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一、选择题 1.（2016•江西模拟）已知二次函数y=x2﹣（m﹣1）x﹣m，其中m＞0，它的图象与x 轴从左 到右交于R 和Q 两点，与y 轴交于点P，点O 是坐标原点．下列判断中不正确的是（ ） A．方程x2﹣（m﹣1）x﹣m=0 一定有两个不相等的实数根 B．点R 的坐标一定是（﹣1，0） C．△POQ 是等腰直角三角形 D．该二次函数图象的对称轴在直线x=﹣1 的左侧 2．若一个图形绕着一个定点旋转一个角α(0°＜α＜180°)后能够与原来的图形重合， 那么这个图形叫做旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转120°(如图所示)能 够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋 转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下面图所示的图形中，是旋转对称图 形的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题 3．阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c．过A 作AD⊥BC 于D(如图)，则 sinB= ，sinC= ，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即 ． 同理有 ， ． 所以 ………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． 在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其 余三个未知元素c、 ∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件a、b、∠A ______ ∠B； 第二步：由条件 ∠A、∠B． ______ ∠C； 第三步：由条件．______ ______ c． 4．（榆树市期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能 与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转的这个角称为这个图形的一个旋转角． 例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形， 它有一个旋转角为90°． （1）判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”） ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°．__________________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．__________________ （2）填空：下列图形中时旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 __________________．（写出所有正确结论的序号） ①正三角形 ②正方形 ③正六边形 ④正八边形 （3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为72°，其中一个是轴 对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． .（写在横线上） 三、解答题 5. 阅读材料： 为解方程 ，我们可以将 看作一个整体，然后设 ，那么原方程可化为 ①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1 时， ，∴ ，∴ ； 当y＝4 时， ，∴ ，∴ ． 故原方程的解为： ， ， ， ． 解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了 解方程的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解方程 ． 6．阅读材料，解答问题：图2－7－2 表示我国农村居民的小康生活水平实现程度．地处 西部的某贫困县，农村人口约50 万，2002 年农村小康生活的综合实现程度才达到68％，即没 有达到小康程度的人口约为 （1－68 ％）×50 万= 16 万． （1）假设该县计划在2002 年的基础上，到2004 年底，使没有达到小康程度的16 万农村 人口降至10．24 万，那么平均每年降低的百分率是多少？ （2）如果该计划实现2004 年底该县农村小康进程接近图2－7－2 中哪一年的水平？（假 设该县人口2 年内不变） 7. （2016•吉林一模）类比平行四边形，我们学习筝形，定义：两组邻边分别相等的四边 形叫做筝形．如图①，若AD=CD，AB=CB，则四边形ABCD 是筝形． （1）在同一平面内，△ABC 与△ADE 按如图②所示放置，其中∠B=∠D=90°，AB=AD，BC 与 DE 相交于点F，请你判断四边形ABFD 是不是筝形，并说明理由． （2）请你结合图①，写出一个筝形的判定方法（定义除外）． 在四边形ABCD 中，若______，则四边形ABCD 是筝形． （3）如图③，在等边三角形OGH 中，点G 的坐标为（ ﹣1，0），在直线l：y=﹣x 上是否存 在点P，使得以O，G，H，P 为顶点的四边形为筝形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由． 8．先阅读下列材料，再解答后面的问题: 材料：23=8，此时,3 叫做以2 为底8 的对数,记为 ．一般地，若 则n 叫做以 为底b 的对数，记为 ，则4 叫做以3 为底81 的对数，记为 ． 问题：（1）计算以下各对数的值: . （2）观察（1）中三数4、16、64 之间满足怎样的关系式？ 之间 又满足怎样的关系式 （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ 根据幂的运算法则： 以及对数的含义证明上述结论． 9. 某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可 以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个 扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请 你协助他们探索这个问题． （1）写出判定扇形相似的一种方法：若______，则两个扇形相似； （2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的 弧长为______； （3）如图1 是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为30cm，现要 做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半径． 