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《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．已知抛物线
，将抛物线C 平移得到抛物线
．若两条抛物线C、
关于直线x＝1 对
称．则下列平移方法中，正确的是（ ）．
A．将抛物线C 向右平移
个单位 B．将抛物线C 向右平移3 个单位
C．将抛的线C 向右平移5 个单位 D．将抛物线C 向右平移6 个单位
2．已知二次函数
的图象如图所示，则下列5 个代数式：ac，a+b+c，4a-2b+c，2a+b，2a-b 中，
其值大于0 的个数为( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
3．二次函数
的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )．
A．
B．abc＞0 C．a+b+c＞0 D．
4．在平面直角坐标系中，将抛物线
绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是
( )
A．
B．
C．
D．
5．如图所示，半圆O 的直径AB＝4，与半圆O 内切的动圆O1与AB 切于点M，设⊙O1的半径为y，AM＝x，则y 关
于x 的函数关系式是( )．
A．
B．
C．
D．
第5 题 第6 题
6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)；
小明说：a＝1，c=3；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．已知一次函数
的图象过点(-2，1)，则关于抛物线
的三条叙述：
①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线x＝l；③当a＜0 时，其顶点的纵坐标的最小值为3．
其中所有正确叙述的有( )．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
8．（2016•梧州）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），直线x=
0.5
﹣
与此
抛物线交于点C，与x 轴交于点M，在直线上取点D，使MD=MC，连接AC、BC、AD、BD，某同学根据图象
写出下列结论：
a
b=0
①﹣
；
②当﹣2＜x＜1 时，y＞0；
③四边形ACBD 是菱形；
9a
3b
④
﹣
+c＞0
你认为其中正确的是（ ）
A．②③④
B．①②④
C．①③④
D．①②③
二、填空题
9．由抛物线y＝x2先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位得到的抛物线的解析式为 .
10．已知一元二次方程
的一根为-3．在二次函数y=x2+bx-3 的图象上有三点
、
、
，y1、y2、y3、的大小关系是 .
11．如图所示，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线
上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐
标为________．
第11 题 第13 题
12．
（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这
个函数解析式
．
13．已知二次函数
(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a、b 同号；②当x＝1 和x＝3 时，
函数值相等；③4a+b＝0；④当y＝-2 时，x 的值只能取0，其中正确的有 .（填序号）
14．已知抛物线的顶点为
，与x 轴交于A、B 两点，在x 轴下方与x 轴距离为4 的点M 在抛物线上，
且
，则点M 的坐标为 ．
15．已知二次函数
(a≠0)的图象如图所示，有下列5 个结论：
①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)，(m≠l 的实数)．
其中正确的结论有_____ ___(只填序号)．
第15 题 第16 题
16．如图所示，抛物线
向右平移1 个单位得到抛物线y2．回答下列问题：
(1)抛物线y2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积S＝________．
(3)若再将抛物线y2绕原点O 旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的开口方向________，
顶点坐标________．
三、解答题
17．（2015•南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装30 件，每件售价300 元．若一次性购买不超过10 件时，
售价不变；若一次性购买超过10 件时，每多买1 件，所买的每件服装的售价均降低3 元．已知该服装成本是
每件200 元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？
18．如图所示，已知经过原点的抛物线
与x 轴的另一交点为A，现将它向右平移m(m＞0)个单
位，所得抛物线与x 轴交于C、D 两点，与原抛物线交于点P．
(1)求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状(不要求说理)；
(2)在x 轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m 的式子表
示)；若不存在，请说明理由；
(3)设△PCD 的面积为S，求S 关于m 的关系式．
19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m，△AMB 的面积为S．求S 关于m
的函数关系式，并求出S 的最大值；
(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y＝-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O 为顶
点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．
20. （2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+2 过B（﹣2，6），C（2，2）两点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）记抛物线顶点为D，求△BCD 的面积；
（3）若直线y=﹣
x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b
的取值范围．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C；
【解析】
，
∴ 其顶点坐标为
，设
顶点坐标为
，由题意得
，
∴
，∴
的解析式为
．
由
到
需向右平移5 个单位，因此选C．
2.【答案】A；
【解析】由图象知，a＜0，c＜0，
，
∴ b＞0，ac＞0，∴ 2a-b＜0．
又对称轴
，即2a+b＜0．
当x＝1 时，a+b+c＞0；当x＝-2 时，4a-2b+c＜0．
综上知选A．
3.【答案】C；
【解析】由抛物线开口向下知a＜0，由图象知c＞0，
，b＜0，即abc＞0，又抛物线与x 轴有两个交
点，所以
．
4.【答案】B；
【解析】抛物线
，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，开口
向下．
∴ 旋转后的抛物线解析式为
．
5.【答案】B；
【解析】连接O1M、O1O，易知两圆切点在直线OO1上，线段OO1＝OA-y＝2-y，O1M＝y，OM＝OA-AM＝2-x．
由勾股定理得(2-y)2＝y2+(2-x)2，故
．
6.【答案】C；
【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为x＝2；由小彬的条件，抛物线
过点(4，3)又过(0，3)点，∴ 对称轴为直线x＝2；由小明的条件a＝1，c=3,得到关系式
为
，过点(1，0)得b＝-4，对称轴为
；由小颖的条件抛物线被x
轴截得的线段长为2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴
不是x＝2．所以小颖说的不对.故选C.
