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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1. 将二次函数
2
2
3
y
x
x
化为
2
(
)
y
x
h
k
的形式，结果为（ ）．
A．
2
(
1)
4
y
x
B．
2
(
1)
4
y
x
C．
2
(
1)
2
y
x
D．
2
(
1)
2
y
x
2．已知二次函数
2
y
ax
bx
c
的图象，如图所示，则下列结论正确的是（ ）．
A．
0
a
B．
0
c
C．
2
4
0
b
ac
D．
0
a
b
c
3．若二次函数
2
5
y
x
bx
配方后为
2
(
2)
y
x
k
，则b、k 的值分别为（ ）．
A．0，5 B．0，1 C．-4，5 D．-4，1
4．抛物线
2
y
x
bx
c
的图象向右平移2 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，所得图象的解析式
为
2
2
3
y
x
x
，则b、c 的值为（ ）．
A.b=2，c=2 B. b=2，c=0 C. b= -2，c= -1 D. b= -3，c=2
5．已知抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c 的值( )
A. 等于0 B.等于1 C. 等于-1 D. 不能确定
6．（2015•安徽）如图，一次函数y1=x 与二次函数y2=ax2+bx+c 图象相交于P、Q 两点，则函数
y=ax2+（b
1
﹣）x+c 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7．（2015•怀化）二次函数y=x2+2x 的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
8．已知二次函数
2
2
y
ax
ax
c
，当x＝-1 时，函数y 的值为4，那么当x＝3 时，函数y 的值为________．
9．二次函数
2
y
x
bx
c
的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．
10．二次函数
2
3
y
x
mx
的图象与x 轴的交点如图所示．根据图中信息可得到m 的值是________．
第10 题 第11 题
11．如图二次函数y=ax2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y 轴交于负半轴
第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0 其中正确的结论的序号是___ ；
第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___ __.
12．已知二次函数y=x2-2x-3 的图象与x 轴交于点A、B 两点，在x 轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC 的面
积等于10，则C 点的坐标为__ __.
三、解答题
13．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A、C 分别在x 轴、y 轴的
正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c 经过B、C 两点，点D 为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D 的坐标和四边形ABCD 的面积．
14. 如图所示，抛物线
2
5
4
y
ax
ax
a
与x 轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．
（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
15.已知抛物线
2
1
5
3
2
2
y
x
x
：
(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)画函数图象，并根据图象说出x 取何值时，y 随x 的增大而增大？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
函数y 有最大值还是最小值？最值为多少？
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D；
【解析】根据配方法的方法及步骤，将
2
2
x
x
化成含x 的完全平方式为
2
(
1)
1
x
，
所以
2
2
2
3
(
1)
2
y
x
x
x
．
2.【答案】D；
【解析】由图象的开口方向向下知
0
a
；图象与y 轴交于正半轴，所以
0
c
；
又抛物线与x 轴有两个交点，所以
2
4
0
b
ac
；当
1
x
时，所对应的y 值大于零，
所以
0
a
b
c
．
3.【答案】D；
【解析】因为
2
2
(
2)
4
4
y
x
k
x
x
k
，所以
4
b ，4
5
k
，
1
k
．
4.【答案】B；
【解析】
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
，把抛物线
2
(
1)
4
y
x
向左平移2 个单位长度，
再向上平移3 个单位长度后得抛物线
2
(
1)
1
y
x
，
∴
2
2
2
(
1)
1
2
y
x
bx
c
x
x
x
，∴
2
b
，
0
c
．
5.【答案】A；
【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式
得a+b+c=0.
6.【答案】A；
【解析】∵一次函数y1=x 与二次函数y2=ax2+bx+c 图象相交于P、Q 两点，
∴方程ax2+（b
1
﹣）x+c=0 有两个不相等的根，
∴函数y=ax2+（b
1
﹣）x+c 与x 轴有两个交点，
∵方程ax2+（b
1
﹣）x+c=0 的两个不相等的根x1＞0，x2＞0，
x
∴1+x2=﹣
＞0，
∴﹣
＞0，
∴函数y=ax2+（b
1
﹣）x+c 的对称轴x=﹣
＞0，
a
∵＞0，开口向上，
A
∴
符合条件，故选A．
二、填空题
7．【答案】（﹣1，﹣1）；x=
1
﹣.
【解析】∵y=x2+2x=（x+1）2
1
﹣，
∴二次函数y=x2+4x 的顶点坐标是：（﹣1，﹣1），对称轴是直线x=
1
﹣．
8．【答案】4；
【解析】由对称轴
2
1
2
a
x
a
，∴ x＝3 与x＝-1 关于x＝1 对称，∴ x＝3 时，y＝4.
9．【答案】(1，-4) ；
【解析】求出解析式
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
.
10．【答案】4；
【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把
1
x
，
0
y
代入
2
3
y
x
mx
，得1
3
0
m
，解得
4
m
．
11．【答案】①④，②③④；
12．【答案】(-2，5)或(4，5)；
【解析】先通过且△ABC 的面积等于10，求出C 点的纵坐标为5，点C 在抛物线y=x2-2x-3 上，所以
x2-2x-3=5，解得x=-2 或x=5，则C 点的坐标为(-2，5)或(4，5).
三、解答题
13.【答案与解析】
解：（1）由已知得：C（0，4），B（4，4），
把B 与C 坐标代入y=﹣x2+bx+c 得：
，
解得：b=2，c=4，
则解析式为y=﹣x2+2x+4；
（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x
2
﹣）2+6，
∴抛物线顶点坐标为（2，6），
则S 四边形ABDC=S
ABC
△
+S
BCD
△
= ×4×4+ ×4×2=8+4=12．
14.【答案与解析】
（1）把点C(5，4)代入抛物线
2
5
4
y
ax
ax
a
得，25
25
4
4
a
a
a
，解得
1
a
．
∴ 该二次函数的解析式为
2
5
4
y
x
x
．
∵
2
2
5
9
5
4
2
4
y
x
x
x
，
∴ 顶点坐标为
5
9
,
2
4
P
．
（2）（答案不唯一，合理即正确）
如先向左平移3 个单位，再向上平移4 个单位，
得到二次函数解析式为
2
2
5
9
1
7
3
4
2
4
2
4
y
x
x
，即
2
2
y
x
x
．
15.【答案与解析】
(1)∵
1
0
2
a
，b＝-3，∴
3
3
1
2
2
2
b
x
a
，
把x＝-3 代入解析式得，
2
1
5
( 3)
3 ( 3)
2
2
2
y
．
∴ 抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．
(2)由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x 轴两交点为B(-5，0)和
C(-1，0)，与y 轴的交点为
5
0,
2
D
，取D 关于对称轴的对称点
5
6,
2
E
，用平滑曲线顺次
连结，便得到二次函数
2
1
5
3
2
2
y
x
x
的图象，如图所示．
从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3 时，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，
即当x＞-3 时，y 随x 的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A 是抛物线的最高点，
所以函数有最大值，当x＝-3 时，
2
y
最大
．
