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中考冲刺：创新、开放与探究型问题(提高)
一、选择题
1. （2016•重庆校级二模）下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成．
其中，第①个图形中一共有1 个平行四边1.（2016•重庆校级二模）下列图形都是由同样大小
的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有1 个空心小圆圈，第②个图形中一共
有6 个空心小圆圈，第③个图形中一共有13 个空心小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图
形中空心圆圈的个数为（ ）
A．61 B．63 C．76 D．78
2．如图，直角三角形纸片ABC 中，AB=3，AC=4，D 为斜边BC 中点，第1 次将纸片折叠，使点
A 与点D 重合，折痕与AD 交与点P1；设P1D 的中点为D1，第2 次将纸片折叠，使点A 与点D1重
合，折痕与AD 交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3 次将纸片折叠，使点A 与点D2重合，折痕与
AD 交于点P3；…；设 Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n 次将纸片折叠，使点A 与点Dn﹣1重合，折痕
与AD 交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘
以2，若积为一位数，将其写在第2 位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2 位．对第2
位数字再进行如上操作得到第3 位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上
操作得到的．当第1 位数字是3 时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100 位的
所有数字之和是( )
A．495 B．497 C．501 D．503
二、填空题
4. （2015•合肥校级三模）如图，一个3×2 的矩形（即长为3，宽为2）可以用两种不同方
式分割成3 或6 个边长是正整数的小正方形，即：小正方形的个数最多是6 个，最少是3 个．
（1）一个5×2 的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是______个，最少是
______个；
（2）一个7×2 的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是______个，最少是
______个；
（3）一个（2n+1）×2 的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数最多是______个；最
少是______个．（n 是正整数）
5. 一园林设计师要使用长度为4L 的材料建造如图1 所示的花圃，该花圃是由四个形状、
大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2 所示，它是以点O 为圆心的两个同心圆弧和
延长后通过O 点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．
（1）使图①花圃面积为最大时R－r 的值为____，以及此时花圃面积为____，其中R、r 分
别为大圆和小圆的半径
（2）若L＝160 m，r＝10 m，使图面积为最大时的θ 值为______．
6．如图所示，已知△ABC 的面积
，
在图(a)中，若
，则
；
在图(b)中，若
，则
；
在图(c)，若
，则
．
…
按此规律，若
，则
________．
三、解答题
7．（2016•丹东模拟）已知，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B、C 重合），
∠BAC=90°，AB=AC，∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（l）如图1，当点D 在线段BC 上时，求证：①BD⊥CE，②CE=BC﹣CD；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CE、BC、CD 三条
线段之间的关系；
（3）如图3，当点O 在线段BC 的反向延长线上时，且点A、E 分别在直线BC 的两侧，点F
是DE 的中点，连接AF、CF，其他条件不变，请判断△ACF 的形状，并说明理由．
8. 如图(a)、(b)、(c)，在△ABC 中，分别以AB，AC 为边，向△ABC 外作正三角形、正四边
形、正五边形，BE，CD 相交于点O．
（1）①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE；
②探究：
图(a)中，∠BOC＝________；
图(b)中，∠BOC＝________；
图(c)中，∠BOC＝________；
（2）如图(d)，已知：AB，AD 是以AB 为边向△ABC 外所作正n 边形的一组邻边；AC，AE 是以
AC 为边向△ABC 外所作正n 边形的一组邻边．BE，CD 的延长相交于点O．
①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；(用含n 的式子表示)
②根据图(d)证明你的猜想．
9. 如图(a)，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC 上任
取一点P(P 不与B，C 重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE 与直线AB 交于点E．
（1）试确定CP＝3 时，点E 的位置；
（2）若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y 关于自变量x 的函数关系式；
（3）若在线段BC 上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E 都与点A 重合，试
求出此时a 的取值范围
10. 点A，B 分别是两条平行线m，n 上任意两点，在直线n 上找一点C，使BC＝k·AB．连
接AC，在直线AC 上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF 交直线m 于点F．
（1）如图(a)，当k＝1 时，探究线段EF 与EB 的关系，并加以说明；
说明：
①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；
②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC 为特殊角)，在图(b)中补
全图形，完成证明．
（2）如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF 与EB 的关系，并说明理由．
答案与解析
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】A；
【解析】∵第①个图形中空心小圆圈个数为：4×1﹣3+1×0=1 个；
第②个图形中空心小圆圈个数为：4×2﹣4+2×1=6 个；
第③个图形中空心小圆圈个数为：4×3﹣5+3×2=13 个；
…
∴第⑦个图形中空心圆圈的个数为：4×7﹣9+7×6=61 个；
2.【答案】A；
【解析】由题意得，AD=
BC=
，AD1=AD﹣DD1=
，AD2=
，AD3=
，ADn=
，
故AP1=
，AP2=
，AP3=
…APn=
，
故可得AP6=
.
故选A.
