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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）
责编：常春芳
【学习目标】
1. 会用描点法画二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象；会用配方法将二次函数
2
y
ax
bx
c
的解
析式写成
2
(
)
y
a x
h
k
的形式；
2.通过图象能熟练地掌握二次函数
2
y
ax
bx
c
的性质；
3.经历探索
2
y
ax
bx
c
与
2
(
)
y
a x
h
k
的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象
和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
【要点梳理】
要点一、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
与
2
(
)
(
0)
y
a x
h
k a
之间的相互关系
1.顶点式化成一般式
从函数解析式
2
(
)
y
a x
h
k
我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k) ，所以我们称
2
(
)
y
a x
h
k
为顶点式，将顶点式
2
(
)
y
a x
h
k
去括号，合并同类项就可化成一般式
2
y
ax
bx
c
．
2.一般式化成顶点式
2
2
2
2
2
2
2
b
b
b
b
y
ax
bx
c
a x
x
c
a x
x
c
a
a
a
a
2
2
4
2
4
b
ac
b
a x
a
a
．
对照
2
(
)
y
a x
h
k
，可知
2
b
h
a
，
2
4
4
ac
b
k
a
．
∴ 抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴是直线
2
b
x
a
，顶点坐标是
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
．
要点诠释：
1．抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴是直线
2
b
x
a
，顶点坐标是
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
，可以当作公
式加以记忆和运用．
2．求抛物线
2
y
ax
bx
c
的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种
方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点二、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线
2
y
ax
bx
c
与坐标轴的交点，
当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A、B 及抛物线与y 轴的交点C，再找到点C 关于对称
轴的对称点D，将A、B、C、D 及M 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
要点诠释：
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D，由C、M、D 三点可
粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用
平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
要点三、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象与性质
1.二次函数
2
0
(
)
y
ax
bx
c a
图象与性质
函数
二次函数
2
y
ax
bx
c
（a、b、c 为常数，a≠0）
图象
0
a
0
a
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
2
b
x
a
直线
2
b
x
a
顶点坐标
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
2
4
,
2
4
b
ac
b
a
a
增减性
在对称轴的左侧，即当
2
b
x
a
时，y 随x 的增
大而减小；在对称轴的右侧，即当
2
b
x
a
时，
y 随x 的增大而增大．简记：左减右增
在对称轴的左侧，即当
2
b
x
a
时，y 随
x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
2
b
x
a
时，y 随x 的增大而减小．简
记：左增右减
最大(小)值
抛物线有最低点，当
2
b
x
a
时，y 有最小值，
2
4
4
ac
b
y
a
最小值
抛物线有最高点，当
2
b
x
a
时，y 有最
大值，
2
4
4
ac
b
y
a
最大值
2.二次函数
2
0
(
)
y
ax
bx
c a
图象的特征与a、b、c 及b2-4ac 的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b 同号)
对称轴在y 轴左侧
ab＜0(a，b 异号)
对称轴在y 轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y 轴正半轴相交
c＜0
与y 轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x 轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x 轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x 轴没有交点
要点四、求二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当
2
b
x
a
时，
2
4
4
ac
b
y
a
最值
．
要点诠释：
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看
2
b
a
是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若
在此范围内，则当
2
b
x
a
时，
2
4
4
ac
b
y
a
最值
，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内
的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当x＝x2时，
2
2
2
y
ax
bx
c
最大值
；当x＝x1时，
2
1
1
y
ax
bx
c
最小值
，如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当x＝x1时，
；当x
＝x2时，
，如果在此范围内，y 值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，
2
b
x
a
时y 值
的情况．
【典型例题】
类型一、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象与性质
1. 抛物线
2
(
1)
y
x
m
x
m
与y 轴交于(0，3)点：
(1)求出m 的值并画出这条抛物线；
(2)求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；
(3)x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？
(4)x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？
【答案与解析】
(1)由抛物线
2
(
1)
y
x
m
x
m
与y 轴交于(0，3)可得m＝3．
∴ 抛物线解析式为
2
2
3
y
x
x
，如图所示．
(2)由
2
2
3
0
x
x
得
1
1
x ，
2
3
x
．
∴ 抛物线与x 轴的交点为(-1，0)、(3，0)．
∵
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
，
∴ 抛物线的顶点坐标为(1，4)．
(3)由图象可知：当-1＜x＜3 时，抛物线在x 轴上方．
(4)由图象可知：当x≥1 时，y 的值随x 值的增大而减小．
【总结升华】研究函数问题一般都应与图象结合起来，借助于图象的直观性求解更形象与简洁．
(1)将点(0，3)代入解析式中便可求出m 的值，然后用描点法或五点作图法画抛物线；
(2)令y＝0 可求抛物线与x 轴的交点，利用配方法或公式法可求抛物线顶点的坐标；
(3)、(4)均可利用图象回答，注意形数结合的思想，
举一反三：
【高清课程名称：二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象与性质
高清ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：练习2-3】
【变式】（2015•泰安）某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：
x
…
2
﹣
1
﹣
0
1
2
…
y
…
11
﹣
2
﹣
1
2
﹣
5
﹣
…
由于粗心，他算错了其中一个y 值，则这个错误的数值是（ ）
A. -11 B. -2 C. 1 D. -5
【答案】D.
