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第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在6×4 的正方形网格中，
ABC 的顶点均为格点，则sin∠ACB=
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，
∵BD=2，CD=1，
∴BC=
=
=
，
则sin∠BCA=
=
=
，
故选：C．
2．cos45°的值等于
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】cos45°=
，故选B.
3．
ABC 在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB 的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】作AD⊥BC 交CB 的延长线于点D,如图所示：
在Rt
ADC 中，CD=AD，则AC=
CD．
cos∠ACB=
，
故选B．
4．如图，在
中，
，
，
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】cosB=
,故选A．
5．在
中，
，若
，则
的值是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
6．在Rt
ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，那么tanA 等于
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵在Rt
ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴tanA=
=
．
故选：C．
7．在Rt
ABC 中，∠C=90°， AB=10， AC=8，则∠A 的正弦值等于
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵AB=10， AC=8，
∴BC=
，
∴sinA=
.
故选A.
【名师点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关
键.在Rt
ABC 中，
，
，
.
8．把
ABC 的各边长都增加两倍，则锐角A 的正弦值
A．增加2 倍
B．增加4 倍
C．不变
D．不能确定
【答案】C
9．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（3,4），那么sin
的值是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】作AB⊥x 轴交x 轴于点B，
∵A（3，4），
∴AB=4，BO=3，
∴AO=
=
=5，
∴sin
=
=
.
故选C.
【名师点睛】要求一个角的三角函数值，如果图中没有现成的直角三角形，我们一般通过构造垂线将要求
的角放入直角三角形中求解.
10．如图，
ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC 的值是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，tanC=
=
．
故选A．
【名师点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦
为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
11．如图，P 为∠α 的边OA 上一点，且P 点的坐标为（3，4），则sinα+cosα=________．
【答案】
【解析】∵P 是∠α 的边OA 上一点，且P 点坐标为（3，4），
∴PB=4，OB=3，OP=
=5,
故sinα=
=
, cosα=
,
∴sinα+cosα=
,
故答案为：
.
【名师点睛】此题考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是找出所求角的对应边．
12．计算：sin30°﹣（﹣3）0=________．
【答案】−
【解析】原式=
−1=−
，故答案为：−
.
【名师点睛】本题考查了30°的角的正弦值和非零数的零次幂.熟记是关键.
13．在
中，
，
，
，则
________，
________．
【答案】
【解析】如图：
∵Rt
ABC 中，∠C=90°，AC=12，AB=13，
∴BC=
=5，
∴cosB=
，
tanB=
．
故答案为：
；
．
【名师点睛】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比
斜边，正切为对边比邻边．
14．在
ABC 中，若
+
，则∠C 的度数为___________.
【答案】105°
【名师点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，难度一般，解答本题的关键是根据题意得出tanA=1，
cosB=
，求出∠A、∠B 的值．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．计算：
÷
+8×2
1
﹣﹣（
+1）0+2•sin60°．
【解析】原式=
+8×
1+2×
﹣
=3+4
1+
﹣
=6+
．
【名师点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式
的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选
择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16．先化简，再求代数式（
）÷
的值，其中x=sin60°，y=tan30°．
【解析】原式
∴原式
17．定义概念：如图，在直角三角形ABC 中，锐角α 的对边与斜边的比叫做角α 的正弦，记作sinα，即sinα=
，根据上述角的正弦的概念，解答下列问题：在Rt
ABC 中，
（1）当AC=12，AB=13 时，求sinα 的值；
（2）当α=30°，AB=20 时，则BC= ．
【解析】（1）∵AC=12，AB=13，∠BCA=90°，
∴BC=5，
∴sinα
（2）∵AB=20，∠BCA=90°，α=30°，
∴BC=10；
故答案为：10．
