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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
【提升训练】
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，
经过点
、
，
与
轴相切于点
，则点
的坐标是
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
2．设O 为坐标原点，点A、B 为抛物线
上的两个动点，且
．连接点A、B，过O 作
于点C，则点C 到y 轴距离的最大值（ ）
A．
B．
C．
D．1
3．如图，在
中，
，
，
，以边
的中点
为圆心，作半圆与
相切，
点
，
分别是边
和半圆上的动点，连接
，则
长的最大值与最小值的和是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，正方形
的顶点A、D 在⊙O 上，边
与⊙O 相切，若正方形
的周长记为
，
⊙O 的周长记为
，则
、
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．无法判断
5．如图，
是
的直径，点C 为
外一点，
，
分别与
相切于点A，点D，连结
，
．若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在
中，
切
于点
，连接
交
于点
，过点
作
交
于点
，
连接
．若
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝120°，则∠BAC 的度数是（
）
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
8．如图，
是
的直径，
是
的切线，
，
交
于点
，
是
上一点，
延长
交
于点
，则
的度数是（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
9．如图，在
中，
平分
，使用尺规作射线
，与
交于点
，下列判断正确的是（
）
A．
平分
B．
C．点
是
的内心
D．点
到点
，
，
的距离相等
10．下列五个说法：①近似数3.60 万精确到百分位；②三角形的外心一定在三角形的外部；③内错角相等；
④90°的角所对的弦是直径；⑤函数
的自变量x 的取值范围是
且
．其中正确的个
数有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
11．如图，
是⊙O 的直径，
交⊙O 于点
，
于点
，下列说法不正确的是（ ）
A．若
，则
是⊙O 的切线
B．若
，则
是⊙O 的切线
C．若
，则
是⊙O 的切线
D．若
是⊙O 的切线，则
12．如图，AB 是
的直径，PA 与
相切于点A，
交
于点C．若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．如图，已知
上三点
、
、
，连接
、
、
、
，切线
交
的延长线于点
，
，则
的度数为（ ）
A．20°
B．30°
C．40°
D．50°
14．如图，
为
的直径，直线
与
相切于点
，直线
交
于点
、交
于点
，
连接
、
，则下列结论错误的是（ ）
A．若
，则
平分
；
B．若
平分
，则
；
C．若
，则
平分
；
D．若
，则
．
15．如图，
中，
，它的周长为16，若圆O 与BC，AC，AB 三边分别切于E，
F，D 点，则DF 的长为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
16．如图，
为
的直径，C 为圆上一点，过点C 的切线与直径
的延长线交于点D，若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．如图，已知⊙C 的半径为3，圆外一点O 满足OC＝5，点P 为⊙C 上一动点，经过点O 的直线l 上有
两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l 不经过点C，则AB 的最小值（ ）
A．2
B．4
C．5
D．6
18．如图，点
为
的内心，
，
，
，则
的面积是（ ）
A．
B．
C．2
D．4
19．如图，
是
的切线，切点为
，
的延长线交
于点
，点
为
上的动点，若
，则
等于（ ）
A．115°
B．110°
C．105°
D．100°
20．如图，
，
是⊙O 的切线，切点为
、
，点
为优弧
上一点，且
，若
．则
等于（ ）
A．100°
B．15°
C．20°
D．25°
21．如图，
和
是
的两条切线，
，
为切点，点
在
上，点
，
分别在线段
和
上，且
，
．若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．已知
，
，
是等圆，
内接于
，点C，E 分别在
，
上．如图，①以
C 为圆心，
长为半径作弧交
于点D，连接
；②以E 为圆心，
长为半径作弧交
于点
F，连接
；下面有四个结论：①
；②
；③
；④
