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让更多的孩子得到更好的教育
反比例函数全章复习与巩固（基础）
责编：康红梅
【学习目标】
1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析
式
，能判断一个给定函数是否为反比例函数；
2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；
3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数
的性质，能利用这些性质分
析和解决一些简单的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂406878 反比例函数全章复习 知识要点】
要点一、反比例函数的概念
一般地，形如
(k 为常数，
0
k
)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是
函数，自变量
的取值范围是不等于0 的一切实数.
要点诠释：在
中，自变量x 的取值范围是
，
(
)可以写成
(
)的形式，也可以写成
的形式.
要点二、反比例函数解析式的确定
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数
中，只有一个待定
系数
，因此只需要知道一对
的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出
的值，从
而确定其解析式.
要点三、反比例函数的图象和性质
1.反比例函数的图象
反比例函数
的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、
三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与
轴、轴都没有交点，即
双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
要点诠释：
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观察反比例函数
的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对
称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．
①
的图象是轴对称图形，对称轴为
两条直线；
②
的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；
③
(k≠0)在同一坐标系中的图象关于
轴对称，也关于
轴对称.
注：正比例函数
与反比例函数
，
当
时，两图象没有交点；当
时，两图象必有两个交点，且这两个交
点关于原点成中心对称.
2.反比例函数的性质
（1）图象位置与反比例函数性质
当
时，
同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随
的增大而减小；
当
时，
异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，
随
的增大而增大.
（2）若点(
)在反比例函数
k
y
x
的图象上，则点（
）也在此图象上，故反比例函
数的图象关于原点对称.
（3）正比例函数与反比例函数的性质比较
正比例函数
反比例函数
解析式
图 像
直线
有两个分支组成的曲线（双曲线）
位 置
，一、三象限；
，一、三象限
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，二、四象限
，二、四象限
增减性
，
随
的增大而增大
，
随
的增大而减小
，在每个象限，
随
的增大而减小
，在每个象限，
随
的增大而增大
（4）反比例函数y＝
中
的意义
①过双曲线
x
k
y
(k ≠0) 上任意一点作
轴、
轴的垂线，所得矩形的面积为k .
②过双曲线
x
k
y
(
≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的
面积为2
k
.
要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点
1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意
将实际问题转化为数学问题.
2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
【典型例题】
类型一、确定反比例函数的解析式
1、已知函数
是反比例函数，则
的值为 .
【答案】
【解析】根据反比例函数概念，
＝
且
，可确定
的值.
【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是－1，另一个是自变量的系
数不等于0.
举一反三：
【变式】反比例函数
图象经过点（2，3），则
的值是（ ）.
A.
B.
C. 0
D. 1
【答案】D；
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反比例函数
过点（2，3）．
．
类型二、反比例函数的图象及性质
2、已知，反比例函数
的图象在每个分支中
随
的增大而减小，试求
的取值范围．
【思路点拨】由反比例函数性质知，当
＞0 时，在每个象限内
随
的增大而减小，由此可
求出
的取值范围，进一步可求出
的取值范围．
【答案与解析】
解：由题意得：
，解得
，
所以
，则
＜3．
【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键．
举一反三：
【变式】已知反比例函数
，其图象位于第一、第三象限内，则
的值可为________
（写出满足条件的一个
的值即可）．
【答案】3（满足
＞2 即可）.
3、在函数
（
，为常数）的图象上有三点(－3，
)、(－2，
)、(4，
)，则函数值的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D；
【解析】
∵ |
|＞0，∴ －|
|＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，
随
增大而增大，(－3，
)、(－2，
)在第二象限，(4，
)在第四象限，∴ 它们的大小关
系是：
．
【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能
一概而论，本题的点(－3，
)、(－2，
)在双曲线的第二象限的分支上，因为－3＜－2，所以
1
2
y
y
，点(4，
)在第四象限，其函数值小于其他两个函数值．
举一反三：
【变式1】在同一坐标系中，函数y= 和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（ ）.
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A.
B.
C.
D.
【答案】C；
提示：分两种情况讨论：
①当k＞0 时，y=kx+3 与y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y= 的图象在第一、三象限；
②当k＜0 时，y=kx+3 与y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y= 的图象在第二、四象限．
故选C．
【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例7】
【变式2】已知
,且
则函数
与
在同一坐标系中
的图象不可能是( ) .
