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第十八章 平行四边形
第1课时18.2.2 菱形的性质
一、温故知新（导）
我们知道，当平行四边形的一个角为直角时，这个平行四边形就是一个特殊的平行四边形----
矩形 .如图18.2-6，当平行四边形的一组邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊的平行
四边形，那么我们把这个特殊的平行四边形叫什么呢？它又有哪些性质呢？这是今天我们要学的内
容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、掌握菱形的性质定理，能运用它进行有关的证明和计算.
2、理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积.
学习重难点
重点：掌握菱形的定义和性质及菱形面积的求法；
难点：菱形性质的证明及灵活运用.
二、自我挑战（思）
1、菱形的定义： 有一组邻边 相等 的平行四边形叫做菱形.
2、因为菱形是 特殊 的平行四边形，所以它具有 平行四边形 的所有性质.
3、由于菱形的一组 邻边 相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
猜想：
（1）边： 菱形的四条边相等 .
（2）对角线： 菱形的两条对角线 互相垂直 ，并且每一条 对角线 平分一组对角.
（3）求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，菱形ABCD的对角线相交于O点.
求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC .
证明：∵ 四边形ABCD是菱形∴ AB=AD，OB=OD
∴ AC⊥BD，AC平分∠BAD (等腰三角形的三线合一)
同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.
（4）结论
菱形的性质：菱形的四条边 相等 ；
菱形的两条对角线 互相垂直 ，并且每一条 对角线 平分一组对角.
三、互动质疑（议、展）
1、菱形是轴对称图形吗？有几条对称轴？它的对称轴是什么？
菱形是轴对称图形，有两条对称轴，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
2、如图18.2-8，一般平行四边形被它的两条对角线分成 四 个面积相等的三角形，菱形被它的
两条对角线分成 四 个全等的直角三角形，菱形的面积等于对角线乘积的 一半 .
3、实例：
例 3 如图 18.2-9，菱形花坛 ABCD 的边长为 20m，
∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修了两条小路AC和BD，
求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积
（结果保留小数点后一位）．
解：∵花坛ABCD 是菱形，
1 1
∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°，
2 2
∴在RT△OAB中，
1 1
AO= AB= ×20=10，
2 2
= = .
BO=√AB2−AO2 √202−102 10√3
∴花坛的两条小路长
AC=2OA=20（m），
BD=2BO=20√3≈34.64（m）.
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=20m,
花坛的面积
1
S
菱形ABCD
=4×S
△OAB
= AC•BD==200√3≈346.4（m2）．
2
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）1、关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．四条边相等 D．对角线互相平分
1、解：菱形的性质有：对角线互相垂直平分，四边相等，
故选：A．
2、如图，已知菱形ABCD的周长为8，∠A=60°，则对角线BD的长是（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．2√3
2、解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
8
∴BD=AB= ＝2，
4
故选：C．
3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AC=8，BD=12，则菱形
ABCD的面积为（ ）
A．96 B．48 C．36 D．38
3、解：在菱形ABCD中，AC=8，BD=12，
∵AC⊥BD，
1 1
∴菱形ABCD的面积= AC⋅BD＝ ×8×12＝48，
2 2
故选：B．
4、如图，菱形ABCD对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的边长为 ．
4、解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=6，
1 1
∴OA= AB=4，OB= BD=3，AC⊥BD，
2 2
∴AB= =5．
√OA2+OB2
故答案为：5．5、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，
∠ABC=60°，BD=4√3，则OE= ．
5、解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴BO=DO，∠ABO=30°，AC⊥BD，AB=AD，
∴BO=2√3，
√3
∴AO= BO=2，
3
∴AB=2AO=4，