，所有正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
23．如图，
中，
截
的三条边所截得弦长相等，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
24．如图，⊙O 的半径为2，弦AB 平移得到CD（AB 与CD 位于点O 两侧），且CD 与⊙O 相切于点E．
若
的度数为120°，则AD 的长为（ ）
A．4
B．2
C．
D．3
25．如图，在
中，
是
外一点，
与
相切于
两点，
是
上两点，若
，则
（ ）
A．210°
B．215°
C．220°
D．225°
26．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，
M，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最大值与最小值之差是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
27．如图，
为
的直径，直线
与
相切于点
，点
为半圆弧
的中点，连接
交
于点
，连接
．若
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．如图，已知点
为勾股形
（我国古代数学家刘徽称直角三角形为勾股形）的内心，其中
为
直角，点
、
、
分别在边
、
、
上，
，若
，
，则正方形
的面积是（ ）
A．2
B．4
C．3
D．16
29．如图，
是
的直径，
，
，
交
于点
，交
于点
，
与
相切于点
，交
于点
，
与
相交于点
．下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
30．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤：（1）分别以B、C 为圆心，大于
BC 的长为半径作弧，两
弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB 于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是
（ ）
A．直线MN 是线段BC 的垂直平分线
B．点D 为△ABC 的外心
C．∠ACB＝90°
D．点D 为△ABC 的内心
二、填空题
31．如图，在
中，
，以AD 为直径的
与BC 相切于点E，连接OC．若
，
则
的周长为____________．
32．如图，
是
外一点，
、
是
的两条切线，切点分别为
、
，若
为
，点
在
上（不与
、
重合），则
______ ．
33．如图，
与
的边
相切，切点为
．将
绕点
按顺时针方向旋转得到
，
使点
落在
上，边
交线段
于点
．若
，则
______度．
34．如图，
，
分别是
的直径和弦，
，交
于点
．过点
作
的切线与
的延长线交于点
，若
，
，则
的长__________．
35．已知在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
是抛物线
对称轴上的
一个动点．小明经探究发现：当
的值确定时，抛物线的对称轴上能使
为直角三角形的点
的个
数也随之确定．若抛物线
的对称轴上存在3 个不同的点
，使
为直角三
角形，则
的值是____．
三、解答题
36．已知：在
中，
为直径，
为射线
上一点，过点
作
的切线，切点为点
，
为弧
上一点，连接
、
、
．
（1）如图1，求证：
；
（2）如图2，若四边形
为平行四边形，
，求
的半径．
37．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画圆，交AC 于点D，
于点F，连接OF，且
．
（1）求证：DF 是
的切线；
（2）求线段OF 的长度．
38．如图，
、
分别是
的直径和弦，弦
与
、
分别相交于点
、
，过点
的切线
与
的延长线相交于点
，且
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求
的半径长．
39．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 的两条对角线相交于点E，两组对边的延长线分别相交于点F，G，且
∠F=67.5°，∠G=22.5°，
，边AB 过圆心O．
（1）求∠BAD 的度数；
（2）求∠BAC 的正切值；
（3）若AB=2，则CE•CA 的值等于多少？
40．如图，
与等边
的边
，
分别交于点
，
，
是直径，过点
作
于
点
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）连接
，当
是
的切线时，求
的半径
与等边
的边长
之间的数量关系．
41．如图1，
中，
，半径为r 的
经过点A 且与
相切，切点M
在线段
上（包含点M 与点B、C 重合的情况）．
（1）半径r 的最小值等于________：
（2）设
，求半径r 关于x 的函数表达式；
（3）当
时，请在图2 中作出点M 及满足条件的
．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗）