提示：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得
，
函数解析式为y=
3x
﹣
2+1
x=2 时y=
11
﹣
，故选：D．
类型二、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的最值
2. 分别在下列范围内求函数
2
2
3
y
x
x
的最大值或最小值．
(1)0＜x＜2； (2)2≤x≤3．
【答案与解析】
∵
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
，
∴ 顶点坐标为(1，-4)．
(1)∵ x＝1 在0＜x＜2 范围内，且a＝1＞0，
∴ 当x＝1 时y 有最小值，
4
y
最小值
．
∵ x＝1 是0＜x＜2 范围的中点，在x＝1 两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
(2)∵ x＝1 不在2≤x≤3 范围内(如图所示)，又因为函数
2
2
3
y
x
x
(2≤x≤3)的图象是
抛物线
2
2
3
y
x
x
的一部分，且当2≤x≤3 时，y 随x 的增大而增大，
∴ 当x＝3 时，
23
2 3
3
0
y
最大值
；当x＝2 时，
2
2
2 2
3
3
y
最小值
．
【总结升华】先求出抛物线
2
2
3
y
x
x
的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取
值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2≤x≤3 为
图中实线部分，易看出x＝3 时，
0
y
最大值
；x＝2 时，
3
y
最小值
．
类型三、二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
性质的综合应用
3.（2015•梅州）对于二次函数y=
x
﹣2+2x．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y1=﹣
x1
2+2x1，y2=
x
﹣2
2+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和
（2，0）；④当0＜x＜2 时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ）
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C.
【解析】
解：y=
x
﹣2+2x=﹣（x
1
﹣）2+1，故①它的对称轴是直线x=1，①正确；
②∵直线x=1 两旁部分增减性不一样，∴设y1=
x
﹣1
2+2x1，y2=
x
﹣2
2+2x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1，②错
误；
③当y=0，则x（﹣x+2）=0，解得：x1=0，x2=2，
故它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），③正确；
a=
1
④∵
﹣＜0，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0），
∴当0＜x＜2 时，y＞0，④正确．
故选：C．
【总结升华】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐
标是解题关键．
4. 一条抛物线
2
y
ax
bx
c
经过A（2，0）和B（6，0），最高点C 的纵坐标是1．
（1）求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线；
x
y
（2）设抛物线的对称轴与x 轴的交点为D，抛物线与y 轴的交点为E，请你在抛物线上另找一点P(除
点A、B、C、E 外)，先求点C、A、E、P 分别到点D 的距离，再求这些点分别到直线
2
y
的距离；
(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律?请用文字写出这个规律．
【答案与解析】
(1)由已知可得抛物线的对称轴是
4
x
．
∴ 最高点C 的坐标为(4，1)．
则
4
2
0,
36
6
0,
16
4
1.
a
b
c
b
c
a
b
c
解得
1 ,
4
2,
3.
a
b
c
∴ 所求抛物线的解析式为
2
1
2
3
4
y
x
x
．
列表：
x
-2
0
2
4
6
8
10
y
-8
-3
0
1
0
-3
-8
描点、连线，如图所示：
（2）取点（-2，-8）为所要找的点P，如图所示，运用勾股定理求得ED＝5，PD＝10，
观察图象知AD＝2，CD＝1，点E、P、A、C 到直线y＝2 的距离分别是5、10、2、1．
（3）抛物线上任一点到点D 的距离等于该点到直线y＝2 的距离．
【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点．
(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，
然后运用勾股定理求得．
举一反三：
【高清课程名称：二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
的图象与性质
高清ID 号： 392790 关联的位置名称（播放点名称）：练习4】
【变式】已知二次函数
2
y
ax
bx
c
（其中a>0，b>0，c<0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图
象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个
在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C.
