十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—解析几何选择题
目录
题型一：直线的方程..............................................................................1
题型二：圆的方程..................................................................................2
题型三：直线和圆的综合问题...............................................................3
题型四：椭圆..........................................................................................9
题型五：双曲线....................................................................................17
题型六：抛物线....................................................................................36
题型七：圆锥曲线的综合问题.............................................................44
题型一：直线的方程
1 ．(2018 年高考数学北京( 理)· 第7 题) 在平面直角坐标系中，记
为点
到直线
的距离，当
变化时，
的最大值为
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
解析：
是单位圆
上的点，直线
过定点
，当
与垂直时，即
时，
是最大值．
O
P
M
x
y
2．(2014 高考数学上海理科·第17 题)已知
与
是直线
(
为常数)上两个不同
的点，则关于
和
的方程组
的解的情况是
( )．
A．无论
如何，总是无解
B．无论
如何，总有唯一解
C．存在
，使之恰有两解
D．存在
，使之有无穷多解
【答案】B
解析：易得原点
不在直线
上，所以
不在同一直线上，故向量
与向量
不平行，所以
，方程组有唯一解，故选B．
3．(2014 高考数学江西理科·第10 题)如右图,在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
中, AB =11, AD =7,
1
AA =12,
一质点从顶点A 射向点
4 312
E
，，
,遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理),将
1
i 次到第i 次反
射点之间的线段记为
2,3,4
iL i
,
1L
AE
,将线段
1
2
3
4
,
,
,
L L L L 竖直放置在同一水平线上,则大致
的图形是
( )
( )
【答案】C
分析:
因为
3
7
4
11
,所以
1A E 延长交
1
1
D C 于F ,过F 作FM 垂直DC 于
.
M 在矩形
1
AA FM 中分析反射情况:由于
35
10
5
AM
,第二次反射点为
1
E 在线段AM 上,此时
1
5
3
E M
,第三次反射点为
2
E 在线段FM 上,此时
2
4
E M
,第四次反射点为
3
E 在线段
1A F 上,由图可知,选C．
题型二：圆的方程
1．(2015 高考数学新课标2 理科·第7 题)过三点
，
，
的圆交
轴于
两点，则
( )
A．
B．8
C．
D．10
【答案】C
解析：由已知得
，
，所以
，所以
，即
为直角三角形，其外接圆圆心为
，半径为
，所以外接圆方程为
，令
，得
，所以
，故选C．
2．(2022 高考北京卷·第3 题)若直线
是圆
的一条对称轴，则
( )
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
解析:由题可知圆心为
，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即
，解得
．
故选,A．
3．(2014 高考数学江西理科·第9 题)在平面直角坐标系中, ,
A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为
直径的圆C 与直线2
4
0
x
y
相切,则圆C 面积的最小值为
( )
A．
4
5
B．
3
4
C．(6
2 5)
D．
5
4
【答案】 A
解析:设直线l :2
4
0
x
y
．因为
1
|
|
|
|
2
C l
OC
AB
d
,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛
物线．圆C 半径最小值为
1
1
4
2
2
2
5
5
O l
d
,圆C 面积的最小值为
2
2
4
(
)
.
5
5
选A．
题型三：直线和圆的综合问题
1．(2020 北京高考·第5 题)已知半径为的圆经过点
，则其圆心到原点的距离的最小值为( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆心
，则
，化简得
，
所以圆心
的轨迹是以
为圆心，为半径的圆，
所以
，所以
，
当且仅当
在线段
上时取得等号，故选：A．
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第6 题)过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
( )
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
解析：方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为
，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
．
故选：B．
3．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第11 题)已知⊙M：
，直线：
，
为上的动点，过点
作⊙M 的切线
，切点为
，当
最小时，直线
的
方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】圆的方程可化为
，点
到直线的距离为
，
所以直线与圆相离．
依圆的知识可知，四点
四点共圆，且
，所以
，而
，
当直线
时，
，
，此时
最小．
∴
即
，由
解得，
．
所以以
为直径的圆的方程为
，即
，
两圆的方程相减可得：
，即为直线
的方程．
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学
生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
4．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第5 题)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线
的距离为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：由于圆上的点
在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，
设圆心的坐标为
，则圆的半径为
，
圆的标准方程为
．
由题意可得
，
可得
，解得