【答案】B ；
提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是
，则
，对于反比例函数来
说，
，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.
4、（2016•齐齐哈尔）如图，已知点P（6，3），过点P 作PM⊥x 轴于点M，PN⊥y 轴于点
N，反比例函数y=
的图象交PM 于点A，交PN 于点B．若四边形OAPB 的面积为12，则k=
．
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【思路点拨】根据点P（6，3），可得点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3，代入函数解析式分
别求出点A 的纵坐标和点B 的横坐标，然后根据四边形OAPB 的面积为12，列出方
程求出k 的值．
【答案】6．
【解析】
解：∵点P（6，3），
∴点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3，
代入反比例函数y=
得，
点A 的纵坐标为
，点B 的横坐标为
，
即AM=
，NB=
，
∵S 四边形OAPB=12，
即S 矩形OMPN
S
﹣
OAM
△
S
﹣
NBO
△
=12，
6×3﹣
×6×
﹣
×3×
=12，
解得：k=6．
故答案为：6．
【总结升华】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，解答本题的关键是根据点A、B 的纵
横坐标，代入解析式表示出其坐标，然后根据面积公式求解．
举一反三：
【变式】如图，过反比例函数
的图象上任意两点A、B，分别作
轴的垂线，垂足为
，连接OA，OB，
与OB 的交点为P，记△AOP 与梯形
的面积分别为
，
试比较
的大小.
【答案】
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解：∵
，
且
，
∴
.
类型三、反比例函数与一次函数综合
5、已知反比例函数
和一次函数
的图象的一个交点坐标是(－3，4)，
且一次函数的图象与
轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达
式．
【思路点拨】因为点(－3，4)是反比例函数
与一次函数
的图象的一个交点，
所以把(－3，4)代入
中即可求出反比例函数的表达式．欲求一次函数
的表
达式，有两个待定未知数
，已知一个点(－3，4)，只需再求一个一次函数图象上的点即
可．由已知一次函数图象与
轴的交点到原点的距离是5，则这个交点坐标为(－5，0)或(5，
0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式．
【答案与解析】
解：因为函数
的图象经过点(－3，4)，
所以
，所以
＝－12．
所以反比例函数的表达式是
．
由题意可知，一次函数
的图象与
轴的交点坐标为(5，0)或(－5，0)，则分两
种情况讨论：
当直线
经过点(－3，4)和(5，0)时，
有
解得
所以
．
当直线
经过点(－3，4)和(－5，0)时，
有
解得
所以
．
所以所求反比例函数的表达式为
，一次函数的表达式为
或
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．
【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能漏
解．
举一反三：
【变式】如图所示，A、B 两点在函数
的图象上．
（1）求
的值及直线AB 的解析式；
（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点．请直接写出图中阴影
部分（不包括边界）所含格点的个数．
【答案】
解：（1）由图象可知，函数
的图象经过点A(1，6)，可得
＝6．
设直线AB 的解析式为
．
∵ A(1，6)，B(6，1)两点在函数
的图象上，
∴
解得
∴ 直线AB 的解析式为
．
（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3．
类型四、反比例函数应用
6、（2015•兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用
时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120．
（1）直接写出v 与t 的函数关系式；
（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20 千米，3 小时后
两车相遇．
①求两车的平均速度；
②甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200 千米，当客车进入B 加油站时，货车恰好进
入A 加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B 加油站的距离．
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【答案与解析】
解：（1）设函数关系式为v= ，
t=5
∵
，v=120，
k=120×5=600
∴
，
v
∴与t 的函数关系式为v=
（5≤t≤10）；
（2）①依题意，得
3（v+v
20
﹣
）=600，
解得v=110，
经检验，v=110 符合题意．
当v=110 时，v
20=90
﹣
．
答：客车和货车的平均速度分别为110 千米/小时和90 千米/小时；
②当A 加油站在甲地和B 加油站之间时，
110t﹣（600
90t
﹣
）=200，
解得t=4，此时110t=110×4=440；
当B 加油站在甲地和A 加油站之间时，
110t+200+90t=600，
解得t=2，此时110t=110×2=220．
答：甲地与B 加油站的距离为220 或440 千米．
【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关
的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.
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