∵E为AD的中点，∠AOD=90°，
1
∴OE= AD=2，
2
故答案为：2．
6、如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，BF，EF，且
∠ABE=∠CBF．求证：∠BEF=∠BFE．
6、证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
{ ∠A＝∠C
在△ABE与△CBF中， AB＝BC ，
∠ABE＝∠CBF
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE．
六、用
（一）必做题
1、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，则∠BDA的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°1、解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADC=∠ABC=80°，DB平分∠ADC和∠ABC，
∴∠BDA=∠BDC=40°，
故选：A．
2、已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的周长
是（ ）
A．16√3 B．16 C．8√3 D．8
2、解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵AC=4，
∴AB=AC=BC=CD=AD=4，
∴菱形的周长为：AB+BC+CD+AD=16，
故选B．
3、如果菱形的边长为a,一个内角为60°，那么菱形较长的对角线长等于（ ）
1 √3
A． a B．A C． a D．√3a
2 2
3、解：如图，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BD=2OB，
∵∠ABC=60°，
1
∴∠ABO＝ ∠ABC＝30°，
2
1 1
∴AO＝ AB＝ a，
2 2
∴AC=2AO=a,
√ 1 2 √3
由勾股定理得OB＝√AB2−OB2＝ a2−（ a）＝ a，
2 2
√3
∴BD＝2OB＝2× a＝√3a，
2
∵√3a＞a，∴菱形较长的对角线长等于√3a，
故选：D．
4、如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD分别为16和12，DE⊥AB于点E，则DE=
．
4、解：如图，设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO=8，DO=BO=6，AC⊥BD，
∴AB＝ ＝ ＝10，
√AO2+BO2 √82+62
1
∵S = AC•BD=AB•DE，
菱形ABCD
2
1
∴ ×16×12＝10×DE，
2
48
∴DE＝ ，
5
48
故答案为： ．
5
5、如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F．
（1）求证：BE=BF．
（2）当DE=4，CF=2时，求菱形ABCD的面积．
5、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°，{∠BEA＝∠BFC
在△ABE和△CBF中， ∠A＝∠C ，
AB＝CB
∴△ABE≅△CBF（AAS），
∴BE=BF；
（2）解：∵DE=4，CF=2，
∴CD=DF+CF=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD=6，
∵BF⊥CD，
∴∠BFC=90°，
∴BF＝ ＝ ＝4 ，
√BC2−CF2 √62−22 √2
∴菱形ABCD的面积为CD⋅BF＝6×4√2＝24√2．
（二）选做题
6、如图，已知菱形 ABCD，∠ADC=120°，点F在DB的延长线上，点 E在DA的延长线上，
且满足DE=BF．求证：△EFC是等边三角形．
6、证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°，
∴AD∥BC，CD=CB，
∴∠BCD=180°-∠ADC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC=60°，
∴∠FBC=∠BCD+∠BDC=120°，
∴∠EDC=∠FBC，
{ CD＝CB
在△EDC和△FBC中， ∠EDC＝∠FBC，
DE＝BF
∴△EDC≌△FBC（SAS），
∴CE=CF，∠DCE=∠BCF，
∵∠ECF=∠BCE+∠BCF=∠BCE+∠DCE=∠BCD=60°，
∴△EFC是等边三角形．
7、如图，菱形ABCD，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
（1）如图1，求证：DE=DF；
（2）如图2，若∠BAD=60°，连接AC分别交BE、BF于点G、H，在不添加辅助线的情况下，
请你直接写出所有的钝角等腰三角形．7、（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD．
∵BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
∴AD⋅BE=CD•BF，
∴DE=DF；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AD=CD，AB=BC，∠ABC=∠ADC=120°，∠BAC=30°，
∴△ABC，△ADC是钝角等腰三角形．
∵BE⊥AD于点E，
∴∠ABG=30°，
∴∠BAC=∠ABG=30°，
∴∠AGB=120°，
∴△ABG是钝角等腰三角形，
同理可证△BCH是钝角等腰三角形．
综上可知，钝角等腰三角形有：△ABC，△ADC，△ABG，△BCH．
