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24.4 弧长和扇形面积
【提升训练】
一、单选题
1．如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧
和
的夹角为120°，
长为
，贴纸部分的
长为
，则贴纸部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，
中，
，
，
，点
从
点出发，沿
运动到点
停止，
过点
作射线
的垂线，垂足为
，点
运动的路径长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在
中，
，
，
，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交
AB 于点D，交AC 于点C，以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E，交BC 于点F，则图中阴影
部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，正六边形
的边长为2，以
为圆心，
的长为半径画弧，得
，连接
，
，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上
点A 位置变化为A→A1→A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚
到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10cm
B．
cm
C．
cm
D．
cm
6．如图，
是
的直径，
为半圆
的中点，
为弧
上一动点，连接
并延长，作
于点
，若点
从点
运动到点
，则点
运动的路径长为（ ）
A．
B．
C．
D．4
7．如图，
是等腰直角三角形，
，
，把
绕点
按顺时针方向旋
转45°后得到
，则线段
在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，
内切于边长为2 的正方形
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O，B 的对应点分别为
，
，连接
，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，等边
的三个顶点都在
上，
是
的直径．若
，则劣弧
的长是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图，AB 是半圆O 的直径，AB＝10，以OB 为边作平行四边形OBCE，若CE 与半圆O 相切于点C，
则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在扇形
中，
，半径
交弦
于点
，且
．若
，则
阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．在
中，已知
，
，
．如图所示，将
绕点
按逆时针方
向旋转
后得到
．则图中阴影部分面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．如图，边长为
的等边三角形
内接于
，过点
作
的切线交
的延长线于点
，交
于点
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A．60°
B．90°
C．120°
D．135°
16．如图所示，矩形纸片
中，
，把它分割成正方形纸片
和矩形纸片
后，
分别裁出扇形
和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．如图，直线
与坐标轴交于A、B 两点，点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作y 轴的平
行线交直线
于点Q，
绕点O 顺时针旋转45°，边PQ 扫过区域（阴影部份）面积的最大
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径
，圆心角
，则此圆锥高
的长度
是（ ）
A．2
B．
C．
D．
19．如图，
中，
，
，以
为直径的
交
于点
，则
的长为（
）
A．
B．
C．
D．
20．如图，是古希腊数学家希波克拉底所研究的月牙问题，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为
的三条边，若
，
，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．如图，在半径1 的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
22．如图，在半径为
的圆形纸片中，剪一个圆心角为90º 的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面
积为 （ ）
A．π
B．
C．2π
D．
23．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 重合，折痕
为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．如图，从一块半径为
的圆形铁皮上剪出一个圆心角是
的扇形
，则此扇形围成的圆锥底
面圆的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．如图，在
中，点
在优弧
上，将弧
沿
折叠后刚好经过
的中点
．若
的半径
为5，
，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=4，以点A 为圆心、AC 的长为半径作
交AB 于点E，
以点B 为圆心、BC 的长为半径作
交AB 于点D，则阴影部分的面积为（ ）
A．π 一2
B．2π﹣4
C．4π﹣8
D．2π﹣2
27．如图，等边△ABC 边长为3，将△ABC 绕AC 上的三等分点O 逆时针旋转60°得到△
