2 一次函数与正比例函数
教学目标
【知识与技能】
了解一次函数,正比例函数的一般形式.
【过程与方法】
运用一次函数、正比例函数知识解决实际问题.
【情感、态度与价值观】
让学生认识到事物之间是普遍联系的,增强学生的数学应用意识.
教学重难点
【重点】
一次函数、正比例函数的一般形式.
【难点】
探索实际问题中的一次函数、正比例函数关系.
教学过程
一、创设情境,引入新课
问题:某登山队大本营所在地的气温是5 ℃,海拔每升高1 km 气温下降6 ℃,登山队员由
大本营向上登高x km 时,他们所在位置的气温是y ℃,试用表达式表示y 与x 间的关系.
师:每升高1 km 气温下降6 ℃,那么升高x km,气温下降6x ℃,因此所在位置的气温为5-
6x,即y=-6x+5.
师:自变量是x,右边是自变量的一次式,像这样的函数就是我们今天所要学的一次函数.
二、讲授新课
思考:下列问题中变量间的关系可用怎样的函数表示?这些函数有哪些共同点?
师:在20℃~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫的次数C 与t(℃)有关,即C 的值约是t 的7 倍与35
的差,这个函数的关系式怎么写?
生:C=7t-35.
师:一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是以厘米为单位量出身高h,再减去常数105,
所得差是G 的值,即G=h-105.
师:某城市的市内电话的月收费y(元),包括:月租费22 元,拨打电话按0.1 元/分收取,写出
y 与每月打电话x(分钟)的函数关系式.
生:y=0.1x+22.
师:把一个长10 cm、宽5 cm 的长方形的长减少x cm,宽不变,长方形的面积y(cm2)随x 的
变化的关系式是什么?
生:y=5(10-x)=-5x+50.
师:上述这些函数有什么共同特点?比如说右边.
生:右边都是自变量的倍数与一个常数的和.
师:对,上述这些函数右边都是关于自变量的一次式,像这样的函数是一次函数.
一般地,形如y=kx+b(k、b 是常数,k≠0)的函数叫做一次函数,特别地,当b=0 时,称y 是x 的
正比例函数.
师:下面的函数是一次函数吗?
①y=x-6;②y=;③y=;④y=7-x.
生1:y=x-6 是一次函数,其中k=1,b=-6.
生2:y=不是一次函数.
生3:y=是一次函数,其中k=,b=0.
生4:y=7-x 是一次函数,其中k=-1,b=7.
师:值得注意的是y=也是一次函数,它是当b=0 时的特殊情况,所以也是正比例函数.
例题:
(1)已知函数y=(k-2)x+2k+1,当k 为何值时它是正比例函数?当k 为何值时它是一次函数?
解:当2k+1=0,即k=-时,为正比例函数.
当k-2≠0,即k≠2 时,为一次函数.
(2)已知y 与x-3 成正比例,当x=4 时,y=3,写出y 与x 的函数关系式并指出是什么函数.
解:因为y 与x-3 成正比例,所以设y=k(x-3),代入得k=3.
所以y=3(x-3),即y=3x-9,y 是x 的一次函数.
三、例题讲解
【例1】求出下列各题中x 与y 之间的关系式,并判断y 是否为x 的一次函数,是否为正比
例函数:
(1)某农场种植玉米,每平方米种玉米6 株,玉米株数y 与种植面积x(m2)之间的关系;
(2)正方形周长x 与面积y 之间的关系;
(3)假定某种储蓄的月利率是0.16%,存入1000 元本金后,本息和y(元)与所存月数x 之间
的关系.
【答案】(1)因为每平方米种玉米6 株,所以x 平方米能种玉米6x 株,得y=6x,y 是x 的一次
函数,也是正比例函数.
(2)由正方形面积公式,得y=()2,y 不是x 的一次函数,也不是正比例函数.
(3)因为该种储蓄的月利率是0.16%,存x 月所得的利息为0.16%x×1000,所以本息和
y=1000+1.6x,y 是x 的一次函数,但不是x 的正比例函数.
【例2】我国自2011 年9 月1 日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入低于3500
元的部分不收税;月收入超过3500 元但低于5000 元的部分征收3%的所得税……如某人月收
入3860 元,他应缴纳个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8(元).
(1)当月收入大于3500 元而又小于5000 元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税y(元)与
月收入x(元)之间的关系式;
(2)某人月收入为4160 元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元?
(3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税19.2 元,那么此人本月工资薪金收入是多少
元?
【答案】(1)当月收入大于3500 元而小于5000 元时,y=(x-3500)×3%,即y=0.03x-105;
(2)当x=4160 时,y=0.03×4160-105=19.8(元);
(3)因为(5000-3500)×3%=45(元),19.2<45 元,所以此人本月工资、薪金收入低于5000 元.
设此人本月工资、薪金收入是x 元,则19.2=0.03x-105,x=4140.即此人本月工资、薪金收入是
4140 元.
四、举一反三
写出下列函数关系式,并指出哪些是一次函数,其中哪些又属于正比例函数.
1.面积为10 cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm).
2.长为8 cm 的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm).
3.食堂原有煤120 吨,每天要用去5 吨,x 天后还剩下煤y 吨.
4.汽车每小时行40 千米,行驶的路程s(千米)和时间t(小时).
5.汽车以60 千米/时的速度匀速行驶,行驶路程中y(千米)与行驶时间x(小时)之间的关
系式.
6.圆的面积y(平方厘米)与它的半径x(厘米)之间的关系.
7.一棵树现在高50 厘米,每个月长高2 厘米,x 个月后这棵树的高度为y(厘米).
五、课堂小结
本节课从实际出发得出一次函数的概念并在实际问题中根据简单信息写出一次函数的
表达式,进而解决问题.