10. 阅读材料，如图（1）所示，在四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，垂足为P， 求证： ． 证明： ∴ ． 解答问题： （1）上述证明得到的性质可叙述为________． （2）已知：如图（2）所示，等腰梯形ABCD 中，AD∥BC，对角线AC⊥BD 且相交于点P，AD＝3 cm，BC＝7 cm，利用上述性质求梯形的面积． 11. 阅读下面的材料： 小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数 的最大值．他 画图研究后发现， 和 时的函数值相等，于是他认为需要对 进行分类讨论． 他的解答过程如下： ∵二次函数 的对称轴为直线 ， ∴由对称性可知， 和 时的函数值相等． ∴若1≤m＜5，则 时， 的最大值为2； 若m≥5，则 时， 的最大值为 ． 请你参考小明的思路，解答下列问题： （1）当 ≤x≤4 时，二次函数 的最大值为_______； （2）若p≤x≤2，求二次函数 的最大值； （3）若t≤x≤t+2 时，二次函数 的最大值为31，则的值为_______． 答案与解析 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D； 【解析】令y=0 得x2﹣（m﹣1）x﹣m=0，则（x+1）（x﹣m）=0，解得：x1=﹣1，x2=m． ∵m＞0＞﹣1，∴R（﹣1，0）、Q（m，0）．∴方程由两个不相等的实数根． ∴A、B 正确，与要求不符； 当x=0，y=﹣m，∴P（0，﹣m）．∴OP=PQ．∴△OPQ 为等腰直角三角形． ∴C 正确，与要求不符； ∵抛物线的对称轴为x=﹣ = ，m＞0，∴x＞﹣ ． ∴D 错误，与要求相符． 2.【答案】C； 二、填空题 3.【答案】 , ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C 或b、∠B、∠C， 或 4.【答案】（1）①对；②对；（2）①③（3）正五边形，正十边形 【解析】解：（1）① =72°， ∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为144°，说法正确； ② =90°， ∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°，说法正确； （2）①正三角形的最小旋转角为 =120°； ②正方形的最小旋转角为 =90°； ③正六边形的最小旋转角为 =60°； ④正八边形的最小旋转角为 =45°； 则有一个旋转角为120°的是①③． （3） =72°， 则正五边形是满足有一个旋转角为72°，是轴对称图形，但不是中心对称图 形； 正十边形有一个旋转角为72°，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 三、解答题 5.【答案与解析】 （1）换元； （2）设 ，则原方程可化为 ， 解得y1＝3，y2＝-2． 当y＝3 时， ，所以 ． 因为 不能为负，所以y＝-2 不符合题意，应舍去．所以原方程的解为 ， ． 6.【答案与解析】 （1）设平均每年降低的百分率为. 据题意，得 16（1－x）2 =10.24， （1－x）2 =0．64,（1－x）= ±0.8，x1=1.8（不合题意，舍去），x2=0.2． 即平均每年降低的百分率是20％. （2） ×100%=7 9.52％. 所以根据图2－7－2 所示,如果该计划实现2004 年底该县农村小康进程接近1996 年全国农村小康进程的水平 7.【答案与解析】 解：（1）四边形ABFD 是筝形． 理由：如图②，连接AF． 在Rt△AFB 和Rt△AFD 中， ， ∴Rt△AFB≌Rt△AFD（HL）， ∴BF=DF， 又∵AB=AD， ∴四边形ABFD 是筝形． （2）若要四边形ABCD 是筝形，只需△ABD≌△CBD 即可． 当AD=CD，∠ADB=∠CDB 时， 在△ABD 和△CBD 中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴AB=CB， ∴四边形ABCD 是筝形． 故答案为：AD=CD，∠ADB=∠CDB． （3）存在，理由如下： 过点H 作HP1⊥OG 于点M 交直线y=﹣x 于点P1点，连接GP1， 过点G 作GP2⊥OH 与N 交直线y=﹣x 于点P2，连接HP2，如图③所示． ∵△OGH 为等边三角形， ∴HM 为OG 的垂直平分线，GN 为OH 的垂直平分线，且OG=GH=HO， ∴P2O=P2H，P1O=P1G， ∴四边形OHGP1为筝形，四边形OGHP2为筝形． ∵△OGH 为等边三角形，点G 的坐标为（ ﹣1，0）， ∴点H 的坐标为（ ， ），点M 的坐标为（ ，0），点N 的坐标 为（ ， ）． ①∵H（ ， ），M（ ，0）， ∴直线HM 的解析式为x= ， 令直线y=﹣x 中的x= ，则y=﹣ ． ∴P1的坐标为（ ，﹣ ）； ②设直线GN 的解析式为y=kx+b，则有， ，解得： ， ∴直线GN 的解析式为y=﹣ x+ ． 联立 ，解得： ， 故点P2的坐标为（﹣1，1）． 综上可知：在直线l：y=﹣x 上存在点P，使得以O，G，H，P 为顶点的四边形为 筝形， 点P 的坐标为（ ，﹣ ）或（﹣1，1）． 8.【答案与解析】 （1） ， ， （2）4×16=64， + = （3） + = 证明：设 =b1 , =b2 则 ， ∴ ∴b1+b2= 即 + = 9.【答案与解析】 （1）答案不唯一，例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”； （2）2m ； （3）∵两个扇形相似，∴新扇形的圆心角为120° 设新扇形的半径为r，则 . 即新扇形的半径为 cm. 10.【答案与解析】 （1）对角线互相垂直的四边形的面积等于两对角线乘积的一半． （2）∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AC＝BD． 由AD∥BC，可得PD:PB＝3:7， 故设PD＝3x，则PB＝7x， ∴在Rt△APD 中， ， ， ． ∴BD＝10x＝ ， ∴ (cm2)． 11.【答案与解析】 （1）当 时，二次函数 的最大值为 49 ； （2）∵二次函数 的对称轴为直线 ， ∴由对称性可知，当 和 时函数值相等. ∴若 ，则当 时， 的最大值为 . 若 ，则当 时， 的最大值为17. （3）的值为 或 .