，其中点
B 的运动轨迹为
，图中阴影部分面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．如图，在矩形
中，
为对角线，
，
，以
为圆心，
长为半径画弧，
交
于点
，交
于点
，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图，在
中，
，以
的中点D 为圆心，作圆心角为
的扇形
，点C 恰好在
上，设
，当
由小到大变化时，图中两个阴影部分的
周长和（ ）
A．由小变大
B．由大变小
C．不变
D．先由小变大，后由大变小
30．如图，在正方形纸片
中，点M，N 在
上，将纸片沿
折叠，折叠后使点A 和点D
重合于点I，
的外接圆分别交
于点P，Q．若
，则
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．如图，已知在扇形
中，
，半径
．P 为弧
上的动点，过点P 作
于点M，
于点N，点M，N 分别在半径
上，连接
．点D 是
的外
心，则点D 运动的路径长为________．
32．如图，已知半圆O 的直径
，将半圆O 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点
处，
与半圆O
交于点C，若弧BC 的长为
，则图中阴影部分的面积是_________．
33．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A：∠C＝2：3，若⊙O 半径为5，则
的长度是
______．
34．如图，在正方形ABCD 中，扇形BAD 的半径AB＝4，以AB 为直径的圆与正方形的对角线BD 相交于
O，连接AO．则图中阴影部分的面积为___．（结果保留π）
35．如图，从一块边长为
，
的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以
为圆心的圆上（阴
影部分），且圆弧与
，
分别相切于点
，
，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半
径是__________．
三、解答题
36．如图，在
中，
，点
在
边上，
为
的半径，
是
的切线，
切点为点
，
，
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）求阴影部分的面积．
37．如图，已知
是底角为30°的等腰三角形，B 为AD 上一点，以AB 为直径的
恰好过点C．
（1）判断直线CD 与
的位置关系，并说明理由；
（2）M 为
下半圆上的一个动点，若在某一时刻满足
，已知半径等于2，求弧AM 的
长．
38．如图1，四边形
内接于
，
为直径，过点
作
于点
，连接
．
（1）求证：
；
（2）若
是
的切线，
，连接
，如图2．
①请判断四边形ABCO 的形状，并说明理由；
②当AB=2 时，求AD， AC 与
围成阴影部分的面积．
39．如图，在平行四边形
中，点A、B、D 三个点在⊙
上，
与⊙
交于点F，连结
并延
长交边
于点E，点E 恰好是
的中点．
（1）求证：
是⊙
的切线．
（2）若
，
①求
的长．
②求阴影部分的面积．
40．如图，在
中，
，
与
，
分别相切于点E，F，
平分
，
连接
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
的半径是1，求图中阴影部分的面积．
41．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径
与母线
长之比为
．制作这种外包装
需要用如图所示的等腰三角形材料，其中
，
．将扇形
围成圆锥时，
，
恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角
的大小
（2）若圆锥底面圆的直径
为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留
）
42．如图，
是
的直径，
为
上一点（
不与点
，
重合）连接
，
，过点
作
，垂足为点
．将
沿
翻折，点
落在点
处得
，
交
于点
．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，
，求阴影部分面积．
43．将一物体（视为边长为
米的正方形
）从地面
上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点
与斜面
上的点
重合，先将该物体绕点
按逆时针方向旋转至正方形
的位置，再将其
沿
方向平移至正方形
的位置（此时点
与点
重合），最后将物体移到车厢平台面
上．已知
，
，过点
作
于点
，
米，
米．
（1）求线段
的长度；
（2）求在此过程中点
运动至点
所经过的路程．
44．如图，在
中，
，
，以点
为圆心，
为半径的圆交
的延
长线于点
，过点
作
的平行线，交
于点
，连接
．
（1）求证：
为
的切线；
（2）若
，求弧
的长．
45．如图，
是
的直径，
是
的切线，切点为
，点
为直径
右侧
上一点，连接
并延长
，交直线
于点
，连接
．
（1）尺规作图：作出
的角平分线，交
于点
，连接
（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，
①求证：
．
②若
半径为2，当
的长为______时，四边形
是正方形．
46．如图，在平面直角坐标系中，以线段
为直径作
，与
轴相交于
两点，在第一
象限内的圆上存在一点
，使得
为等边三角形．
（1）求
过点
的切线的函数关系式；
（2）求由线段
、劣弧
围成的图形面积．
47．如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1 个单位长度的正方形，点
，
，
的
坐标分别为
，
，
．
（1）将
向上平移4 个单位长度，再向右平移6 个单位长度，画出平移后得到的
，并直接
写出点
的坐标；
（2）将
绕着原点
逆时针旋转90°后得到
．
①画出旋转后的
；
②点
旋转到点
所经过的路径长为______个单位长度．