或
，
所以圆心的坐标为
或
，
圆心
到直线
的距离均为
；
圆心
到直线
的距离均为
圆心到直线
的距离均为
；
所以，圆心到直线
的距离为
．
故选：B．
【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题．
5．(2021 高考北京·第9 题)已知直线
(
为常数)与圆
交于点
，当
变化时，
若
的最小值为2，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：由题可得圆心为
，半径为2， 则圆心到直线的距离
，
则弦长为
，
则当
时，弦长
取得最小值为
，解得
．
故选：C．
6．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第6 题)直线
分别与
轴，
轴交于
两点，点
在
圆
上，则
面积的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解法一：由直线
易知
，
，故
圆
的圆心
到直线
的距离为
，
所以点
到直线
的距离
的取值范围为
即
所以
，故选A．
解法二：设
，则点
到直线
的距离
，
令
，则
代入圆的方程整理得：
利用方程有解条件，则有
注：此处也可利用线性规划寻求的范围
解法三：利用三角换元
设
，则
解法四：利用面积公式的坐标形式
设
则
下同解法二
7．(2014 高考数学福建理科·第6 题)直线
与圆
相交于
两点，则
是
的
( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】解析：若直线
与圆O：
相交于A，B 两点，
则圆心到直线距离
，
，
若
，则
，
，则
成立，即充分性成
立．
若
，则
，
解得
，则
不成立，即必要性不成立．
故“k=1”是“△OAB 的面积为
”的充分不必要条件．故选：A．
8．(2015 高考数学重庆理科·第8 题)已知直线
是圆
的对称轴．过点
作圆
的一条切线，切点为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：圆
标准方程为
，圆心为
，半径为
，因此
，
，即
，
．选C．
9 ．(2015 高考数学山东理科· 第9 题) 一条光线从点
射出，经
轴反射后与圆
相切，则反射光线所在直线的斜率为
( )
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
【答案】D
解析：由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点
，设反射光线所在直线的斜率为
，
则反身光线所在直线方程为：
，即：
．
又因为光线与圆相切，
所以，
,
整理：
，解得：
，或
,故选D．
10．(2015 高考数学广东理科·第5 题)平行于直线2 x+ y+1=0 且与圆x2+ y2=5 相切的直线的方程是
( )
A．2 x+ y+5=0 或2 x+ y−5=0
B．2 x+ y+√5=0 或2x+ y−√5=0
C．2 x−y+5=0 或2 x−y−5=0
D．2x−y+√5=0 或2x−y−√5=0
【答案】A
解析：设所求切线方程为
，依题意有：
，解得：
，所以所求切
线方程为
或
，故选A
11．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第4 题)圆
的圆心到直线
的距
离为1，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
得：
，所以圆心坐标为
，所以圆
心
到直线
的距离为：
，所以
，故选A．
题型四：椭圆
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第5 题)设椭圆
的离心率分别为
．若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：由
，得
，因此
，而
，所以
．
故选：A
2．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第5 题)已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
与C 交于A．B 两点，若
面积是
面积的2 倍，则
( )．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：将直线
与椭圆联立
，消去
可得
，
因为直线与椭圆相交于
点，则
，解得
，
设
到
的距离
到
距离
，易知
，
则
，
，
，解得
或
(舍去)，
故选：C．
3．(2023 年全国甲卷理科·第12 题)设O 为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，点P 在
C 上，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：方法一：设
，所以
，
由
，解得：
，
由椭圆方程可知，
，
所以，
，解得：
，
即
，因此
．
故选：B．
方法二：因为
①，
，
即
②，联立①②，
解得：
，
而
，所以
，
即
．
故选：B．
方法三：因为
①，
，
即
②，联立①②，解得：
，
由中线定理可知，
，易知
，解得：
．
故选：B．
4．(2021 年新高考Ⅰ卷·第5 题)已知
，
是椭圆
：
的两个焦点，点
在
上，则
的最大值为
( )
A．13
B．12
C．9
D．6
【答案】C
解析:由题，
，则
，
所以
(当且仅当
时，等号成立)．
故选：C．
5．(2021 年高考全国乙卷理科·第11 题)设
是椭圆
的上顶点，若
上的任意
一点
都满足
，则
的离心率的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D．A
1B
1C
1D
1
【答案】C
解析：设
，由
，因为
，
，所以
，
因为
，当
，即
时，
，即
，符合题意，由
可得
，即
；
当
，即
时，
，即
，化简得，
，显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出
的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域
讨论函数的单调性从而确定最值．
6．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第10 题)椭圆
的左顶点为A．点P，Q 均在C
上，且关于y 轴对称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，设
，则
，
则
，故
，
又
，则
，所以
，即
，
所以椭圆
的离心率
．
故选：A．
7．(2019·全国Ⅱ·理·第8 题)若抛物线
的焦点是椭圆
的一个焦点，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为抛物线
的焦点
是椭圆
2
2
3
1
x
y
p
p
的一个焦点，所以
，解得
8
p
，故选D．
【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于
的方程，即可解出
，或者利用检验排除的
方法，如
时，抛物线焦点为
，椭圆焦点为
，排除A，同样可排除B，C，故选D．
8．(2019·全国Ⅰ·理·第10 题)已知椭圆
的焦点为
，
，过
的直线与
交于
，
两点．若
，
，则
的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】答案：B
