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让更多的孩子得到更好的教育
【巩固练习】
一.选择题
1. （2016•陕西）如图，在正方形ABCD 中，连接BD，点O 是BD 的中点，若M、N 是边AD 上
的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC 于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（ ）
A．2 对B．3 对C．4 对D．5 对
2. （2015•漳州一模）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A. 四条边相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线相等
3. 如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，则图中阴影部分的面积为( )
2
cm ．
A.6 B.8 C.16 D.不能确定
4. 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得的四边形是 ( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形
5.如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E，使ME＝MC，以DE 为
边作正方形DEFG，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ ）
A．3
1
B.3
5
C. 5
1
D. 5
1
6.如图，正方形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，则图中的等腰三角形有（ ）
A．4 个 B．6 个 C．8 个 D．10 个
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二.填空题
7．若正方形的边长为a ，则其对角线长为______，若正方形ACEF 的边是正方形ABCD 的对角
线，则正方形ACEF 与正方形ABCD 的面积之比等于______．
8. 如图，在四边形ABCD 中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC 与BD 相交于点O，若不增加任何字
母与辅助线，要使四边形ABCD 是正方形，则还需增加一个条件是_________.
9. 如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把△ABC 沿着AD 方向平移，
得到△A B C
，若两个三角形重叠部分的面积是1
2
cm ，则它移动的距离AA等于____
cm .
10. 如图，边长为2 的正方形ABCD 的对角线相交于点O，过点O 的直线分别交AD、BC 于E、F，
则阴影部分的面积是_______.
11. 如图．边长为1 的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋
转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是______．
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12.（2015•长春）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段
BE 的长为 ．
三.解答题
13．（2016•乐山）如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 的中点，F 是边BC 的中点，连结CE、
DF．求证：CE=DF．
14．（2015•铁力市二模）如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE BC
⊥
于点E；
PF CD
⊥
于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP EF
⊥
；③∠PFE= BAP
∠
；
④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？．
15．如图，边长为3 的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°后，得到正方形EFCG，EF 交
AD 于H，求DH 的长．
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C．
【解析】∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，
在△ABD 和△BCD 中，
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，
∴△ABD≌△BCD，
∵AD∥BC，
∴∠MDO=∠M′BO，
在△MOD 和△M′OB 中，
，
∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，
∴全等三角形一共有4 对．
故选C．
2.【答案】D；
【解析】正方形的性质：正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相
等，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形的性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一
组对角；
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等；故选：D．
3．【答案】B；
【解析】阴影部分面积为正方形面积的一半.
4.【答案】A；
5.【答案】D；
【解析】利用勾股定理求出CM＝5 ，即ME 的长，有DM＝DE，所以可以求出DE＝5
1
，进
而得到DG 的长．
6.【答案】C；
二.填空题
7.【答案】
2a ，2∶1 ；
【解析】正方形ACEF 与正方形ABCD 的边长之比为
2 :1.
8.【答案】AC＝BD 或AB⊥BC；
【解析】∵在四边形ABCD 中，AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD 是菱形∴要使四边形ABCD 是
正方形，则还需增加一个条件是AC＝BD 或AB⊥BC.
9.【答案】1；
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【解析】移动距离为B C
x
，重叠部分面积为CE×
1
B C
，所以
2
1
x
x
，得
2
1
0
x
，所以
1
x
.
10.【答案】1；
【解析】由题可知△DEO≌△BFO，阴影面积就等于三角形BOC 面积．
11.【答案】
2
1
；
【解析】
2
1
D E
D C
，重叠部分面积为
1
2
1
2
1
2
1
2
.
12.【答案】5；
【解析】解：过E 作EM AB
⊥
于M，
∵四边形ABCD 是正方形，
AD=BC=CD=AB
∴
，
EM=AD
∴
，BM=CE，
ABE
△
∵
的面积为8，
∴×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
CE=3
∵
，
由勾股定理得：BE=
=
=5，
故答案为：5．
三.解答题
13.【解析】
证明：∵ABCD 是正方形，
∴AB=BC=CD，∠EBC=∠FCD=90°，
又∵E、F 分别是AB、BC 的中点，
∴BE=CF，
在△CEB 和△DFC 中，
，
∴△CEB≌△DFC，
∴CE=DF．
14.【解析】
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解：①正确，连接PC，可得PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；
②正确；延长AP，交EF 于点N，则∠EPN= BAP= PCE= PFE
∠
∠
∠
，可得AP EF
⊥
；
③正确；∠PFE= PCE= BAP
∠
∠
；
④错误，PD=
PF=
CE；
⑤正确，PB2+PD2=2PA2．
所以正确的有4 个：①②③⑤.
15.【解析】
解：如图，连接CH，
∵正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转30°，
∴∠BCF＝30°，则∠DCF＝60°，
在Rt△CDH 和Rt△CFH 中，
CH
CH
CD
CF
∴Rt△CDH≌Rt△CFH，
∴∠DCH＝∠FCH＝1
2 ∠DCF＝30°，
在Rt△CDH 中，DH＝x ，CH＝2 x ，CD＝3
3
x
，
∴DH＝3 .
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