48．如图，在⊙O 中，直径AB＝24，点C、D 在⊙O 上，AB 与CD 交于点E，CE＝ED，OH⊥BD，垂足为
点H，DF 交BA 延长线于点F，∠CDF＝2∠B．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若FD＝BD，求图中阴影部分的面积．
49．如图，
是⊙O 的直径，
是⊙O 上一点，
平分
，过点
作
交
延长线于
点
．
（1）求证：
是⊙O 的切线；
（2）若
，
，求阴影部分的面积．
50．如图，在平面直角坐标系中，已知
的三个顶点分别是A(−1，4)，B(−3，2)，C(−2，1)．
（1）请画出
关于原点
的中心对称图形
；
（2）请画出将
绕点
逆时针旋转90°后得到的
；
（3）在（2）的条件下，求点
旋转到点
所经过的路线长（结果保留
）．
51．如图，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点D 作⊙O 的切线DE，与过点A 的直线垂直于E，弦BD 的延长
线与直线AE 交于C 点．
（1）求证：点D 为BC 的中点；
（2）设直线EA 与⊙O 的另一交点为F，求证：CA2－AF2＝4CE•EA；
（3）若
＝
，⊙O 的半径为r．求由线段DE，AE 和弧AD 所围成的阴影部分的面积．
52．已知：点D 是△ABC 的边AC 上一点，tanC＝1，cos∠ADB＝
，⊙O 经过B，C，D 三点．
（1）若BD＝4，求阴影部分图形的面积；
（2）若AD＝2CD＝4，求证：AB 为⊙O 的切线．
53．如图AB 是⊙O 的直径，AC⊥AB，E 为⊙O 上的一点，AC＝EC，延长CE 交AB 的延长线于点D．
（1）求证：CE 为⊙O 的切线；
（2）若OF⊥AE，AE＝4
，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
54．如图，
为
的直径，
，点A 为
的中点，
，连结
，
．
（1）求证：
．
（2）求图中弓形阴影部分的面积之和．
55．如图，
是半圆的直径，弦
，过
点作圆
的切线
，与
延长线相交于点
，连
接
、
，
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）当
时，求围成阴影部分图形的周长．
56．如图，
是半圆
的直径，
是半圆
上不同于
、
两点的任意一点，
是半圆
上一动点，
与
相交于点
，
是半圆
所在圆的切线，与
的延长线相交于点
．
（1）若
，求证：
；
（2）若
，
，
．求
；（答案保留
）
（3）若
，
为
的中点，点
从
移动到
时，请直接写出点
移动的长度．（答案保留
）
57．如图，已知
是
的直径，点D，C 是圆上的两个点，且
，直线
于点E．
（1）求证：
是
的切线；
（2）若
，求阴影部分的面积．
58．在
中，
．将边
绕点C 顺时针旋转到
，记
，连结
，取
的中点F，射线
，
交于点A．
（1）填表：如图1，当
时，根据下表中
的值，分别计算
的度数．
（2）猜想
与
的数量关系，并说明理由．
（3）应用：如图2，当
时，请求出
从
逐渐增加到
的过程中，点A 所经过的路径长．
59．如图①，小慧同学把一个等边三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA 边与直线l1重合，然后将三
角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O1处，点B 运动到了点B1处；小慧又
将三角形纸片AO1B1绕B1点按顺时针方向旋转120°，点A 运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶
点O 经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO1和弧
O1O2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形
AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1 的正方形纸片OABC 放在直线l2上，OA 边与直线l2重合，然后
将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O1处（即点B 处），点C 运动到了
点C1处，点B 运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点按顺时针方向旋转90°，……，按上
述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：
（1）若正方形纸片OABC 按上述方法经过3 次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中
所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形OABC 按上述方法经过5 次旋转，求顶点O 经过的路程；
（2）正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是
？
60．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）
是边长为3 的等边三角形，E 是边
上的一点，且
，小亮以
为边作等边三角形
，如图1，求
的长；
（2）
是边长为3 的等边三角形，E 是边
上的一个动点，小亮以
为边作等边三角形
，
如图2，在点E 从点C 到点A 的运动过程中，求点F 所经过的路径长；
（3）
是边长为3 的等边三角形，M 是高
上的一个动点，小亮以
为边作等边三角形
，
如图3，在点M 从点C 到点D 的运动过程中，求点N 所经过的路径长；
（4）正方形
的边长为3，E 是边
上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B
为顶点作正方形
，其中点F、G 都在直线
上，如图4，当点E 到达点B 时，点F、G、H 与点B
重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．