解析：如图，设
，则
，由
，可得
，
，所以点
为椭圆的上顶点或下顶点．
在
中，由余弦定理可得
，
所以
，即
，即
，又
，所以椭圆方程为
．
F1
B
A
O
F2
9．(2019·北京·理·第4 题)已知椭圆
(a＞b＞0)的离心率为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】椭圆的离心率
，化简得
，故选B．
10．(2018 年高考数学上海·第13 题)设
是椭圆
上的动点，则
到该椭圆的两个焦点的距离
之和为
( )
A．
B．
B．
D．
【答案】B
解析：
，根据椭圆的定义，椭圆上任一点到两焦点的距离之和为
．
11．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第11 题)设
是双曲线
的左、右焦
点，
是坐标原点，过
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，若
，则
的离心率
为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点
作渐近线
的垂线，该垂线的方程为
，联立方程
，解得
由
整理可得
即
即
即
，所以
，所以
，故选C．
法二：由双曲线的性质易知
，
，所以
在
中，
在
中，由余弦定理可得
所以
，整理可得
，即
所以
，所以
，故选C．
12．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第12 题)已知
，
是椭圆
的左，右焦点，
是
的左顶点，点
在过
且斜率为
的直线上，
为等腰三角形，
，则
的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
为等腰三角形，
，所以
，由余弦定理得
，
所以
，而
，由已知
，得
，即
，故选D．
13．椭圆的中心为点
，它的一个焦点为
，相应于焦点
的准线方程为
，则这个
椭圆的方程是
Ａ．
Ｂ．
( )
Ｃ．
Ｄ．
【答案】D
解：椭圆的中心为点
它的一个焦点为
∴ 半焦距
，相应于
焦点F 的准线方程为
∴
，
，则这个椭圆的方程是
，
选D．
14．(2014 高考数学大纲理科·第6 题)已知椭圆C：
的左、右焦点为F1，F2，离心
率为
，过F2的直线交C 于A．B 两点，若
的周长为4，则C 的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：如下图，
的周长为
，
而
离
心
率
，所以
，从而所求椭圆的方程为
，故选A．
15．(2017 年高考数学浙江文理科·第2 题)椭圆
2
2
1
9
4
x
y
的离心率是
( )
A．
13
3
B．
5
3
C．
2
3
D．
5
9
【答案】 B
【解析】法一:由椭圆方程得
2
9
a
,
2
4
b
,所以
2
2
2
5
c
a
b
,所以
3
a
,
5
c
,
5
3
c
e
a
．故选B．
法二:
2
2
4
5
1
1
9
3
c
b
e
a
a
．故选B．
16．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第10 题)已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
，
0
a
b
的左、右顶点分别
为
1A ，
2
A ，且以线段
1
2
A A 为直径的圆与直线
2
0
bx
ay
ab
相切，则C 的离心率为
( )
A．
6
3
B．
3
3
C．
2
3
D．
1
3
【答案】A
【解析】以线段
1
2
A A 为直径的圆的圆心为原点，半径为R
a
，该圆与直线
2
0
bx
ay
ab
相切
所以圆心
0,0 到直线
2
0
bx
ay
ab
的距离
2
2
2ab
d
R
a
b
a
，整理可得
2
2
3
a
b
所以
2
1
c
b
e
a
a
1
6
1
3
3
，故选A．
17．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第11 题)已知
为坐标原点,
是椭圆C:
的左
焦点,
分别为
的左、右顶点.
为
上一点,且
轴.过点
的直线与线段
交于点
,与
轴交于点
.若直线
经过OE 的中点,则
的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意,设直线的方程为
,分别令
与
,得点
,
,由△OBE∽△CBM,得
,即
,整理得
,所以椭圆的离心
率
,故选A.
题型五：双曲线
1．(2023 年天津卷·第9 题)双曲线
的左、右焦点分别为
．过
作其中一条
渐近线的垂线，垂足为
．已知
，直线
的斜率为
，则双曲线的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：如图，
因为
，不妨设渐近线方程为
，即
，
所以
，
所以
．
设
则
，所以
，所以
．
因
,所以
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，解得
，
所以双曲线的方程为
故选：D
2．(2023 年全国乙卷理科·第11 题)设A．B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中
点的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：设
，则
的中点
，
可得
，
因为
在双曲线上，则
，两式相减得
，
所以
．
对于选项A： 可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；
对于选项B：可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；
对于选项C：可得
，则
由双曲线方程可得
，则
为双曲线的渐近线，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；
对于选项D：
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；
故选：D．
3．(2021 年高考全国甲卷理科·第5 题)已知
是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
，则C 的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：因为
，由双曲线的定义可得
，
所以
，
；
因为
,由余弦定理可得
，
整理可得
，所以
，即
．
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立
间的等量关系是求解的关键．
4．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第8 题)设
为坐标原点，直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
两点，若
的面积为8，则
的焦距的最小值为
( )
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】B
解析：
双曲线的渐近线方程是
直线
与双曲线
的两条渐近线分别交于
，
两点
不妨设
为在第一象限，
在第四象限
联立
，解得
故
联立
，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当
取等号
的焦距的最小值：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等
