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第2 节 特殊的平行四边形
知识点1：矩形
1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2.矩形的性质
（1）矩形具有平行四边形的所有性质,
（2）矩形的四个角都是直角，
（3）矩形的对角线相等且互相平分.
注意：直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.矩形的判定方法
①一个角是直角的平行四边形是矩形；
②三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形.
知识点2：菱形
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2. 菱形的性质
（1）菱形具有平行四边形的所有性质，
（2）菱形的四条边相等，
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（3）其对角线互相垂直平分，且平分一组对角.
3.菱形的判定
（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（2）四条边相等的四边形是菱形。
知识点3：正方形
1.正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
2.正方形的性质
（1）正方形的四条边相等；
（2）四个角都是直角；
（3）对角线相等并且互相垂直平分；
（4）每条对角线平分一组对角.
3.正方形的判定
（1）一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形.
【例题1】（2020•泰安）如图，矩形ABCD 中，AC，BD 相交于点O，过点B 作BF⊥AC 交CD 于点F，交AC 于
点M，过点D 作DE∥BF 交AB 于点E，交AC 于点N，连接FN，EM．则下列结论：
①DN＝BM；
②EM∥FN；
③AE＝FC；
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④当AO＝AD 时，四边形DEBF 是菱形．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【例题2】（2019 贵州省安顺市） 如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D 为斜边BC 上
的一个动点，过D 分别作DM⊥AB 于点M，作DN⊥AC 于点N，连接MN，则线段MN 的最小值为
.
【例题3】（2019 湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正
方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF 的边长是（ ）
A．√2
B．2
C．√3
D．4
A
C
N
M
D
B
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一、选择题
1．（2020•南充）如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 的中点，过点E 作
EF⊥BD 于F，EG⊥AC 于G，则四边形EFOG 的面积为（ ）
A．1
4
S
B．1
8
S
C．1
12
S
D．1
16
S
2．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，过点D 作DH⊥AB 于点H，连接OH，若
OA＝6，S 菱形ABCD＝48，则OH 的长为（ ）
3.（2019•广东广州）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线EF 分别交BC，AD 于点E，F，若BE＝
3，AF＝5，则AC 的长为（ ）
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A．4
B．4
C．10
D．8
4.（2019 内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC、BD 相交于点O，E 是CD 的中点，则OE 的长
是（ ）
A．2.5
B．3
C．4
D．5
5.（2019•贵州省铜仁市）如图，四边形ABCD 为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F 分别在边DC、BC
上，且CE＝
CD，CF＝
CB，则S△CEF＝（ ）
A．
B．
C．
D．
6. 如图，矩形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，
则四边形CODE 的周长是（ ）
B
O
D
E
C
A
A.4 B.6 C.8 D. 10
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7.如图，矩形ABCD 的顶点A、C 分别在直线a、b 上，且a∥b，∠1=60°，则∠2 的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8. 如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB、CD 交于点E、F，连结BF 交AC 于点M，连
结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB 垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；
④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
9.下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
10. 如图，正方形ABCD 的对角线BD 长为2
，若直线l 满足：
①点D 到直线l 的距离为
；
②A、C 两点到直线l 的距离相等．
则符合题意的直线l 的条数为（ ）
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A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
11．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（
）
A.2.5 B.
C.
D. 2
二、填空题
12.（2020 湖北恩施州）如图，正方形
的边长为4，点
在
上且
，
为对角线
上
一动点，则
周长的最小值为（ ）．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
13.（2019 湖南娄底）如图，要使平行四边形 ABCD 是矩形，则应添加的条件是
（添加一个条
件即可）．
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14.（2019·贵州贵阳）如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F 是对角线AC 上的一个动点，连
接DF，以DF 为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E 和点A 位于DF 两侧，点F 从点A 到点C 的运
动过程中，点E 的运动路径长是
．
15.（2019 湖北十堰）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，E 为BC 的中点，若OE＝3，则菱形
的周长为 ．
三、解答题
16.（2020 湖北恩施）如图，
，
平分∠ABC 交
于点
，点C 在
上且
，连接
．求证：四边形
是菱形．
17．（2019 湖南怀化）已知：如图，在▱ABCD 中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F 分别为垂足．
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（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF 是矩形．
18.（2019•四川省凉山州）如图，正方形ABCD 的对角线AC、BD 相交于点O，E 是OC 上一点，连接EB．过
点A 作AM⊥BE，垂足为M，AM 与BD 相交于点F．求证：OE＝OF．
19．（2019 湖南湘西州）如图，在正方形ABCD 中，点E，F 分别在边CD，AD 上，且AF
＝CE．
（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF 的面积．
20．如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，延长CB 至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF 的平分线
分别交AF，AB，BD 于点E，N，M，连接EO．
（1）已知BD=
，求正方形ABCD 的边长；
（2）猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．
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21.已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 在边CD 上，AQ⊥BE 于点Q，DP⊥AQ 于点P．
（1）求证：AP=BQ；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差
等于PQ 的长．
22.边长为1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△ABC 的面积为 ．
23．如图，已知四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O 点作EF⊥BD，分别交
AD、BC 于点E、F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）判断四边形BEDF 的形状，并说明理由．
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24．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点
F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
25．已知：在四边形ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF 与AC 交
于点C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图1，求证：AD=CD；
（2）如图2，BH 是△ABE 的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2 中
四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的2 倍．
26．如图，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F，且
AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
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27．（2019 湖南岳阳）如图，在菱形ABCD 中，点E、F 分别为AD、CD 边上的点，DE＝DF，
求证：∠1＝∠2．
28. （2019•海南省）如图，在边长为l 的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点
A、D 不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q．
（1）求证：△PDE≌△QCE；
（2）过点E 作EF∥BC 交PB 于点F，连结AF，当PB＝PQ 时，
①求证：四边形AFEP 是平行四边形；
②请判断四边形AFEP 是否为菱形，并说明理由．