7．【答案】C；
【解析】①若过定点(2，1)，则有
．整理、化简，得-2a+b＝1，与题设隐含条件相符；
②若对称轴是直线x＝1，这时
，2a-b＝0，与题设隐含条件不相符；
③当a＜0 时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为
．
由于
，
．∴
．∴
．
综合以上分析，正确叙述的个数为2，应选C．
8.【答案】D．
【解析】①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），
∴该抛物线的对称轴为x=﹣
=
0.5
﹣
，
∴a=b，a
b=0
﹣
，①正确；
②∵抛物线开口向下，且抛物线与x 轴交于点A（﹣2，0）、B（1，0），
∴当﹣2＜x＜1 时，y＞0，②正确；
③∵点A、B 关于x=0.5 对称，
∴AM=BM，
又∵MC=MD，且CD⊥AB，
∴四边形ACBD 是菱形，③正确；
④当x=
3
﹣时，y＜0，
即y=9a
3b
﹣
+c＜0，④错误．
综上可知：正确的结论为①②③．
故选D．
二、填空题
9．【答案】y＝(x+2)2-3；
【解析】y＝x2的顶点为(0，0)，y＝(x+2)2+3 的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移2 个单位，再向下平移
3 个单位可得(-2，-3)，即将抛物线y＝x2先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位得到抛物线
y＝(x+2)2-3．
10．【答案】y1＜y2＜y3.
【解析】设x2+bx-3＝0 的另一根为x2，则
，∴ x2＝1，
∴ 抛物线的对称轴为
，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大，
所以y1＜y3，y1＜y2＜y3，也可求出b＝2，分别求出y1，y2，y3的值再比较大小．
11．【答案】
或
；
【解析】当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的纵坐标为2，将y＝2
得
，所以
，从而
圆心P 的坐标为
或
．
12．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1 或y=2（x﹣2）2+1；
【解析】图象顶点坐标为（2，1）
可以设函数解析式是y=a（x﹣2）2+1
又∵形状与抛物线y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同
则|a|=2
因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1 或y=2（x﹣2）2+1.
13．【答案】②③；
【解析】由图象知，抛物线与x 轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为
，
则
，∴ 4a+b＝0，故③是正确的；
又∵ 抛物线开口向上，∴ a＞0，b＝-4a＜0，
∴ ①是错误的；又∵
，即x＝1 和x＝3 关于对称轴x＝2 对称，其函数值相等，
∴ ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当y＝-2 时，x 的值可取0 或4．
∴ ④是错误的．
14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)；
【解析】∵
，∴ |AB|＝5．
又∵ 抛物线的对称轴为直线
，∴ A、B 两点的坐标为(2，0)和(3，0)．
设抛物线的解析式为
，则
解得
∴ 抛物线的解析式为
．
当y＝-4 时，
，∴
，∴ x1＝-2，x2＝-1．
∴ M 点坐标为(2，-4)或(-1，-4)．
15．【答案】③④⑤；
【解析】由题意可知a＜0，c＞0，
，即b＞0，∴ abc＜0．由图象知x＝2 在抛物线与x 轴两个交
点之间，当x＝-1 时，a-b+c＜0，∴ b＞a+c．当x＝2 时，4a+2b+c＞0．又由对称性知9a+3b+c
＜0，且
，∴
，∴ 2c＜3b．当x＝1 时，
，而m≠1，
当
时，
，由
知
，
∴
，故③④⑤正确．
16．【答案】 (1)(1，2)； (2)2； (3)向上； (-1，-2)；
【解析】抛物线
向右平移1 个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部分面积
恰好为两个正方形的面积．若将抛物线y2绕原点O 旋转180°，则抛物线y2的顶点与点(1，2)
关于原点对称．
三、解答题
17.【答案与解析】
解：（1）y=
，
（2）在0≤x≤10 时，y=100x，当x=10 时，y 有最大值1000；
10＜x≤30 时，y=﹣3x2+130x，
当x=21 时，y 取得最大值，
∵x 为整数，根据抛物线的对称性得x=22 时，y 有最大值1408．
∵1408＞1000，
∴顾客一次购买22 件时，该网站从中获利最多．
18.【答案与解析】
(1)先令
，得x1＝0，x2＝2． ∴ 点A 的坐标为(2，0)．△PCA 是等腰三角形．
(2)存在OC＝AD＝m，OA＝CD＝2．
(3)当0＜m＜2 时，如图所示，作PH⊥x 轴于H，设
．
∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝2-m，
∴
．∴
．
把
代入
，得
．
∵ CD＝OA＝2，∴
．
当m＞2 时，如图所示，作PH⊥x 轴于H，设
．
∵ A(2，0)，C(m，0)，∴ AC＝m-2．∴
．
∴
．
把
代入
，得
．
∵ CD＝OA＝2，∴
．
19.【答案与解析】
(1)设抛物线的解析式为
(a≠0)．
∵ 抛物线经过点A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)，
∴
解得
∴ 抛物线的解析式为
．
(2)过点M 作MD⊥x 轴于点D． 设M 点的坐标为(m，n)，则AD＝m+4，
，
．
∴
．
∴ 当
时，
．
(3)满足题意的Q 点的坐标有四个，
分别是：(-4，4)、(4，-4)、
、
．
20.【答案与解析】
解：（1）由题意
解得
，
∴抛物线解析式为y=
x2
x
﹣+2．
（2）∵y=
x2
x
﹣+2=
（x
1
﹣）2+
．
∴顶点坐标（1，
），
∵直线BC 为y=
x
﹣+4，∴对称轴与BC 的交点H（1，3），
∴S
BDC
△
=S
BDH
△
+S
DHC
△
=
•3+
•1=3．
（3）由
消去y 得到x2
x
﹣+4
2b=0
﹣
，
当△=0 时，直线与抛物线相切，1
4
﹣（4
2b
﹣
）=0，
∴b=
，
当直线y=﹣
x+b 经过点C 时，b=3，
当直线y=﹣
x+b 经过点B 时，b=5，
∵直线y=﹣
x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，
∴
＜b≤3．
