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第二十七章 相似
27.2.3 相似三角形应用举例
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．身高1.6 米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C 处时，他头顶端的影子正好与旗杆
顶端的影子重合在点A 处，测量得到AC=2 米，CB=18 米，则旗杆的高度是
A．8 米
B．14.4 米
C．16 米
D．20 米
【答案】C
【解析】设旗杆高度为h，由题意得
，解得h=16 米．故选C．
2．如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角
形的两条斜边长分别为4 米和6 米，则草皮的总面积为
A．3
平方米
B．9 平方米
C．12 平方米
D．24 平方米
【答案】C
【解析】∵△MDE 是直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴∠MAB=∠BCE=90°，∠M+∠ABM=90°，
∠ABM+∠CBE=90°，∴∠M=∠CBE，∴△AMB∽△CBE，∴
=
，
∵MB=6，BE=4，∴
=
=
=
，
∵AB=BC，∴
=
，
设CE=2x，则BC=3x，在Rt△CBE 中，
BE2=BC2+CE2，即42=（3x）2+（2x）2，解得x=
，
∴CE=
，AB=BC=
，AM=
AB=
，
∴S 草皮=S△CBE+S△AMB=
×
×
+
×
×
=12．
故选C．
3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得
影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它
在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1 尺=10
寸），则竹竿的长为
A．五丈
B．四丈五尺
C．一丈
D．五尺
【答案】B
4．一个三角形框架模型的三边长分别为20 厘米、30 厘米、40 厘米，木工要以一根长为60 厘米的木条为一边，
做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是
A．30 厘米、45 厘米
B．40 厘米、80 厘米
C．80 厘米、120 厘米
D．90 厘米、120 厘米
【答案】C
【解析】①设20 厘米、30 厘米、40 厘米的对应边分别为60 厘米、x 厘米、y 厘米，
根据题意得：
=
=
，解得x=90，y=120；
②设20 厘米、30 厘米、40 厘米的对应边分别为x 厘米、60 厘米、y 厘米，
根据题意得：
=
=
，解得x=40，y=80．
设20 厘米、30 厘米、40 厘米的对应边分别为x 厘米、y 厘米、60 厘米，
根据题意得：
=
=
，解得x=30，y=45．
故选C．
5．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，
CD⊥BC，然后找出AD 与BC 的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB
等于
A．120m
B．67.5m
C．40m
D．30m
【答案】A
【解析】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴
，
∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴
，解得AB=120，故选A．
6．如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC 和BD 交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例
伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3 的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），
然后张开两脚，使A，B 两个尖端分别在线段a 的两个端点上，当CD=1.8cm 时，则AB 的长为
A．7.2cm
B．5.4cm
C．3.6cm
D．0.6cm
【答案】B
【解析】∵OA=3OC，OB=3OD，∴OA：OC=OB：OD=3：1，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△COD，∴
=
=
，∴AB=3CD=3×1.8=5.4（cm）．故选B．
7．在小孔成像问题中，如图所示，若O 到AB 的距离是18cm，O 到CD 的距离是6cm，则像CD 的长是物体AB
长的
A．
B．
C．2 倍
D．3 倍
【答案】A
【解析】如图，作OE⊥AB 于E，EO 的延长线交CD 于F．
∵AB∥CD，∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，
∴
=
=
=
（相似三角形的对应高的比等于相似比），
∴CD=
AB，故选A．
二、填空题：请将答案填在题中横线上．
8．我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，
出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A 为北门中点，从点A 往正
北方向走30 步到B 处有一树木，C 为西门中点，从点C 往正西方向走750 步到D 处正好看到B 处的树木，
则正方形城池的边长为__________步．
【答案】300
故答案为300．
9．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A、D 两端的距离为4cm，
，则容器的
内径BC=__________．
【答案】2 cm
【解析】如图，连接AD，BC，
∵
，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，∴
=
=
，
又AD=4cm，∴BC=
AD=2cm．
故答案是：2cm．
10．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保
持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条边DF=50cm，EF=30cm，测得边DF 离地面的
高度AC=1.5m，CD=20m，则树髙AB 为__________．
【答案】16.5m
【解析】∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴
，
∵DF=50cm=0.5m，EF=30cm=0.3m，AC=1.5m，CD=20m，
∴由勾股定理求得DE=40cm，
∴
=
，
∴BC=15 米，
∴AB=AC+BC=1.5+15=16.5（米）．
故答案为：16.5m．
11．如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分AB 的长为
100cm，木棒上沾油部分DB 的长为60cm，桶高AC 为80cm，那么桶内油面CE 的高度是__________cm．
【答案】48
【解析】∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴
，
=
，解得AE=32．
∴CE=80–32=48，
故答案为：48．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
12．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12cm，高AD=8cm，把它加工成矩形零件如图，要使矩形的一
边在BC 上，其余两个顶点分别在AB，AC 上．且矩形的长与宽的比为3：2，求这个矩形零件的边长．
【解析】如图所示．设AD 与PQ 的交点为H．
∵四边形PQMN 是矩形，
∴BC∥PQ，∴△APQ∽△ABC，
∴
，由于矩形长与宽的比为3：2，
∴分两种情况：
①若PQ 为长，PN 为宽，
设PQ=3k，PN=2k，则
，解得k=2，
∴PQ=6cm，PN=4cm；
②PN 为长，PQ 为宽，
设PN=3k，PQ=2k，
则
，解得k=
，
∴PN=
cm，PQ=
cm；
综上所述：矩形的长为6cm，宽为4cm；或长为
cm，宽为
cm．
13．如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平
面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2 米，BP=1.8 米，
PD=12 米，求该古城墙的高度．
【解析】根据题意得∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴
=
，即
=
，解得CD=8．
答：该古城墙的高度为8 米．
14．如图，阳光透过窗口照到室内，在地面上留下2.7 米宽的亮区，已知亮区一边到窗下的墙脚距离CE=8.7
米，窗口高AB=1.8 米，试求窗口下底与地面之间的距离BC 的大小．
【解析】∵光是沿直线传播的，
∴BD∥AE，∴△CBD∽△CAE，∴
=
，
即
=
，
解得BC=4．
15．如图，四边形为ABCD 是某校块学农基地，其中△ABD 是蔬菜园，△CDB 是植物园，已知AB∥CD，
AB=40m，BD=60m，CD=90m．
（1）求证：△ABD∽△BDC．
（2）若蔬菜园△ABD 的面积为800m2，求植物园△CDB 的面积．
16．如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD 的长为1 米，继续往前走3 米到达E 处时，
测得影子EF 的长为2 米，已知王华的身高是1.5 米．
（1）求路灯A 的高度；学-科网
（2）当王华再向前走2 米，到达F 处时，他的影长是多少？
【解析】（1）设BC=x 米，AB=y 米，
由题意得，CD=1 米，CE=3 米，EF=2 米，身高MC=NE=1.5 米，
∵△ABD∽△MCD，△ABF∽△NEF，∴
，
，
，
，解得
，
∴路灯A 的高度为6 米．
（2）如图，连接AG 交BF 延长线于点H，
∵△ABH∽△GFH，GF=1.5 米，BH=3+3+2+FH=8+FH，
∴
，
，
解得
（米）．
答：当王华再向前走2 米，到达F 处时，他的影长是
米．
