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一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1. （2016•天津）方程x2+x
12=0
﹣
的两个根为（ ）
A．x1=
2
﹣，x2=6 B．x1=
6
﹣，x2=2 C．x1=
3
﹣，x2=4 D．x1=
4
﹣，x2=3
2．整式x+1 与整式x-4 的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-4＝0 的根是( )．
A．x1＝-1，x2＝-4 B．x1＝-1，x2＝4
C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝1，x2＝-4
3．如果x2+x-1＝0，那么代数式
3
2
2
7
x
x
的值为( )
A．6 B．8 C．-6 D．-8
4．若关于x 的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2＝0 的常数项为0，则m 的值等于( )
A．1 B．2 C．1 或2 D．0
5．若代数式(
2)(
1)
|
| 1
x
x
x
的值为零，则x 的取值是( )．
A．x＝2 或x＝1 B．x＝2 且x＝1
C．x＝2 D．x＝-1
6．（2015·广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0 的两根，则该等腰三角形周长是(
)．
A．12 B．9 C．13 D．12 或9
二、填空题
7．已知实数x 满足4x2-4x+1＝0，则代数式
1
2
2
x
x
的值为________．
8．已知y＝x2+x-6，当x＝________时，y 的值是24．
9．若方程
2x
mx
n
可以分解成（x-3）与(x+4)的积的形式，则m＝________，n＝________．
10．若规定两数a、b 通过“※”运算，得到4ab，即a※b＝4ab，例如2※6＝4×2×6＝48．
(1)则3※5 的值为 ；
(2)则x※x+2※x-2※4＝0 中x 的值为 ；
(3)若无论x 是什么数，总有a※x＝x，则a 的值为 ．
11．（2014 秋•王益区校级期中）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4
5x
﹣
2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2
5y+4=0
﹣
①，解得y1=1，y2=4．
当y=1 时，x2=1，∴x=±1；
当y=4 时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=
1
﹣，x3=2，x4=
2
﹣．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．
（2）方程（x2+x）2
4
﹣（x2+x）﹣12=0 的解为 ．
12．（2016•柘城县校级一模）三角形两边的长分别是8 和6，第3 边的长是一元二次方程x2
16x
﹣
+60=0 的一
个实数根，则该三角形的面积是
．
三、解答题
13. 用公式法解下列方程：
2
(1)
2
1
0
x
ax
； （2）
2
2
2
2
2
(
1)
(
)
ab x
a x
b x a
b
．
14．(2015 春·北京校级期中)用适当方法解下列方程：
（1）（2x-3）
2
=25 (2)x
2
-4x+2=0 (3)x
2
-5x-6=0
15．(1)利用求根公式计算，结合①②③你能得出什么猜想?
①方程x2+2x+1＝0 的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
②方程x2-3x-1＝0 的根为x1＝________，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
③方程3x2+4x-7＝0 的根为x1＝_______，x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
(2)利用求根公式计算：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0，且b2-4ac≥0)的两根为x1＝________，
x2＝________，x1+x2＝________，x1·x2＝________．
(3)利用上面的结论解决下面的问题：
设x1、x2是方程2x2+3x-1＝0 的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：
①
1
2
1
1
x
x
； ②
2
2
1
2
x
x
．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
【解析】x2+x
12=
﹣
（x+4）（x
3
﹣）=0，则x+4=0，或x
3=0
﹣
，解得：x1=
4
﹣，x2=3．故选D．
2．【答案】B；
【解析】∵