式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属
于中档题．
5．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第11 题)设双曲线C：
(a>0，b>0)
左、右焦点分别为F1，
F2，离心率为
．P 是C 上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=
( )
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
解析：
，
，根据双曲线的定义可得
，
，即
，
，
，
，即
，解得
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，
属于中档题．
6．(2020 年浙江省高考数学试卷·第8 题)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P 满足|PA．–|
PB．=2，且P 为函数y=
图像上的点，则|OP|=
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
，所以点
在以
为焦点，实轴长为
，焦距为
的双曲线的右支
上，由
可得，
，即双曲线的右支方程为
，而点
还
在函数
的图象上，所以，
由
，解得
，即
． 故选：D．
7．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第11 题)双曲线C 的两个焦点为
，以C 的实轴为直径的圆记为
D．过
作D 的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为
，
若
分别在左右支，
因为
，且
，所以
在双曲线的右支，
又
，
，
，
设
，
，
在
中，有
，
故
即
，
所以
，
而
，
，
，故
，
代入整理得到
，即
，
所以双曲线的离心率
8．(2021 高考天津·第8 题)已知双曲线
的右焦点与抛物线
的
焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A．B 两点，交双曲线的渐近线于C．D 两点，若
．则双曲线的离心率为
(
)
A ．
B．
C．2D．3
【答案】A
解析：设双曲线
与抛物线
的公共焦点为
，
则抛物线
的准线为
，
令
，则
，解得
，所以
,
又因为双曲线的渐近线方程为
，所以
，
所以
，即
，所以
，所以双曲线的离心率
．
故选：A．
9．(2021 高考北京·第5 题)若双曲线
离心率为
，过点
，则该双曲线的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
，则
，
，则双曲线的方程为
，
将点
的坐标代入双曲线的方程可得
，解得
，故
，
因此，双曲线的方程为
． 故选：B
10．(2020 天津高考·第7 题)设双曲线
的方程为
，过抛物线
的焦点和点
的直线为．若
的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线
的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为
，所以直线的方程为
，即直线的斜率为
，
又双曲线的渐近线的方程为
，所以
，
，因为
，解得
．
故选：
．
11．(2019·浙江·第2 题)渐近线方程为
的双曲线的离心率是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
，则双曲线是等轴双曲线，离心率
．故选C．
12．(2019·全国Ⅲ·理·第10 题)双曲线C：
=1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐近线上，O 为
坐标原点，若
，则△PFO 的面积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在
上，则
．
，故选A．
【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
13．(2019·全国Ⅱ·理·第11 题)设
为双曲线
的右焦点，
为坐标原点，
以
为直径的圆与圆
交于
，
两点，若
，则
的离心率为( )
( )
A．
2
B．
3
C．
D．
5
【答案】A
【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ
x
轴，又∵
，∴
，
为以
OF
为直径的圆的半径，∴
为圆心|
|
2
c
OA
．∴
，又
点在圆
2
2
2
x
y
a
上，
∴
，即
，∴
，∴
，故选A．
【点评】准确画图，由图形对称性得出
点坐标，代入圆的方程得到
与
关系，可求双曲线的离心
率．
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法
从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，
才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
14．(2018 年高考数学浙江卷·第2 题)双曲线
的焦点坐标是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：双曲线的焦点在
轴上，且
，所以
，所以焦点坐
标为
．
15．(2018 年高考数学天津(理)·第7 题)已知双曲线
的离心率为2，过右焦点且
垂直于
轴的直线与双曲线交于
两点．设
到双曲线的同一条渐近线的距离分别为
和
，
且
，则双曲线的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：如图，过点
分别向渐近线
作垂线，垂足分别为
，则
是梯形
的中位线，所以
，又
为点
到渐近线
的距离，所以
，所以
，由离心率
，所以
，
，所以
，所以双曲线方程为
．
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
0
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
14
N
G
M
B
A
F
O
16．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第5 题)双曲线
的离心率为
，则其渐近线
方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：因为
，所以
，所以
，渐进线的方程为
，
故选A．
17．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第11 题)已知双曲线
,
为坐标原点，
为
的右焦
点,过
的直线与
的两条渐近线的交点分别为
．若
为直角三角形,则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：双曲线
的渐近线方程为：
，渐近线的夹角为：
，不妨设过
的直线为：
，则
解得
;
解得：
，则
，故选B．
18．(2014 高考数学重庆理科·第8 题)设
分别为双曲线
的左、右焦点，双
曲线上存在一点
使得
则该双曲线的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：根据双曲线的性质不妨设点P 在右支上，则由题意
1
1
2
1
2
2
3
2
|
|
|
|
|
| 3
