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让更多的孩子得到更好的教育
实际问题与二次函数—知识讲解（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．
2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模
型．
【要点梳理】
要点一、列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，
表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量
关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的
模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点二、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关
系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点诠释：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存
在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际
问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【典型例题】
类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值
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1. （2016•黔东南州）凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12 元，售价20 元，多买优惠，优
势方法是：凡是一次买10 只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1 元，例如：某人买18
只计算器，于是每只降价0.1×（18
10
﹣
）=0.8（元），因此所买的18 只计算器都按每只19.2 元的价格购买，
但是每只计算器的最低售价为16 元．
（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？
（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量
x 的取值范围；
（3）一天，甲顾客购买了46 只，乙顾客购买了50 只，店主发现卖46 只赚的钱反而比卖50 只赚的钱多，请
你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50 时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是
多少？
【思路点拨】
（1）设一次购买x 只，由于凡是一次买10 只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低0.10 元，
而最低价为每只16 元，因此得到20
0.1
﹣
（x
10
﹣
）=16，解方程即可求解；
（2）由于根据（1）得到x≤50，又一次销售x（x＞10）只，因此得到自变量x 的取值范围，然后根据已知条
件可以得到y 与x 的函数关系式；
（3）首先把函数变为y=
0.1x
﹣
2+9x=
0.1
﹣
（x
45
﹣
）2+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件
即可解决问题．
【答案与解析】
解：（1）设一次购买x 只，
则20
0.1
﹣
（x
10
﹣
）=16，
解得：x=50．
答：一次至少买50 只，才能以最低价购买；
（2）当10＜x≤50 时，
y=[20
0.1
﹣
（x
10
﹣
）﹣12]x=
0.1x
﹣
2+9x，
当x＞50 时，y=（16
12
﹣
）x=4x；
综上所述：y=
；
（3）y=
0.1x
﹣
2+9x=
0.1
﹣
（x
45
﹣
）2+202.5，
①当10＜x≤45 时，y 随x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．
②当45＜x≤50 时，y 随x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．
且当x=46 时，y1=202.4，
当x=50 时，y2=200．
y1＞y2．
即出现了卖46 只赚的钱比卖50 只赚的钱多的现象．
当x=45 时，最低售价为20
0.1
﹣
（45
10
﹣
）=16.5（元），此时利润最大．
【点评】本题考查了二次函数的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题
意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围
内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=﹣
时取得．
举一反三：
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【高清课程名称：实际问题与二次函数
高清ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：例4】
【变式】某服装公司试销一种成本为每件50 元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于
每件70 元，试销中销售量
（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．
（1）求
与
之间的函数关系式；
（2）设公司获得的总利润为
元，求
与
之间的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；根据题
意判断：当
取何值时，
的值最大？最大值是多少？（总利润
总销售额
总成本）
【答案】（1）设
与
的函数关系式为：
，
∵函数图象经过点（60，400）和（70，300）
∴
解得
∴
（2）
（50≤x≤70）
∵
，
＜0
∴函数
图象开口向下，
对称轴是直线x=75
∵50≤x≤70，此时y 随x 的增大而增大,
∴当x=70 时，
.
类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题
2.某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载
货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，该车要想过此门，装货后
的最大高度应是多少m？
【思路点拨】
因为校门是抛物线形，不妨将这一问题转化为二次函数进行研究，建立适当的直角坐标系，将已
知数据转化为点的坐标，从而确定函数关系式，再根据关系式求高．
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【答案与解析】
解：建立如图平面直角坐标系：
设抛物线的解析式为y=ax2，
由题意得：点A 的坐标为（2，﹣4.4），
4.4=4a
∴﹣
，
解得：a=
1.1
﹣
，
∴抛物线的解析式为y=
1.1x
﹣
2，
当x=1.2 时，
y=
1.1×1.44=
1.584
﹣
﹣
，
∴线段OB 的长为1.584 米，
BC=4.4
1.584=2.816
∴
﹣
米，
∴装货后的最大高度为2.816 米，
故答案为：2.816 米．
【点评】利用二次函数解决抛物线形建筑问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化
为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利
用关系式求解问题．
类型三、利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
3. 如图所示，一位运动员在距篮下4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离
为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动
员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m 处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?
【答案与解析】
如图所示，在直角坐标系中，点A(1.5，3.05)表示篮筐，点B(0，3.5)表示球运行的最大高度，点C 表
示球员篮球出手处，其横坐标为-2.5，
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设C 点的纵坐标为n，过点C、B、A 所在的抛物线的解析式为
，由于抛物线开口向下，
则点B(0，3.5)为顶点坐标，∴
．
∵ 抛物线
经过点A(1.5，3.05)，
∴ 3.05＝a·1.52+3.5，
∴
．
∴ 抛物线解析式为
．
∴
，
∴ n＝2.25．
∴ 球出手时，球员跳离地面的高度为2.25-(1.8+0.25)＝0.20(米)．
【点评】首先要建立适当的平面直角坐标系，构造函数模型，将已知数据转化为点的坐标，然后利用待定系
数法求出函数解析式，再利用解析式求出抛物线上已知横坐标的点的纵坐标，结合已知条件，得
到实际问题的解．
类型四、利用二次函数求图形的边长、面积等问题
4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD 为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．
(1)当AD＝4 米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；
(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8 米，半圆O 的半径为r 米．
①求隧道截面的面积S(m)2关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r 的取值范围)；
②若2 米≤CD≤3 米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值．(π 取3.14，结果精确到0.1 米)
【思路点拨】
①根据几何图形的面积公式可求关于面积的函数解析式；
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②利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内确定面积的最大值．
【答案与解析】
(1)
(米)；
(2)①∵ AD＝2r，AD+CD＝8，∴ CD＝8-AD＝8-2r，
∴
．
②由①知，CD＝8-2r，又∵ 1.2 米≤CD≤3 米，
∴ 2≤8-2r≤3，∴ 2.5≤r≤3．
由①知，
．
∵ -2.43＜0，∴ 函数图象为开口向下的抛物线，函数图象对称轴
，
又2.5≤r≤3，由函数图象知，在对称轴左侧S 随r 的增大而增大，故当r＝3 时，S 有最大值．
(米)．
【点评】解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再用配方法或
公式法求顶点坐标，结合二次函数性质与自变量的取值范围确定最大面积．
举一反三：
【高清课程名称：实际问题与二次函数
高清ID 号：356777 关联的位置名称（播放点名称）：例3】
【变式】
（2015•泗洪县校级模拟）如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F 在AB 上，分别以AF、FB 为
边裁出的两个小正方形纸片面积和S 的取值范围是
．
【答案】50≤S≤68．
【解析】解：设AF=x，则BF=10
x
﹣，由题意，得
S=x2+（10
x
﹣）2，
S=2x2
20x+100
﹣
，
S=2（x
5
﹣）2+50．
a=2
∴
＞0，
x=5
∴
时，S 最小=50．
2≤x≤8
∵
，
当x=2 时，S=68，
当x=8 时，S=68．
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50≤S≤68
∴
．
故答案为：50≤S≤68．
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