（3，0）、（-1，0），
∴ 抛物线解析式为
(
3)(
1)
y
x
x
，即
2
2
3
y
x
x
．
11．【答案】1；
【解析】
9
2
k
，
9
3
2
y
x
，与坐标轴交点为(0，3)，2 ,0
3
．
12．【答案】 x1＝3 或x2＝-1 ；
【解析】由二次函数
2
2
y
x
x
m
部分图象知，与x 轴的一个交点为(3，0)．代入方程得m＝3，解方
程得x1＝3 或x2＝-1．
13．【答案】-1；
【解析】因为抛物线过原点，所以
2
1
0
a
，即
1
a ，又抛物线开口向下，所以a＝-1．
14．【答案】4s ；
【解析】
20
4(s)
5
2
2
t
．
15．【答案】(1，-6)；
【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注意到：
A、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，4)，B(5，4)得，对称轴
1 5
2
2
x
，而抛物线上纵坐标为-6 的一点是(3，-6)，所以它关于x＝2 的对称点是(1，-
6)．故抛物线上纵坐标为-6 的另一点的坐标是(1，-6)．
16．【答案】y1＞y3＞y2．
【解析】因为抛物线的对称轴为
6
3
2 3
x
．而A、B 在对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小，
∵ -1＜2，∴ y1＞y2，又C 在对称轴右侧，且A、B、C 三点到对称轴的距离分别
为2，1，
2 ，由对称性可知：y1＞y3＞y2．
三、解答题
17.【答案与解析】
解：（1）把x=
2
﹣代入y=x2
2
﹣|x|得y=0，
即m=0，
故答案为：0；
（2）如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x2
2
﹣|x|的图象关于y 轴对称；②当x＞1 时，y 随x 的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3 个交点，所以对应的方程x2
2
﹣|x|=0 有3 个实数根；
②如图，∵y=x2
2
﹣|x|的图象与直线y=2 有两个交点，
∴x2
2
﹣|x|=2 有2 个实数根；
③由函数图象知：∵关于x 的方程x2
2
﹣|x|=a 有4 个实数根，
∴a 的取值范围是﹣1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．
18.【答案与解析】
(1)横向甬道的面积为120 180
150
2
x
(m2)．
(2)依题意：
2
1
120 180
2 80
150
2
80
8
2
x
x
x
，
整理得
2
155
750
0
x
x
，解得x1＝5，x2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为5 米．
(3)设建花坛的总费用为y 万元，则
2
120 180
0.02
80
(160
150
2
)
5.7
2
y
x
x
x
x
．
∴ y＝0.04x2-0.5x+240．
当
0.5
6.25
2
2 0.04
b
x
a
时，y 的值最小．
∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m．
∴ 当x＝6m 时，总费用最少，为0.04×62-0.5×6+240＝238.44(万元)．
19.【答案与解析】
(1)由题意可知，当x≥100 时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10 元，但售价不得低于3500
元/个，所以
5000
3500
100
250
10
x
，即100≤x≤250 时，购买一个需5000-10(x-100)元．
故y1＝6000x-10x2；
当x＞250 时，购买一个需3500 元．
故y1＝3500x．
所以
2
1
5000
(0
100),
6000
10
(100
250),
3500
(
250),
x
x
y
x
x
x
x
x
y2＝5000×80%x＝4000x．
(2)当0＜x≤100 时，y1＝5000x≤500000＜1400000；
当100＜x≤250 时，y1＝6000x-10x2＝-10(x-300)2+900000＜1400000；
所以，由3500x＝1400000，得x＝400．
由4000x＝1400000，得x＝350．
故选择甲商家，最多能购买400 个路灯．
20.【答案与解析】
(1)设y＝kx，把(2，4)代入，得k＝2，所以y＝2x，自变量x 的取值范围是：0≤x≤30．
(2)当0≤x＜5 时，设y＝a(x-5)2+25，
把(0，0)代入，得25a+25＝0，a＝-1，
所以
2
2
(
5)
25
10
y
x
x
x
．
当5≤x≤15 时，y＝25．
即
2
10 (0
5),
25(5
15).
x
x
x
y
x
(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x＜5)分钟，学习收益总量为Z，则他用于解题的时间为(30-x)
分钟．
当0≤x＜5 时，
2
2
2
10
2(30
)
8
60
(
4)
76
Z
x
x
x
x
x
x
．
所以当x＝4 时，
76
Z
最大
．
当5≤x≤15 时，Z＝25+2(30-x)＝-2x+85．
因为Z 随x 的增大而减小，
所以当x＝5 时，
75
Z
最大
．
综合所述，当x＝4 时，
76
Z
最大
，此时30-x＝26．
即王亮用于解题的时间为26 分钟，用于回顾反思的时间为4 分钟时．学习收益总量最大．