2
|
|
|
| 2
3
2
|
|
2
b
a
PF
PF
PF
b
PF
PF
a
b
a
PF
2
2
1
1
9
4
9
|
| |
|
4
4
b
a
ab
PF
PF
2
2
4
9
9
0
a
ab
b
即(4
3 )(
3 )
0
a
b a
b
4
4
3
3
b
a
b
a
2
2
2
25
5
1
9
3
b
e
e
a
19．(2014 高考数学天津理科·第5 题)已知双曲线
的一条渐近线平行于直线:
,双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析:双曲线的其中一条渐近线
与直线
平行,所以
且左焦点为
,所以
,解得
,
,故双曲线方程为
．故选A．
20．(2014 高考数学山东理科·第10 题)已知
，椭圆
的方程为
，双曲线
的方程
为
，
与
的离心率之积为
，则
的渐近线方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】
解析：因为
，所以
，双曲线的渐近线方程为
．
21．(2014 高考数学课标1 理科·第4 题)已知F 是双曲线C :
2
2
3 (
0)
x
my
m m
的一个焦点,则点F
到C 的一条渐近线的距离为
( )
A．3
B．3
C．3m
D．3m
【答案】 A
解析:由C :
2
2
3 (
0)
x
my
m m
,得
2
2
1
3
3
x
y
m
,
2
3
3,
3
3
c
m
c
m
设
3
3,0
F
m
, 一条渐近线
3
3
y
x
m
, 即
0
x
my
, 则点F 到C 的一条渐近线的距离
3
3
1
m
d
m
= 3 ,选A．．
22．(2014 高考数学湖北理科·第9 题)已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，
是他们的一个公共点，
且
,则椭圆和双曲线
的离心率的倒数之和的最大值为
( )
A．
B．
C．3
D．2
【答案】A
解析：设椭圆长半轴为a1，双曲线实半轴长为a2，|F1F2|＝2c．
由余弦定理4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|
．
而|PF1|＋|PF2|＝2a1，
||PF1|－|PF2||＝2a2可得
．
令a1＝2ccos θ，
，
即
＝
＝
＝
．
故最大值为
，故选A．
23 ．(2014 高考数学广东理科· 第4 题) 若实数
满足
则曲线
与曲线
的
( )
A．离心率相等
B．虚半轴长相等
C．实半轴长相等
D．焦距相等
【答案】D．
解析：由于
所以
，
，所以这两条曲线均为双曲线．
相等，故而选D．
24．(2014 高考数学大纲理科·第9 题)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F1，F2，点A 在C 上，若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：如下图，设
，则根据双曲线的第一定义可得
，所以
，又因为离心率
，所以
，在
中，由余弦定理得
，故选A．
25．(2015 高考数学重庆理科·第10 题)设双曲线
的右焦点为
，右顶点为
,
过
作
的垂线与双曲线交于
两点，过
分别作
的垂线交于点
．若
到直线
的距离小于
，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
( )
A．
B．
C．
D
．
【答案】A
解析：由题意
，由双曲线的对称性知
在
轴上，设
，由
得
，
解
得
，
所
以
，所以
，因此渐近
线的斜率取值范围是
，选A．
26．(2015 高考数学新课标2 理科·第11 题)已知
为双曲线
的左，右顶点，点
在
上，
为等腰三角形，且顶角为
，则
的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：设双曲线方程为
，如图所示，
，
，过点
作
轴，垂足为
，在
中，
，
，故点
的坐标为
，代入双曲线方程得
，即
，所以
，故选D．
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．
27．(2015 高考数学新课标1 理科·第5 题)已知
是双曲线C：
上的一点，
是
C 上的两个焦点，若
，则
的取值范围是
( )
A．(-
，
)
B．(-
，
)
C．(
，
)
D．(
，
)
【答案】A
解
析
：
由
题
知
，
，
所
以
=
=
，解得
，故选A．
28．(2015 高考数学天津理科·第6 题)已知双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的一条渐近线过点
2, 3
，
且双曲线的一个焦点在抛物线
2
4 7
y
x
的准线上，则双曲线的方程为
( )
A．
2
2
1
21
28
x
y
B．
2
2
1
28
21
x
y
C．
2
2
1
3
4
x
y
D．
2
2
1
4
3
x
y
【答案】D
解析：双曲线
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
的渐近线方程为
b
y
x
a
，由点
2, 3
在渐近线上，所以
3
2
b
a
，双曲线的一个焦点在抛物线
2
4 7
y
x
准线方程
7
x
上，所以
7
c
，由此可解得
2,
3
a
b
，所以双曲线方程为
2
2
1
4
3
x
y
，故选D．
29．(2015 高考数学四川理科·第5 题)过双曲线(2x−1)
8
的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的
两条渐近线于
两点，则sin15
∘
+sin75
∘
=
( )
∘C B．y=e
kx+b
C．6D．e=2.718⋯
【答案】D
解析：双曲线的右焦点为
，过F 与x 轴垂直的直线为
，渐近线方程为
，将
代入
得：
．选D．
30．(2015 高考数学湖北理科·第8 题)将离心率为
的双曲线
的实半轴长
和虚半轴长
同时增
加
个单位长度，得到离心率为
的双曲线
，则
( )
A．对任意的
，
B．当
时，
；当
时，
C．对任意的
，
D．当
时，
；当
时，
【答案】D
解析：依题意，
e1=√a2+b2
a
=√1+( b
a )2
，
e2=√(a+m)2+(b+m)2
a+m
=√1+( b+m
a+m )2
，
因为
b
a−b+m
a+m=ab +bm −ab−am
a(a+m)
=m(b−a)
a(a+m) ，由于m>0 ，a>0 ，b>0 ，
所以当a>b 时，
0< b
a <1
，
0< b+m
a+m <1
，
b
a < b+m
a+m ，
( b
a )2<( b+m
a+m )2
，所以
；
当a<b 时，
b
a >1
，
b+m
a+m >1
，而
b
a > b+m
a+m ，所以
( b
a )2>( b+m
a+m )2
，所以
．
所以当
时，
；当
时，
．
31．(2015 高考数学广东理科·第7 题)已知双曲线
的离心率
，且其右焦点F2(5,0)，
则双曲线C 的方程为
A．
x2
4 −y2
3 =1
B．
x2
9 −y2
16 =1
C．
x2
16 −y2
9 =1
D．
x2
3 −y2
4 =1
【答案】C
解析：因为所求双曲线的右焦点为
且离心率为
，所以
，
所以所求双曲线方程为
，故选C
32．(2015 高考数学福建理科·第3 题)若双曲线
的左、右焦点分别为
，点
在双曲
线
上，且
，则
等于
( )
A．11
B．9
C．5
D．3
【答案】B
解析：由双曲线定义得
，即
，解得
，故选B．