42．如图，在
中，
，以AB 为直径的
交BC 于点D．过点D 作
的切线DE，交
AC 于点E，AC 的延长线交
于点F．
（1）求证：
．
（2）若
，
．求
的半径．
43．如图，
是
外接圆的直径，O 是圆心，
的平分线交
于点D．
（1）若
的半径为5，
，求
．
（2）若
，求
．
（3）探究，直接写出三条线段
之间的数量关系．
44．如图，
为
的直径，
，
为
上不同于
，
的两点，过点
作
的切线
交直线
于点
，直线
于点
．
（1）求证：
；
（2）连接
，若
，且
，求
的半径．
45．如图，
是
的直径，
过
的中点D，
切
于点D，交
于点E．
（1）求证：
．
（2）若
的半径为5，
，求
的长度．
46．已知如图，△ABC 是边长为8 的等边三角形，以A 为圆心，2 为半径作半圆A，交BA 所在直线于点
M，N．点E 是半圆A 上任意一点，连接BE，把BE 绕点B 顺时针旋转60°到BD 的位置，连接ED．
（1）求证：△EBA≌△DBC．
（2）当ED＝2
时，判断BE 与半圆A 的位置关系，并说明理由．
（3）直接写出△BCD 面积的最大值．
47．如图，已知
的直径
，点
是
上一个动点（不与点
、
重合），切线
交
的
延长线于点
，连结
、
、
．
（1）请添加一个条件使
，并说明理由．
（2）若点
关于直线
的对称点为
．
①当
______度时，四边形
为菱形；
②当
______时，四边形
为正方形．
48．如图，在
中，
，点
是边
的中点，点
是边
上的点，以
为圆心，
为半径的
交
，
，
于点
，
，
，且点
是弧
的中点，连接
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
，求
的半径．
49．如图，A，B 是
上两点，且
，连接OB 并延长到点C，使
，连接AC．
（1）求证：AC 是
的切线．
（2）点D，E 分别是AC，OA 的中点，DE 所在直线交
于点F，G，
，求GF 的长．
50．如图，
是
的直径，
是圆上一点，弦
于点
，且
．过点
作
的切
线，过点
作
的平行线，两直线交于点
，
的延长线交
的延长线于点
．
（1）求证：
与
相切；
（2）连接
，若
，求
的长．
51．如图，
是
的内接三角形，
是
的直径，点
是
的中点，
交
的延
长线于点
．
（1）求证：直线
与
相切；
（2）若
的直径是10，
，求
的长．
52．如图，
是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是
的中点，E 为
延长线上一点，且
与
交于点H，与
交于点F．
（1）求证：
是⊙O 的切线；
（2）若直径
的长为
，求
的长．
53．如图，已知
，
，
为
的直径，斜边
交
于点
，
平分
，
于点
，
的延长线与
交于点
．
（1）求证：
；
（2）连结
，若半径为3，
，求
的长．
54．如图，在
中，
，AE 平分
交BC 于点E，点D 在AB 上，
．
是
的外接圆，交AC 于点F．
（1）求证：BC 是
的切线；
（2）若
的半径为5，
，求
．
55．如图，平行四边形ABCD 的边AD 与经过A，B，C 三点的⊙O 相切
（1）求证：点A 平分
；
（2）延长DC 交⊙O 于点E，连接BE，若BE＝4
，⊙O 半径为13，求BC 的长．
56．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD⊥BC 于点D，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线
于点E，连结BE．
（1）求证：BE 是⊙O 的切线；
（2）设OE 交⊙O 于点F，若DF＝2，BC＝
，求劣弧BC 的长．
57．如图，在
中，
于点O，
于点E，以点O 为圆心，
的长为
半径作圆，交
于点F．
（1）求证：
是
的切线；
（2）已知点H 为
上一点，
的半径为
，求弦
的长．
58．如图1，
是
的内接三角形，点A 在弧
上运动．
（1）若
且
．
①
的半径为_______；
②设点A 到
的距离为x，图中阴影部分的面积为y，求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量x 的取值
范围．
（2）如图2，
是
的一个外角，
、
的平分线分别交
于点E、F．若连接
E、F，则
与
有怎样的关系？请说明理由．
59．已知，在
中点，
在
上，点
在
上，
与
交于点
，
．
（1）如图，若
，
，
，则
____________︒；（直接写出答案）
（2）如图，若
，求证：
；
（3）如图，若
，
，点
为
的中点，则
的最小值为_______________．（直
接写出答案）
60．平面直角坐标系
中，我们把两点
，
的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值
之和叫做点
与点
之间的勾股值，记为
，即
；
（1）已知，点
，
，
，直接写出
，
的值；
（2）若点
在一次函数
的图象上，且
，求点
的坐标；
（3）已知，点
是满足条件
的所有
点所组成图形上的任意一点，
是半径为
的
上的
任意一点，
表示
的最小值．若
，直接写出半径
的取值范围．