2
3
4
(
1(
4)
x
x
x
x
，∴
2
3
4
0
x
x
的根是
1
1
x ，
2
4
x
．
3．【答案】C．
【解析】∵
2
1
0
x
x
，∴
2
1
x
x
．
∴
．
4.【答案】B；
【解析】由常数项为0 可得m2-3m+2＝0，∴ (m-1)(m-2)＝0，即m-1＝0 或m-2＝0，
∴ m＝1 或m＝2，而一元二次方程的二次项系数m-1≠0，∴ m≠1，即m＝2．
5．【答案】C；
【解析】(
2)(
1)
0
x
x
且|
| 1
x
，∴
2
x
．
6．【答案】A ；
【解析】x2-7x+10=0，x1=2，x2=5，此等腰三角形的三边只能是5，5，2，其周长为12．
二、填空题
7．【答案】2；
【解析】用因式分解法解方程
2
4
4
1
0
x
x
得原方程有两个等根，即
1
2
1
2
x
x
，
所以
1
2
1 1
2
2
x
x
．
8．【答案】5 或-6；
【解析】此题把y 的值代入得到关于x 的一元二次方程，解之即可．
如：根据题意，得
2
6
24
x
x
，整理得
2
30
0
x
x
，解得
1
5
x
，
2
6
x ．
9．【答案】 1 ； -12 ；
【解析】
2
2
(
3)(
4)
12
x
mx
n
x
x
x
x
，∴ m＝1，n＝-12．
10．【答案】(1)60；(2)
1
2
x
，
2
4
x ；(3)
1
4
a
．
【解析】(1)3※5＝4×3×5＝60；
(2)∵ x ※ x +2※
2
x
※4＝
2
4(
2
8)
0
x
x
，∴
1
2
x
，
2
4
x ；
(3)∵ a ※
4
x
ax
x ，4
(4
1)
0
ax
x
a
x
，
∴ 只有4
1
0
a
，等式才能对任何x 值都成立．
∴
1
4
a
．
11．【答案】(1) 换元； 降次； (2) x1=
3
﹣，x2=2．
【解析】解：（1）换元，降次
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2
4y
12=0
﹣
﹣
，
解得y1=6，y2=
2
﹣．
由x2+x=6，得x1=
3
﹣，x2=2．
由x2+x=
2
﹣，得方程x2+x+2=0，
b2
4ac=1
4×2=
7
﹣
﹣
﹣＜0，此时方程无实根．
所以原方程的解为x1=
3
﹣，x2=2．
12.【答案】24 或8
．
【解析】解：∵x2
16x
﹣
+60=0，
∴（x
6
﹣）（x
10
﹣
）=0，
解得：x1=6，x2=10，
当x=6 时，则三角形是等腰三角形，如图①：AB=AC=6，BC=8，AD 是高，
∴BD=4，AD=
=2
，
∴S
ABC
△
=
BC•AD=
×8×2
=8
；
当x=10 时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°，
S
ABC
△
=
BC•AC=
×8×6=24．
∴该三角形的面积是：24 或8
．
故答案为：24 或8
．
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）∵
1,
2 ,
1,
a
b
a c
∴
2
2
2
4
( 2 )
4 1 ( 1)
4
4
0
b
ac
a
a
＞
∴
2
2
2
4
4
1
2
a
a
x
a
a
∴
2
2
1
2
1,
1.
x
a
a
x
a
a
（2）
2
2
2
(
1)
ab x
a x
b x
，
即
2
2
2
(
)
0
abx
a
b
x
ab
，
令A＝ab，B＝
2
2
(
)
a
b
，C＝ab．
∵
2
2
2
2
2
2
2
4
(
)
4
(
)
0
B
AC
a
b
ab
ab
a
b
＞，
∴
2
2
2
2
2
4
(
)
2
2
B
B
AC
a
b
a
b
x
A
ab
，
∴
2
2
2
2
2
1
2
2
2
a
b
a
b
a
a
x
ab
ab
b
，
2
2
2
2
2
2
(
)
2
2
2
a
b
a
b
b
b
x
ab
ab
a
，
∴
1
a
x
b
，
2
b
x
a
．
14.【答案与解析】
解：（1）直接开平方得：2x-3=±5，
∴2x-3= 5 或2x-3=-5
∴x1= 4，x2= -1
（2）∵a=1,b=-4,c=2,
∴△=b2-4ac=16-8=8.
∴
∴
（3）分解因式得：（x-6）(x+1)=0
∴ x-6= 0 或 x+1=0
∴x1= 6，x2= -1.
15.【答案与解析】
(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数．
① -1 ； -1 ； -2 ； 1.
② 3
13
2
；3
13
2
； 3 ；-1.
③
7
3
； 1 ；
4
3
；
7
3
.
(2)
2
4
2
b
b
ac
a
；
2
4
2
b
b
ac
a
；
b
a
；c
a
.
(3)
1
2
3
2
x
x
，
1
2
1
2
x
x
．
①
1
2
1
2
1
2
3
1
1
2
3
1
2
x
x
x
x
x x
．
②
2
2
2
1
2
1
2
1
2
9
1
9
13
(
)
2
2
1
4
2
4
4
x
x
x
x
x x
．