33．(2015 高考数学安徽理科·第4 题)下列双曲线中，焦点在
轴上且渐近线方程为
的是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：由题意，选项
的焦点在
轴，故排除
，
项的渐近线方程为
，即
，故选C．
34．(2017 年高考数学天津理科·第5 题)已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
的左焦点为F ,离心率为
2 ．若经过F 和
(0,4)
P
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为
( )
A．
2
2
1
4
4
x
y
B．
2
2
1
8
8
x
y
C．
2
2
1
4
8
x
y
D．
2
2
1
8
4
x
y
【答案】
B．
【解析】由题意得
4
,
1
a
b
c
所以
4
c
,又因为
2
2
2
16
c
a
b
,所以
2
2
8,
8
a
b
,则双曲线
方程为
2
2
1
8
8
x
y
,故选B．
35．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第5 题)已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
的一条渐近线方程
为
5
2
y
x
,且与椭圆
2
2
1
12
3
x
y
有公共焦点，则C 的方程为
( )
A．
2
2
1
8
10
x
y
B．
2
2
1
4
5
x
y
C．
2
2
1
5
4
x
y
D．
2
2
1
4
3
x
y
【答案】 B
【解析】由渐近线的方程
5
2
y
x
，可设双曲线的方程为
2
2
4
5
x
y
又椭圆
2
2
1
12
3
x
y
的焦点坐标为
3,0
所以
0
，且
2
4
5
3
1
，故所求双曲线C 的方程为：
2
2
1
4
5
x
y
，故选B．
【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程
【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲
线标准方程的形式，然后再根据, , ,
a b c e 及渐近线之间的关系，求出,a b 的值．如果已知双曲线的渐
近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为
2
2
2
0
x
y
a
b
，再由条
件求出的值即可．
36．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第9 题)若双曲线C:
2
2
2
2
1
x
y
a
b
(
0
a
，
0
b
)的一条渐近线被圆
2
2
2
4
x
y
所截得的弦长为2，则C 的离心率为
( )
A．2
B．3
C．
2
D．
2 3
3
【答案】 A
【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想．
【解析】解法一：常规解法
根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为
b
y
x
a
，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到
渐进线的距离为
3 ，∴ 圆心到渐近线的距离为
2
2
1
b
a
b
a
，即
2
2
3
1
b
a
b
a
，解得
2
e
．
解法二：待定系数法
设渐进线的方程为y
kx
，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到渐进线的距离为
3 ，
∴ 圆心到渐近线的距离为
2
2
1
k
k
，即
2
2
3
1
k
k
，解得
2
3
k
；由于渐近线的斜率与离心率
关系为
2
2
1
k
e
，解得
2
e
．
解法三：几何法
从题意可知：
1
1
2
OA
OO
O A
，
1
OO A
为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为3
由于
tan
k
，可得
3
k
，
渐近线的斜率与离心率关系为
2
2
1
k
e
，解得
2
e
．
解法四：坐标系转化法
根据圆的直角坐标系方程：
2
2
2
4
x
y
，可得极坐标方程
4cos
，由4cos
2
可得极
角
3
，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以
3
k
，
渐近线的斜率与离心率关系为
2
2
1
k
e
，解得
2
e
．
解法五：参数法之直线参数方程
如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为
b
y
x
a
，可以表示点A 的坐标为
2cos ,2sin
，
∵
cos
a
c
，
sin
b
c
∴ 点A 的坐标为
2
2
,
a
b
c
c
，代入圆方程中，
解得
2
e
．
【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容(理科)，一般与三角形﹑直线与圆﹑向量
相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上
位置，但难度逐年下降．
37．(2016 高考数学浙江理科·第7 题)已知椭圆
与双曲线
的焦
点重合，
分别为
的离心率，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【命题意图】本题主要考查椭圆、双曲线的定义与几何性质等知识，考查考生的运算求解能力、推理
论证能力．
解
析
：
由
于
，
，
则
，
故
，
又
，所以
．故选A．
38．(2016 高考数学天津理科·第6 题)已知双曲线
，以原点为圆心，双曲线的实半轴
长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于
四点，四边形
的面积为
，则双曲
线的方程为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：渐近线
，设
，则
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
．
x
y
D
C
B
A
考点：(1)8．6．2 双曲线的标准方程
39．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第11 题)已知
是双曲线
的左，右焦点，点
在
上，
与
轴垂直，
,则
的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析1 】由题可令
，则
所以
，
，所以
，所以
故选Ａ．
【解析2】离心率
，由正弦定理得
．故选A．
40．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第5 题)已知方程
表示双曲线，且该双曲线两焦点
间的距离为4，则
的取值范围是
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A
【解析】
表示双曲线，则
，∴
由双曲线性质知：
，其中
是半焦距
∴焦距
，解得
∴
故选A．
题型六：抛物线
1．(2023 年北京卷·第6 题)已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若
到直线
的距
离为5，则
( )
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