3.【答案】A；
【解析】
根据题意，当第1 位数字是3 时，按操作要求得到的数字是3624862486248…，从第2
位数字起每隔四位数重复
一次6248，因为(100-1)被4 整除得24 余3，所以这个多位数前100 位的所有数字之
间和
是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案选A．
二、填空题
4.【答案】（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．
【解析】（1）一个5×2 的矩形最少可分成4 个正方形，最多可分成10 个正方形；
（2）一个7×2 的矩形最少可分成5 个正方形，最多可分成14 个正方形；
（3）第一个图形：是一个3×2 的矩形，最少可分成1+2 个正方形，最多可分成1×4+2
个正方形；
第二个图形：是一个5×2 的矩形，最少可分成2+2 个正方形，最多可分成2×4+2 个正
方形；
第三个图形：是一个7×2 的矩形，最少可分成3+2 个正方形，最多可分成3×4+2 个正
方形；
…
第n 个图形：是一个（2n+1）×2 的矩形，最多可分成n×4+2=4n+2 个正方形，最少可分
成n+2 个正方形．
故答案为：（1）4；10；（2）5；14；（3）4n+2；n+2．
5.【答案】（1）R－r 的值为
，以及此时花圃面积为
； （2）θ 值为
．
【解析】
要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大．
设扇环的圆心角为θ，面积为S，根据题意得：
，
∴
∴
．
∵
，
∴S 在
时取最大值为
．
∴花圃面积最大时R－r 的值为
，最大面积为
．
（2）∵当
时，S 取大值，
∴
(m)，
(m)，
∴
．
6.【答案】
．
【解析】
…
三、解答题
7.【答案与解析】
（1）证明：如图1 中，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ACB+∠ACE=90°
∴∠ECB=90°，
∴BD⊥CE，CE=BC﹣CD．
（2）如图2 中，结论：CE=BC+CD，理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，
∴CE=BC+CD．
（3）如图3 中，结论：△ACF 是等腰三角形．理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD 和△ACE 中，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠ABD=135°，
∴∠DCE=90°，
又∵点F 是DE 中点，
∴AF=CF=
DE，
∴△ACF 是等腰三角形．
8.【答案与解析】
（1）证法一：
∵△ABD 与△ACE 均为等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠DAC＝∠BAE．
∴△ADC≌△ABE．
证法二：
∵△ABD 与△ACE 均为等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，
且∠BAD＝∠CAE＝60°．
∴△ADC 可由△ABE 绕着点A 按顺时针方向旋转60°得到．
∴△ABE≌△ADC．
②120°，90°，72°．
（2）①
．
②证法一：依题意，知∠BAD 和∠CAE 都是正n 边形的内角，AB＝AD，AE＝AC，
∴∠BAD＝∠CAE＝
．
∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，
即∠BAE＝∠DAC．
∴△ABE≌△ADC．
∴∠ABE＝∠ADC．
∵∠ADC+∠ODA＝180°，
∴∠ABO+∠ODA＝180°．
∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．
∴∠BOC+∠DAB＝180°．
∴∠BOC＝180°－∠DAB＝
．
证法二：延长BA 交CO 于F，证∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．
证法三：连接CE．证∠BOC＝180°－∠CAE．
9.【答案与解析】
解：
（1）作DF⊥BC，F 为垂足．
当CP＝3 时，四边形ADFB 是矩形，则CF＝3．
∴点P 与点F 重合．
又∵BF⊥FD，
∴此时点E 与点B 重合．
（2）(i)当点P 在BF 上(不与B，F 重合)时，(见图(a))
∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°，
∴∠DPF＝∠PEB．
∴Rt△PEB∽△ARt△DPF．
∴
． ①
又∵ BE＝y，BP＝12-x，FP＝x-3，FD＝a，代入①式，得
∴
，整理，
得
②
(ii)当点P 在CF 上（不与C，F 重合）时，（见上图(b))同理可求得
．
由FP＝3-x 得
．
∴
（3）解法一：
当点E 与A 重合时，y＝EB＝a，此时点P 在线段BF 上．
由②式得
．
整理得
． ③
∵在线段BC 上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，
∴方程③有两个不相等的正实根．
∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0．
解得
．
又∵a＞0，
∴
．
解法二：
当点E 与A 重合时，
∵∠APD＝90°，
∴点P 在以AD 为直径的圆上．设圆心为M，则M 为AD 的中点．
∵在线段BC 上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，
∴线段BC 与⊙M 相交．即圆心M 到BC 的距离d 满足
． ④
又∵AD∥BC，
∴d＝a．
∴由④式得
．
10.【答案与解析】
解：
（1）EF＝EB．
证明：如图(d)，以E 为圆心，EA 为半径画弧交直线m 于点M，连接EM．
∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．
∵BC＝k·AB，k＝1，
∴BC＝AB．
∴∠CAB＝∠ACB．
∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．
∴∠MAC＝∠CAB．
∴∠CAB＝∠EMA．
∵∠BEF＝∠ABC，
∴∠BEF＝∠FAB．
∵∠AHF＝∠EHB，
∴∠AFE＝∠ABE．
∴△AEB≌△MEF．
∴EF＝EB．
探索思路：如上图(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，
∴BC＝AB．
∴∠CAB＝∠ACB．
∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．
添加条件：∠ABC＝90°．
证明：如图(e)，在直线m 上截取AM＝AB，连接ME．
∵ BC＝k·AB，k＝1，
∴ BC＝AB．
∵ ∠ABC＝90°，
∴ ∠CAB＝∠ACB＝45°．
∵ m∥n，
∴ ∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．
∵ AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．
∴ EM＝EB，∠AME＝∠ABE．
∵ ∠BEF＝∠ABC＝90°，
∴ ∠FAB+∠BEF＝180°．
又∵ ∠ABE+∠EFA＝180°，
∴ ∠EMF＝∠EFA．
∴ EM＝EF．
∴ EF＝EB．
（2）EF＝
EB．
说明：如图(f)，过点E 作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N．
∴ ∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．
∵ m∥n，∠ABC＝90°，
∴ ∠MAB＝90°．
∴ 四边形MENA 为矩形．
∴ ME＝NA，∠MEN＝90°．
∵∠BEF＝∠ABC＝90°．
∴∠MEF＝∠NEB．
∴△MEF∽△NEB．
∴
，
∴
∴ 在Rt△ANE 和Rt△ABC 中，
，
∴
．
