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让更多的孩子得到更好的教育
相似三角形的判定--知识讲解（基础）
责编:康红梅
【学习目标】
1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；
2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能
力.
【要点梳理】
要点一、相似三角形
在
和
中，如果
我们就说
与
相似，记作
∽
.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.
要点诠释：
(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即
∽
，则说明点A 的对应点是A′，点B 的对应点是B′，点C 的对应点是C′；
(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一
边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为
1 时，两个三角形全等.
要点二、相似三角形的判定定理
【高清课程名称： 相似三角形的判定（1） 高清ID 号：394497
关联的位置名称：相似三角形的判定】
1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形
相似.
2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这
两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个
角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这
两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直
角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点三、相似三角形的常见图形及其变换：
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【典型例题】
类型一、相似三角形
1. 下列能够相似的一组三角形为( ).
A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
【答案】C
【解析】A 中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；
B 中什么条件都不满足；D 中只有一条对应边的比相等；
C 中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.
答案选C.
【总结升华】根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，
三条对应边的比相等.
举一反三：
【变式】给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个
等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有
（填序
号）．
【答案】①②④⑤.
类型二、相似三角形的判定
2. 如图所示，已知
中，E 为AB 延长线上的一点，AB=3BE，DE 与BC 相交于
F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.
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【思路点拨】充分利用平行寻找等角，以确定相似三角形的个数.
【答案与解析】∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AB∥CD，AD∥BC，
∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.
∴ △BEF∽△CDF∽△AED.
∴ 当△BEF∽△CDF 时，相似比
；
当△BEF∽△AED 时，相似比
；
当△CDF∽△AED 时，相似比
.
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两角对应相等的两三角形相似）与性质（相似
三角形的对应边成比例）.解题的关键是要仔细识图，灵活应用数形结合思想.
举一反三：
【高清课程名称： 相似三角形的判定（2） 高清ID 号：394499
关联的位置名称（播放点名称）：例4 及变式应用】
【变式】 如图，AD、CE 是△ABC 的高，AD 和CE 相交于点F，求证：AF·FD=CF·FE．
【答案】∵ AD、CE 是△ABC 的高,
∴∠AEF=∠CDF=90°,
又∵∠AFE=∠CFE,
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∴△AEF∽△CDF.
∴
, 即AF·FD=CF·FE．
INCLUDEPICTURE
"http://video.etiantian.com/security/82a94ffbfe97dce8b8e330929d6505ee/
4c746ce0/ett20/resource/c97aa5ff8d5bc331c6502e939369177a/images/
mb04_080317.gif" \* MERGEFORMATINET
3. （2016•福州）如图，在△ABC 中，
AB=AC=1，BC=
，在AC 边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD 的大小关系；
（2）求∠ABD 的度数．
【思路点拨】
（1）先求得AD、CD 的长，然后再计算出AD2与AC•CD 的值，从而可得到AD2与
AC•CD 的关系；
（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明
△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的
性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD 的度数．
【答案与解析】
解：（1）∵AD=BC=1，BC=
，
∴AD=
，DC=1﹣
=
．
∴AD2=
=
，AC•CD=1×
=
．
∴AD2=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，
∴BC2=AC•CD，即
．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴
，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
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∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
【总结升华】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内
角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC 是解题的关键．
4. 已知：如图，△ABC 中，AB＝AC，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF∥AB，延长BP
交AC 于E，交CF 于F．求证：BP2＝PE·PF．
【思路点拨】从求证可以判断是运用相似，再根据BP2＝PE·PF，可以判定所给的线段不能
组成相似三角形，这就需要考虑线段的等量转移了.
【答案与解析】连接
，
，
，
是
的中垂线，
，
，
，
．
，
．
又
，
∽
，
，
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．
【总结升华】根据求证确定相似三角形，是解决此类题型的捷径.
举一反三：
【变式】如图，F 是△ABC 的AC 边上一点，D 为CB 延长线一点，且AF=BD,连接DF, 交AB 于
E. 求证：
.
【答案】过点F 作FG∥BC,交AB 于G.
则△DBE∽△FGE
△AGF∽△ABC
∵
,
又∵AF=BD,
∴
∵△AGF∽△ABC
∴
,
即
.
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