解析：因为抛物线
的焦点
，准线方程为
，点
在
上，
所以
到准线
的距离为
，
又
到直线
的距离为
，
所以
，故
．
故选：D．
2．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第3 题)抛物线
的焦点到直线
的距离为
，则
( )
A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
解析:抛物线的焦点坐标为
，其到直线
的距离：
，解得：
(
舍去)，故选B．
3．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第4 题)已知A 为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为
12，到y 轴的距离为9，则p=
( )
A．2
B．3
C．6
D．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知
，即
，解得
．
故选：C．
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．
4．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第5 题)设
为坐标原点，直线
与抛物线C：
交
于
，
两点，若
，则
的焦点坐标为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：因为直线
与抛物线
交于
两点，且
，
根据抛物线的对称性可以确定
，所以
，
代入抛物线方程
，求得
，所以其焦点坐标为
，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称
性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．
5．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第5 题)设F 为抛物线
的焦点，点A 在C 上，点
，
若
，则
( )
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
解析：由题意得，
，则
，
即点
到准线
的距离为2，所以点
的横坐标为
，
不妨设点
在
轴上方，代入得，
，
所以
． 故选：B
6．(2020 北京高考·第7 题)设抛物线的顶点为
，焦点为
，准线为．
是抛物线上异于
的一点，
过
作
于
，则线段
的垂直平分线
( )．
A．经过点
B．经过点
C．平行于直线
D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示：
．
因为线段
的垂直平分线上的点到
的距离相等，又点
在抛物线上，根据定义可知，
，所以线段
的垂直平分线经过点
．故选：B．
7．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第8 题)设抛物线
的焦点为
．过点
且斜率为
的直线与
交于
两点，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：抛物线
的焦点为
，过点
且斜率为
的直线为：
，联立
直线与抛物线
，消去
可得：
，解得
，不妨
，
，
，
，则
，故选D．
8．(2014 高考数学四川理科·第10 题)已知
为抛物线
的焦点，点
在该抛物线上且位于
轴
的两侧，
(其中
为坐标原点)，则△
与△
面积之和的最小值是
( )
A．2
B．3
C．
D．
【答案】B
解析：设直线AB 的方程为：
，点
，
，又
，直线AB 与
轴的交
点
(不妨假设
)
由
，所以
又
因为点
，
在该抛物线上且位于
轴的两侧，所以
，故
于是
当且仅当
时取“
”
所以
与
面积之和的最小值是
9．(2014 高考数学辽宁理科·第10 题)已知点
在抛物线C：
的准线上，过点A 的直线与
C 在第一象限相切于点B．记C 的焦点为F，则直线BF 的斜率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：抛物线C：
的准线方程为
，焦点F(2,0)，而点
在准线上，所以解得
p=4，设B(m，n)，抛物线在第一象限的方程为
，所以
，所以过点B 的切线斜率
为
，而切线又过点A，所以
①，而点B 又在满足方程
，即
②，将其代入到①式中，解得m=n=8，所以BF 的斜率为
．
解析2：
的准线方程为
，焦点F(2,0)，而点
在准线上，所以解得p=4，设
直线AB 的方程为
，与方程
联立，得
，化简
，
，所以k=2 ，( 或k=-1 舍去) ，将k=2 代入
中，可求得y=8，从而解得x=8，故B(8,8)，所以BF 的斜率为
．
10．(2014 高考数学课标2 理科·第10 题)设F 为抛物线C:
的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线
交C 于A．B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：由题意可知：直线AB 的方程为：
，带入抛物线的方程可得：
，
设
，
则
所
求
三
角
形
的
面
积
为
，故选D。
11．(2014 高考数学课标1 理科·第10 题)已知抛物线C :
2
8
y
x
的焦点为F ,准线为l , P 是l 上一点,Q
是直线PF 与C 的一个交点,若
4
FP
FQ
,则|
|
QF =
( )
A．
7
2
B．
5
2
C．3
D．2
【答案】C
【解析】:过Q 作QM⊥直线L 于M,∵
4
FP
FQ
∴
3
4
PQ
PF
,又
3
4
4
QM
PQ
PF
,∴
3
QM
,由抛物线定义知
3
QF
QM
选C
12．(2015 高考数学浙江理科·第5 题)如图，设抛物线
的焦点为
，不经过焦点的直线上有三个
不同的点
，
，
，其中点
，
在抛物线上，点
在
轴上，则
与
的面积之比
是
( )
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
解析：
S ΔBCF
S Δ ACF
= BC
AC = xB
x A
= BF −1
AF −1 ，故选A．
13 ．(2015 高考数学四川理科· 第10 题) 设直线
与抛物线
n=
g(x1)−g(x2)
x1−x2
相交于
两点，与圆
x1 , x2 相切于点
，且
为线段
的中点．若这样的直线恰有4 条，则
的
取值范围是
( )
A．m>0
B．x1, x2
C．n>0
D．x1, x2
【答案】D
解析：显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设．当直线的斜率存在时，设斜率为
．设
，则
，相减得
．由于
，所以
，即
．圆心为
，由
得
，所以
，即点M 必在直线
上．将
代入
n=
g(x1)−g(x2)
x1−x2
得
．因为点M 在圆x1 , x2 上，所以
．又
(由于斜率不存在，故
，所以不
取等号)，所以
．选D．
x
y
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–1
–2
–3
–4
–5
–6
1
2
3
4
5
6
A
B
C
F
O
M
14．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第10 题)已知F 为抛物线
2
:
4
C y
x
的焦点,过F 作两条互相垂
直的直线1l , 2l ,直线1l 与C 交于
,
A B 两点,直线
2l 与C 交于
