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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）
责编：常春芳
【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象；会用配方法将二次函数
2
y
ax
bx
c
的解
析式写成
2
(
)
y
a x
h
k
的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数
2
y
ax
bx
c
的性质；
3.经历探索
2
y
ax
bx
c
与
2
(
)
y
a x
h
k
的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象
和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
与
2
(
)
(
0)
y
a x
h
k a
之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式
2
(
)
y
a x
h
k
我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k) ，所以我们称
2
(
)
y
a x
h
k
为顶点式，将顶点式
2
(
)
y
a x
h
k
去括号，合并同类项就可化成一般式
2
y
ax
bx
c
．
2.一般式化成顶点式
2
2
2
2
2
2
2
b
b
b
b
y
ax
bx
c
a x
x
c
a x
x
c
a
a
a
a
2
2
4
2
4
b
ac
b
a x
a
a
．
对照
2
(
)
y
a x
h
k
，可知
2
b
h
a
，
2
4
4
ac
b
k
a
．
∴ 抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴是直线
2
b
x
a
，顶点坐标是
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
．
要点诠释：
1．抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴是直线
2
b
x
a
，顶点坐标是
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
，可以当作公
式加以记忆和运用．
2．求抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种
方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线
2
y
ax
bx
c
与坐标轴的交点，
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A、B 及抛物线与y 轴的交点C，再找到点C 关于对称
轴的对称点D，将A、B、C、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D，由C、M、D 三点可
粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用
平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象与性质
1.二次函数
2
0
(
)
y
ax
bx
c a
图象与性质
函数
二次函数
2
y
ax
bx
c
（a、b、c 为常数，a≠0）
图象
0
a
0
a
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
2
b
x
a
直线
2
b
x
a
顶点坐标
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
增减性
在对称轴的左侧，即当
2
b
x
a
时，y 随x 的增
大而减小；在对称轴的右侧，即当
2
b
x
a
时，
y 随x 的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当
2
b
x
a
时，y 随
x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
2
b
x
a
时，y 随x 的增大而减小．简
记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当
2
b
x
a
时，y 有最小值，
2
4
4
ac
b
y
a
最小值
抛物线有最高点，当
2
b
x
a
时，y 有最
大值，
2
4
4
ac
b
y
a
最大值
2.二次函数
2
0
(
)
y
ax
bx
c a
图象的特征与a、b、c 及b2-4ac 的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b 同号)
对称轴在y 轴左侧
ab＜0(a，b 异号)
对称轴在y 轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y 轴正半轴相交
c＜0
与y 轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x 轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x 轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x 轴没有交点
要点四、求二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当
2
b
x
a
时，
2
4
4
ac
b
y
a
最值
．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看
2
b
a
是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若
在此范围内，则当
2
b
x
a
时，
2
4
4
ac
b
y
a
最值
，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内
的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x＝x2时，
2
2
2
y
ax
bx
c
最大值
；当x＝x1时，
2
1
1
y
ax
bx
c
最小值
，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x＝x1时，
；当x
＝x2时，
，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，
2
b
x
a
时y 值
的情况．
【典型例题】
类型一、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象与性质
1．求抛物线
2
1
4
2
y
x
x
的对称轴和顶点坐标．
【答案与解析】
解法1（配方法）：
2
2
2
1
1
1
4
(
2 )
4
(
2
1 1)
4
2
2
2
y
x
x
x
x
x
x
2
1
1
(
1)
4
2
2
x
2
1
7
(
1)
2
2
x
．
∴ 顶点坐标为
7
1,
2
，对称轴为直线
1
x
．
解法2（公式法）：∵
1
2
a
，
1
b ，
4
c ，∴
，
2
2
1
4
( 4) 1
4
7
2
1
4
2
4
2
ac
b
a
．
∴ 顶点坐标为
7
1,
2
，对称轴为直线
1
x
．
解法3（代入法）：∵
1
2
a
，
1
b ，
4
c ，
∴
1
1
1
2
2
2
b
x
a
．
将
1
x
代入解析式中得，
2
1
7
1
1 4
2
2
y
．
∴ 顶点坐标为
7
1,
2
，对称轴为直线
1
x
．
【总结升华】所给二次函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：（1）利用配方法将一般式化
成顶点式；（2）用顶点公式
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
直接代入求解；（3）利用公式先求顶点的横坐标，
然后代入解析式求出纵坐标．这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
举一反三：
【高清课程名称：二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象与性质
高清ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题1】
【变式】把一般式
2
2
8
6
y
x
x
化为顶点式．
（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D 的坐标；
（2）分别求出它与y 轴的交点C，与x 轴的交点A、B 的坐标.
【答案】（1）向下；x=2；D (2，2).
（2）C（0，-6）；A（1,0）；B（3,0）.
2．（2015•聊城）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b=0；②a+c＞b；③
抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）；④abc＞0．其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①④．
【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵x=﹣1 时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
即a+c＜b，所以②错误；
∵抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），所以③错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴b=﹣2a＜0，
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以④正确．
故答案为①④．
【总结升华】本题考查了二次函数图象与系数之间的对应关系，难度适中.
类型二、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的最值
3．求二次函数
2
1
1
3
2
2
y
x
x
的最小值.
【答案与解析】
解法1(配方法)：∵
2
2
2
1
1
1
1
(
6 )
(
6
3
9)
2
2
2
2
y
x
x
x
x
2
1 (
3)
4
2 x
，
∴ 当x＝-3 时，
4
y
最小
．
解法2(公式法)：∵
1
0
2
a
，b＝3，
1
2
c
∴ 当
3
3
1
2
2
2
b
x
a
时，
2
2
1
1
4
3
4
1 9
2
2
4
1
4
2
4
2
ac
b
y
a
最小
．
解法3(判别式法)：∵
2
1
1
3
2
2
y
x
x
，∴
2
6
(1
2 )
0
x
x
y
．
∵ x 是实数，∴ △＝62-4(1-2y)≥0，∴ y≥-4．
∴ y 有最小值-4，此时
2
6
9
0
x
x
，即x＝-3．
【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵
活去选择．
举一反三：
【高清课程名称：二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象与性质
高清ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：例题2】
【变式】用总长60m 的篱笆围成矩形场地．矩形面积S 随矩形一边长L 的变化而变化．当L 是多少时，矩形
场地的面积S 最大？
【答案】
(30
)
S
L
L
2
(
30 )
L
L
2
(
15)
225
L
（0<L<30）．
15
L
（m）时，场地的面积S 最大，为225m2．
类型三、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
性质的综合应用
4．已知二次函数
2
1
y
x
bx
c
的图象过点P(2，1)．
（1）求证：
2
4
c
b
； （2）求bc 的最大值．
【答案与解析】
（1）∵
2
1
y
x
bx
c
的图象过点P(2，1)，
∴ 1=4+2b+c+1，∴ c=-2b-4．
（2）
2
2
( 2
4)
2(
2 )
2(
1)
2
bc
b
b
b
b
b
．
∴ 当
1
b 时，bc 有最大值．最大值为2．
【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b、c 的关系即可．
（2）利用（1）中b 与c 的关系，用b 表示bc，利用函数性质求解．
举一反三：
【变式】（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c 的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c 的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1 的两根之和为﹣1；
④使y≤3 成立的x 的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（ ）
A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
【答案】B.
提示：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c 的最大值为4，①正确；
∵x=2 时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1 的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3 成立的x 的取值范围是x≥0 或x≤﹣2，④错误，
故选：B．