,
D E 两点,则AB
DE
的是小值为
( )
A．16
B．14
C．12
D．10
【答案】A
【解析】法一:设
1
1
2
2
( ,
), (
,
)
A x y
B x
y
,
3
3
4
4
(
,
),
(
,
)
D x
y
E x
y
,直线1l 方程为
1(
1)
y
k x
取方程
2
1
4
(
1)
y
x
y
k x
,得
2
2
2
2
1
1
1
2
4
0
k x
k x
x
k
∴
2
1
1
2
2
1
2
4
k
x
x
k
2
1
2
1
2
4
k
k
同理直线2l 与抛物线的交点满足
2
2
3
4
2
2
2
4
k
x
x
k
由抛物线定义可知
1
2
3
4
|
|
|
|
2
AB
DE
x
x
x
x
p
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
4
2
4
4
4
16
4
8
2
8
16
k
k
k
k
k
k
k k
当且仅当
1
2
1
k
k
(或1
)时,取得等号．
法二:设1l 的倾斜角为,则直线2l 的倾斜角为
π
2
根据焦点弦长公式有:
2
2
4
4
π
sin
sin
2
AB
DE
2
2
2
2
2
2
2
4
4
16
sin
cos
sin
cos
．
故选A．
法三:设1l 的倾斜角为,则直线2l 的倾斜角为
π
2
,而
1,0
F
则
1
1
cos
:
sin
x
t
l
y
t
,代入抛物线C 中,可得
2
2
sin
4 cos
4
0
t
t
设
,
A B 对应的参数分别为1
2
,
t t ,则有
1
2
2
1 2
2
4cos
sin
4
sin
t
t
t t
所以
2
1
2
1
2
1 2
4
AB
t
t
t
t
t t
2
4
2
2
16cos
16
4
sin
sin
sin
同理可得
2
2
4
4
π
cos
sin
2
DE
所以AB
DE
2
2
2
2
2
2
2
4
4
16
sin
cos
sin
cos
．
故选A．
法四:设点
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
,则
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
AB
x
x
p
x
x
y
y
2
1
2
1
2
1
2
2
4
y
y
y y
设直线1l 的方程为
1
x
my
0
m
联立直线1l 与抛物线
2
:
4
C y
x
方程消去x 可得
2
4
4
0
y
my
所以
1
2
1
2
4
4
y
y
m
y y
,所以
2
2
1
2
1
2
1
2
2
4
4
4
AB
y
y
y y
m
同理
2
4
4
DE
m
所以
2
2
4
8
4
16
AB
DE
m
m
(当且仅当
1
m 时等号成立)
小结:本质回归
抛物线的正交弦性质:已知F 为抛物线
2
:
2
C y
px
0
p
的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1
2
,
l l ,
直线
1l 与C 交于
,
A B 两点, 直线
2l 与C 交于
,
D E 两点, 则
,
AB
DE 的调和平均数为定值:
1
1
1
2
AB
DE
p
．
于是本题可以直接利用这个性质秒杀
2
4
1
1
2
AB
DE
p
AB
DE
,所以
8
16
AB
CD
p
．
椭圆与双曲线有类似的性质,于是得到圆锥曲线的正交定值定理
已知圆锥曲线C 的焦点F 作两条互相垂直的直线1
2
,
l l ,直线1l 与C 交于
,
A B 两点,直线2l 与C 交于
,
D E 两点,则
2
1
1
2
2
e
AB
DE
ep
．
其中e 是圆锥曲线C 的离心率, p 是焦点到对应准线的距离．
15．(2016 高考数学四川理科·第8 题)设
为坐标原点，
是
为焦点的抛物线
上任意
一点，
是线段
上的点，且
，则直线
的斜率的最大值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】法一：由
可知
，设
，
则
所以
法二如图，由题可知
，设
点坐标为
O
F
y
P
M
显然，当
时，
；
时，
，要求
最大值，不妨设
．
则
，当且仅当
等号成立 故选C．
16．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第10 题)以抛物线
的顶点为圆心的圆交
于
两点，交
的准线
于
两点．已知
，
，则
的焦点到准线的距离为
( )
(A)2(B)4(C)6(D)8
【答案】B
【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为
，设圆的方程为
，题目条件翻译如图：
设
，
，
点
在抛物线
上，∴
……①
点
在圆
上，∴
……②
点
在圆
上，∴
……③
联立①②③解得：
，焦点到准线的距离为
． 故选B．
题型七：圆锥曲线的综合问题
1．(2023 年全国甲卷理科·第8 题)已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐
近线与圆
交于A．B 两点，则
( )
A
B．
C．
D．
【答案】D
解析：由
，则
，
解得
，
所以双曲线的一条渐近线不妨取
，
则圆心
到渐近线的距离
，
所以弦长
．
故选：D
2．(2021 年高考浙江卷·第9 题)已知
，函数
．若
成等比数列，则平面上点
的轨迹是
( )
A．直线和圆
B．直线和椭圆
C．直线和双曲线
D．直线和抛物线
【答案】C
解析:由题意得
，即
，
对其进行整理变形：
，
，
，
，所以
或
，其中
为双曲线，
为直
线,故选C．
3 ．(2019· 天津· 理· 第5 题) 已知抛物线
的焦点为
，准线为
，若
与双曲线
的两条渐近线分别交于点
和点
，且
(
为原点)，则双
曲线的离心率为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：
，
，
，所以双曲线的两条渐近线方程
为
，所以
，则双曲线的离心率
．
4．(2019·北京·理·第8 题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：
就
是其中之一(如图)．给出下列三个结论：
①曲线C 恰好经过6 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；
②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过
；
③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．
其中，所有正确结论的序号是
( )
A．①
B．②
C．①②
D．①②③
【答案】C
【解析】由
得，
，
，
所以
可为的整数有0，－1，1，从而曲线
恰好经过(0，1)，(0，－1)，(1，
0)，(1，1)， (－1，0)，(－1，1)六个整点，结论①正确；
由
得，
，解得
，所以曲线
上任意一点到原点的
距离都不超过
，结论②正确；
如图所示，易知
，四边形
的面积
，
很明显“心形”区域的面积大于
，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误．故选C．
5．(2014 高考数学福建理科·第9 题)设
分别是圆x
和椭圆y
上的点，则
两点间的最大距离是
( )
A．y=logax
B．O
C．1
D．3
【答案】D
解析：设椭圆上的点为
，则
∵圆
的圆心为
，半径为
，
∴椭圆上的点与圆心的距离为
，
∴P，Q 两点间的最大距离是
．故选：D．
